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Entanglement Entropy in Non Relativistic Collisions

Este artículo demuestra numéricamente que, a pesar de las variaciones significativas en las funciones de onda y las matrices de densidad en diferentes escenarios de colisión no relativista que involucran potenciales locales, las tendencias de evolución temporal y los valores de la entropía de entrelazamiento permanecen sorprendentemente consistentes.

Autor original: Bertrand Giraud (IPhT Saclay), Robi Peschanski (IPhT Saclay)

Publicado 2026-11-05

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CC0 1.0

Autor original: Bertrand Giraud (IPhT Saclay), Robi Peschanski (IPhT Saclay)

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En los rincones silenciosos del mundo cuántico, las partículas no siempre se comportan como viajeros solitarios. Cuando dos objetos colisionan, pueden quedar inextricablemente vinculados, un fenómeno donde el estado de uno refleja instantáneamente el estado del otro, independientemente de la distancia que los separe. Esta conexión, conocida como entrelazamiento, es una característica fundamental de la naturaleza que desafía nuestra intuición cotidiana. Los físicos han comprendido durante mucho tiempo cómo se forma este vínculo cuando las partículas se mueven a la velocidad de la luz, regidas por las leyes de la relatividad. Sin embargo, persistía una pregunta: ¿cómo se construye esta conexión en el mundo más lento y familiar de la materia cotidiana, donde las partículas se mueven a velocidades ordinarias? Específicamente, los científicos querían saber cómo crece la "entropía de entrelazamiento" —una medida de qué tan profundamente están entrelazadas dos partículas— a lo largo del tiempo mientras chocan entre sí y luego se separan.

Para responder a esto, investigadores del Instituto de Física Teórica en Francia se propusieron simular la colisión de dos partículas simples y no relativistas. Imaginaron dos pequeñas esferas invisibles moviéndose una hacia la otra en un espacio unidimensional, como cuentas en un alambre. Estas partículas estaban inicialmente separadas, cada una portando su propia identidad distinta, sin conexión previa entre ellas. Luego, los científicos introdujeron una fuerza entre ellas, ya fuera empujándolas para alejarlas como dos imanes con el mismo polo enfrentado, o atrayéndolas como polos opuestos. Observaron, mediante detallados cálculos computacionales, cómo evolucionaba la naturaleza ondulatoria de estas partículas desde el momento en que comenzaron a acercarse, pasando por el momento del impacto, hasta el momento en que se separaron de nuevo.

Los investigadores exploraron varios escenarios diferentes para ver si el resultado dependía de las condiciones específicas del choque. En un caso, establecieron una barrera que las partículas debían rebotar o atravesar mediante el efecto túnel, un truco cuántico donde una partícula pasa a través de un muro que aparentemente no debería poder cruzar. Probaron esto a bajas velocidades, donde el efecto túnel es común, y a velocidades más altas, donde las partículas simplemente vuelan sobre la barrera. También examinaron una situación en la que las partículas se atraían entre sí, cayendo en un "bolsillo" de potencial antes de dispersarse. En cada uno de los escenarios, el equipo rastreó la relación cambiante entre las dos partículas, calculando un valor específico que cuantifica su entrelazamiento.

Lo que encontraron fue sorprendentemente consistente. Independientemente de si las partículas se repelían o se atraían, o de si se movían lentamente o rápidamente, el proceso de entrelazamiento seguía un camino notablemente similar. Al principio, cuando las partículas estaban lejos, la conexión era cero. A medida que se acercaban e interactuaban, el entrelazamiento crecía de manera constante. No saltaba repentinamente ni fluctuaba salvajemente; en cambio, subía suavemente y luego se nivelaba, estableciéndose en un valor estable y permanente una vez que las partículas se habían alejado lo suficiente como para dejar de influenciarse mutuamente. Este patrón parecía una suave curva en forma de S, elevándose desde la nada hasta un límite fijo.

El estudio reveló que la cantidad final de entrelazamiento alcanzada era de una magnitud similar en todos los diferentes escenarios físicos probados. Ya fuera que las partículas rebotaran en una pared, atravesaran la barrera mediante el efecto túnel o fueran atraídas por la atracción, el "vínculo" resultante terminaba siendo del mismo orden de magnitud. Los investigadores observaron que, a medida que pasaba el tiempo, las partículas se alejaban y la fuerza entre ellas efectivamente se desactivaba, dejando al sistema con un nivel de entrelazamiento constante e inalterable. Esto sugiere que el acto de la dispersión es lo que imprime esta conexión, y una vez que la colisión ha terminado, el grado de entrelazamiento queda fijado.

Este trabajo proporciona una imagen clara de cómo se forman las conexiones cuánticas en el mundo de movimiento lento, llenando un vacío dejado por teorías anteriores que solo observaban colisiones de alta velocidad. Las simulaciones muestran que el entrelazamiento no es un resultado caótico o impredecible de un choque, sino un proceso que se construye de una manera predecible y ordenada. Si bien los detalles específicos de las trayectorias de las partículas variaban drásticamente según las fuerzas involucradas, la historia de su conexión permanecía la misma: un ascenso constante hacia un límite estable. Los autores señalan que, aunque sus modelos computacionales sugieren fuertemente que este comportamiento es válido para todas estas colisiones, todavía se necesita una prueba matemática general para este patrón universal. Por ahora, la evidencia apunta a una regla silenciosa y consistente que gobierna cómo el mundo cuántico se une a sí mismo, incluso en las colisiones más simples.

Resumen Técnico: Entropía de Entrelazamiento en Colisiones No Relativistas

Planteamiento del Problema
La reciente teoría de la matriz S relativista ha establecido un marco para medir el entrelazamiento tanto en colisiones elásticas como inelásticas de partículas elementales. Sin embargo, el formalismo de la matriz S está intrínsecamente limitado a tiempos asintóticos, lo que deja abierta la cuestión de cómo evoluciona el entrelazamiento en tiempos finitos. Este artículo aborda esa brecha investigando la formación de la entropía de entrelazamiento entre dos partículas colisionantes, no relativistas, impulsadas por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. El estudio se centra en sistemas gobernados por potenciales locales de rango finito, partiendo de un estado inicial definido como un producto de dos paquetes de ondas.

Metodología
Los autores emplean un enfoque numérico para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un sistema de dos cuerpos en $d$ dimensiones (utilizando principalmente modelos de juguete en 1D para la tratabilidad computacional).

Formalismo: El sistema consiste en dos partículas sin espín de masa igual ( $m=1$ ) que interactúan a través de un potencial escalar local y galileano-invariante $V(r)$ . El Hamiltoniano se separa en componentes de movimiento del centro de masas (cm) y movimiento relativo. El grado de libertad del cm se trata como un paquete de ondas gaussiano pasivo y factorizable, mientras que la dinámica del entrelazamiento es impulsada enteramente por la función de onda del movimiento relativo $\psi_{rel}(\vec{r}; t)$ .
Medida de Entrelazamiento: El entrelazamiento se cuantifica mediante la cantidad $I = S_1 + S_2 - S_{12}$ , donde $S_i$ son las entropías de von Neumann de las matrices de densidad reducidas ( $\rho_1, \rho_2$ ) y $S_{12}$ es la entropía de la matriz de densidad del estado puro total. Para un estado puro total, $S_{12}=0$ , lo que hace que $I$ sea una medida directa de la desviación del estado total de un estado producto.
Condiciones Iniciales: Las simulaciones comienzan con un estado producto $\psi(1, 2; 0) = \phi_1 \phi_2$ , asegurando un entrelazamiento inicial nulo ( $I=0$ ). Las partículas se inicializan como paquetes de ondas gaussianos separados por una distancia $2\sigma$ y aceleradas una hacia la otra con momentos $\pm k$ .
Implementación Numérica: La evolución temporal de la función de onda relativa se computa numéricamente. Las matrices de densidad reducidas se obtienen mediante trazas parciales, y las entropías se calculan en pasos de tiempo discretos.

Contribuciones Clave y Resultados
El estudio computa numéricamente la evolución temporal de la entropía de entrelazamiento a través de cuatro escenarios físicos distintos que involucran un potencial gaussiano $V(r) = \lambda e^{-\mu r^2}$ :

Barrera Repulsiva (Tunelización): Una colisión de baja energía ( $k=0.55$ ) donde la energía de la partícula es inferior a la altura de la barrera, lo que resulta en una tunelización y reflexión significativas.
Barrera Repulsiva (Alta Energía): Una colisión donde la energía relativa es el doble de la altura de la barrera ( $k=\sqrt{2}$ ).
Barrera Repulsiva (Energía de Resonancia): Una colisión donde la energía relativa es igual a la altura de la barrera ( $k=1$ ).
Potencial Atractivo: Una colisión que involucra un pozo atractivo ( $V = -e^{-x^2}$ ) con una energía igual a la magnitud de la barrera anterior ( $k=1$ ).

Hallazgos:

Tendencia de Formación Universal: A pesar de las diferencias significativas en las funciones de onda físicas y las matrices de densidad en los cuatro escenarios (que van desde efectos de tunelización hasta una simple transmisión), la evolución temporal de la entropía de entrelazamiento $I(t)$ exhibe un comportamiento notablemente similar. En todos los casos, $I(t)$ aumenta monótonamente y parece saturarse.
Estabilidad Asintótica: El artículo observa que a medida que el tiempo transcurre y las partículas se separan (la distancia relativa $\langle x \rangle$ crece linealmente con el tiempo), el potencial de interacción efectivamente se desactiva. En consecuencia, la entropía de entrelazamiento alcanza un valor estable y asintótico.
Consistencia de Magnitud: Los valores calculados para la entropía de entrelazamiento asintótica son del mismo orden de magnitud en los diferentes regímenes de energía y tipos de potencial (repulsivo vs. atractivo). Por ejemplo, en los casos repulsivos, $I$ se estabiliza alrededor de valores entre 1.1 y 2.2, mientras que el caso atractivo se estabiliza alrededor de 1.2.
Comparación con Resultados Relativistas: Los autores señalan que las magnitudes de entrelazamiento halladas en este enfoque no relativista son comparables a las encontradas en el enfoque de la matriz S relativista de la Ref. [1].

Significancia y Reivindicaciones
La principal significancia de este trabajo es proporcionar una respuesta concreta a la pregunta sobre la evolución del entrelazamiento en tiempos finitos, la cual era inaccesible mediante la teoría de la matriz S por sí sola.

Resolución de una Pregunta Abierta: El estudio demuestra que la entropía de entrelazamiento crece desde cero hasta un valor asintótico finito durante el proceso de colisión, siguiendo un patrón de tipo sigmoide.
Universalidad: Los autores afirman que los detalles específicos del potencial (tunelización vs. reflexión, atracción vs. repulsión) no alteran drásticamente la tendencia o el orden de magnitud de la formación del entrelazamiento.
Conjeturas Modestas: Aunque la evidencia numérica sugiere fuertemente que este comportamiento de saturación sigmoidea es universal para tales colisiones, los autores declaran explícitamente que aún queda por establecer un teorema general que pruebe este comportamiento o proporcione límites rigurosos para $I$ . Confirman la consistencia con los resultados relativistas, pero reconocen la falta de un límite teórico general en el régimen no relativista.

En conclusión, el artículo establece que para colisiones no relativistas con potenciales de rango finito, el entrelazamiento se genera dinámicamente durante la interacción y se estabiliza una vez que las partículas se separan, siendo el valor final de la entropía robusto frente a variaciones en la energía de colisión y el tipo de potencial.

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