Stability and Bifurcation Routes in a Delayed Quadratic Map with Recursive Filtered Memory

Resumen Técnico: Estabilidad y Rutas de Bifurcación en un Mapa Cuadrático Retardado con Memoria Filtrada Recursiva

Planteamiento del Problema
Este estudio aborda la brecha en la caracterización sistemática de modelos discretos suaves que incorporan simultáneamente una no linealidad cuadrática, un retraso temporal de un paso y una retroalimentación de memoria filtrada recursiva. Aunque los mapas cuadráticos retardados y los mapas logísticos modificados por memoria han sido estudiados por separado, el acoplamiento específico de un retraso explícito ($k$) y una memoria filtrada recursiva ($\eta, \mu$) dentro de un único mapa polinomial sigue estando poco desarrollado. El desafío principal radica en distinguir cómo estos distintos mecanismos de retroalimentación influyen en la estabilidad del punto fijo, la estructura de los multiplicadores y las rutas específicas mediante las cuales se pierde la estabilidad (por ejemplo, bifurcaciones de pliegue, salto o Neimark–Sacker).

Metodología
Los autores formulan una recurrencia cuadrática retardada con retroalimentación de memoria filtrada de primer orden:
$$x_{n+1} = c - x_n^2 + kx_{n-1} + \eta z_n$$
$$z_{n+1} = (1-\mu)z_n + \mu x_n$$
donde $k$ es la fuerza del retraso, $\eta$ es la fuerza de la memoria filtrada y $\mu$ es la tasa de actualización de la memoria.

Para analizar el sistema, los autores:

1. Incrustan el Sistema: Incrustan la recurrencia escalar en un mapa polinomial suave tridimensional $F(x, y, z)$ estableciendo $y_n = x_{n-1}$, lo que permite la derivación explícita de la rama del punto fijo, el determinante del Jacobiano y el polinomio característico.
2. Normalización: Aplican un escalamiento lineal invertible para normalizar el coeficiente cuadrático a la unidad, asegurando que la estructura de estabilidad cualitativa se preserve.
3. Análisis de Estabilidad: Aplican el criterio de Schur–Jury al polinomio característico de la matriz Jacobiana en el punto fijo. Esto reduce las condiciones de estabilidad a desigualdades explícitas en términos de la coordenada del punto fijo $x^*$.
4. Verificación de Bifurcaciones: Derivan condiciones algebraicas de genericidad (no degeneración, transversalidad y no resonancia) para clasificar los cruces del círculo unitario como bifurcaciones de pliegue (fold), salto (flip) o Neimark–Sacker.
5. Validación Numérica: Emplean continuaciones numéricas, espectros de Lyapunov, dimensiones de Kaplan–Yorke y escaneos del plano de parámetros para validar los umbrales analíticos y observar las transiciones de los atractores post-críticos.

Contribuciones Clave

• Umbrales de Estabilidad Explícitos: El estudio deriva desigualdades de estabilidad en forma cerrada en la coordenada del punto fijo $x^*$. Demuestra que la fuerza del retraso $k$ y la fuerza de la memoria $\eta$ entran en la rama del punto fijo únicamente a través del término combinado $(k + \eta)$, mientras que la tasa de actualización de la memoria $\mu$ influye en la estructura de los multiplicadores a través del Jacobiano pero no afecta la ubicación de los puntos fijos.
• Separación de Rutas de Bifurcación: Los autores separan explícitamente los límites de estabilidad en:
  • Límites de Multiplicador Real: Identificados como umbrales de pliegue ($\lambda=1$) y salto ($\lambda=-1$).
  • Límite de Par Complejo: Se demuestra que el tercer límite de Schur–Jury es un candidato para una bifurcación de Neimark–Sacker solo bajo condiciones específicas de signo de la retroalimentación de la memoria filtrada.
• Condiciones de Admisibilidad: Una contribución crítica es la derivación de las condiciones de admisibilidad para el límite del par complejo. El artículo prueba que una bifurcación de Neimark–S–S es posible solo si la retroalimentación de la memoria filtrada $\eta$ satisface desigualdades específicas en relación con $k$ y $\mu$. En el régimen de retraso positivo y retroalimentación filtrada positiva, la ruta del par complejo queda matemáticamente excluida, dejando la bifurcación de salto como la única ruta hacia la inestabilidad.
• Degeneración Pliegue–Salto: El estudio identifica el lugar geométrico $\eta = (2-\mu)(1-k)$ donde los umbrales de pliegue y salto coinciden, definiendo una degeneración de pliegue–salto.

Resultos

• Régimen de Retroalimentación Positiva: Para $k > 0$ y $\eta \geq 0$, el sistema pierde la estabilidad exclusivamente a través de una bifurcación de salto (doble de periodo). La rama superior del punto fijo se vuelve inestable en el umbral de salto, lo que conduce a un cascada de duplicaciones de periodo, bandas caóticas y ventanas periódicas. La ruta del par complejo es inadmisible en este régimen.
• Régimen de Retroalimentación Competitiva: Cuando los signos de $k$ y $\eta$ permiten una retroalimentación competitiva (específicamente un $\eta$ suficientemente negativo), el límite del par complejo se vuelve admisible. En este escenario, la pérdida de estabilidad está gobernada por un par conjugado complejo que cruza el círculo unitario, lo que conduce a una dinámica de tipo curva invariante (movimiento rotacional) en lugar de la duplicación de periodo.
• Papel de $\mu$: La tasa de actualización de la memoria $\mu$ no desplaza la rama del punto fijo, pero altera significamente los límites de estabilidad y la admisibilidad de la ruta del par complejo al modificar los autovalores del Jacobiano.
• Dinámica Global: Las simulaciones numéricas confirman que los umbrales analíticos predicen con precisión la transición de puntos fijos estables a órbitas periódicas, caos o curvas invariantes. Las proyecciones en el espacio de fases ilustran cómo la coordenada de retraso y la variable de memoria filtrada dan forma a la geometría de los atractores.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que el estado de la memoria filtrada recursiva no es meramente una coordenada adicional, sino un mecanismo fundamental que altera la geometría de los multiplicadores del mapa cuadrático incrustado. El estudio establece que el retraso y la memoria filtrada no simplemente desplazan la ventana de estabilidad; determinan qué mecanismo del círculo unitario (multiplicador real vs. par complejo) es dinámicamente accesible. Al separar explícitamente las rutas de multiplicador real y de par complejo y al proporcionar condiciones de admisibilidad rigurosas, el trabajo clarifica la estructura de bifurcación local de esta clase de mapas. Los autores señalan modestamente que sus resultados son locales y se centran en puntos fijos a lo largo de continuaciones de un solo parámetro, dejando el despliegue de bifurcaciones globales, las lenguas de resonancia y la ruptura de curvas invariantes para investigaciones futuras.