Fractional-Order Linear-Quadratic-Regulator-Based Sliding Mode Control with Half- Derivative Sliding Motion Condition for Magnetic Levitation Systems

Resumen Técnico: Control de Modo Deslizante basado en Regulador Cuadrático Lineal de Orden Fraccionario con Condición de Movimiento Deslizante de Semiderivada para Sistemas de Levitación Magnética

Planteamiento del Problema
Los sistemas de levitación magnética, particularmente los de tipo de fuerza atractiva, exhiben una fuerte no linealidad e inestabilidad inherente, lo que plantea desafíos significativos para el control robusto de seguimiento de trayectoria. Aunque el Control de Modo Deslizante (SMC) es un método de control no lineal práctico, el SMC de orden entero (IOSMC) convencional suele sufrir de "chattering" (vibración de alta frecuencia): oscilaciones de alta frecuencia en la entrada de control causadas por la función signo discontinua. Este fenómeno puede degradar el rendimiento del sistema y dañar el hardware. Aunque se ha propuesto el SMC de orden fraccionario (FOSMC) para abordar estos problemas, la investigación existente se limita en gran medida al análisis teórico y la simulación numérica, careciendo de marcos de diseño sistemáticos que aseguren la consistencia estructural entre el controlador y el modelo linealizado de la planta. Además, muchos diseños de FOSMC existentes dependen de la selección heurística o empírica de la superficie de deslizamiento en lugar de la optimización.

Metodología
Los autores proponen una estrategia de diseño sistemática para FOSMC aplicada a un sistema de levitación magnética de tipo fuerza atractiva controlado por voltaje. La metodología procede a través de los siguientes pasos:

1. Modelado y Linealización: La dinámica no lineal del sistema de levitación magnética se linealiza alrededor de un punto de equilibrio. Este modelo de orden entero se extiende luego a un modelo de espacio de estados de orden fraccionario utilizando la definición de la derivada de Caputo con un orden de $\alpha = 0.5$. Para facilitar el control de servomotor, se incorporan integradores en el vector de estado para gestionar los errores de seguimiento de la trayectoria.
2. Diseño de la Superficie de Deslizamiento mediante LQR de Orden Fraccionario: A diferencia de los enfoques heurísticos, el vector de coeficientes de la superficie de deslizamiento se deriva utilizando la teoría del Regulador Cuadrático Lineal (LQR) de orden fraccionario. Se obtiene un vector de ganancia de retroalimentación óptimo minimizando una función de costo cuadrática adaptada para la dinámica de orden fraccionario mediante un algoritmo de optimización basado en gradiente (específicamente fminunc de MATLAB).
3. Control Equivalente y Condición de Deslizamiento: El control equivalente se deriva analíticamente imponiendo la condición de que la derivada de orden 0.5 de la función de conmutación sea cero. Esto asegura la consistencia estructural entre la función de conmutación y la entrada de control.
4. Control de Conmutación y Supresión de Chattering: Para mitigar el chattering, la función signo discontinua en la entrada de control de conmutación se reemplaza con una función sigmoide continua. Esta modificación permite que el sistema sea tratado como un campo vectorial continuo, eliminando la necesidad del marco de inclusión diferencial de Filippov.
5. Análisis de Estabilidad: La estabilidad del sistema de lazo cerrado se analiza utilizando la teoría de Lyapunov. Los autores demuestran que, al aplicar la propiedad de semigrupo de la derivada de Caputo, el análisis de estabilidad del sistema de orden fraccionario con una entrada de conmutación basada en sigmoide puede reducirse a un caso equivalente de orden entero.
   • En ausencia de perturbaciones, el sistema exhibe estabilidad exponencial dentro de la capa límite.
   • En presencia de perturbaciones acotadas, la función de conmutación converge a un cuasi-modo deslizante dentro de una región acotada (capa límite).
   • Se demuestra que el tamaño de esta capa límite depende de la ganancia de control, el parámetro de suavizado ($\delta$) y el límite de la perturbación, en lugar del orden fraccionario en sí.
6. Observador de Estado: Se implementa un observador de estado de orden fraccionario mediante el método de asignación de polos para estimar los estados no medibles, incluyendo las derivadas de orden fraccionario, utilizando filtros de Oustaloup para la aproximación numérica.

Contribuciones Clave

• Marco de Diseño Sistemático: El artículo presenta el primer marco integral que integra el LQR de orden fraccionario para el diseño de la superficie de deslizamiento con una derivación sistemática de las leyes de FOSMC, asegurando la consistencia teórica con el modelo de la planta linealizada.
• Condición de Deslizamiento de Semiderivada: El estudio introduce una estrategia de diseño específica donde la derivada de orden 0.5 de la función de conmutación se establece en cero, facilitando la derivación de la entrada de control equivalente.
• Análisis de Estabilidad Riguroso: Los autores proporcionan una prueba de estabilidad rigurosa que muestra cómo el uso de una función sigmoide permite al sistema evitar las soluciones de Filippov mientras garantiza la estabilidad de Lyapunov dentro de una capa límite. Clarifican el compromiso entre el espesor de la capa límite y la sensibilidad al ruido, derivando una función de costo para determinar el parámetro de suavizado óptimo.
• Verificación Experimental: El estudio va más allá de la simulación para validar el método propuesto en un aparato experimental de levitación magnética real, comparándolo directamente contra el IOSMC convencional.

Resultados
Los resultados experimentales y de simulación demuestran que el FOSMC propuesto supera al IOSMC convencional en varias áreas clave:

• Precisión de Seguimiento: El FOSMC logró un Integral de Error Absoluto (IAE) y un Integral de Error Absoluto Ponderado en el Tiempo (ITAE) significativamente menores en comparación con el IOSMC. En experimentos, el FOSMC rastreó con éxito valores objetivo donde el IOSMC falló (por ejemplo, a una brecha de 3.5 mm, el IOSMC causó que la bola chocara contra el electroimán).
• Supresión de Chattering: La Variación Total (TV) del voltaje de control se redujo drásticamente en el FOSMC (en más de un 50% en experimentos y órdenes de magnitud en simulaciones), lo que indica una eliminación efectiva del chattering.
• Robustez: El sistema mantuvo la estabilidad y el rendimiento de seguimiento bajo variaciones de posición objetivo, mientras que el IOSMC exhibió inestabilidad en brechas menores.
• Optimización de Parámetros: El estudio identificó un parámetro de suavizado óptimo ($\delta_{opt} \approx 1.14$) que equilibra la precisión en estado estacionario frente a la sensibilidad al ruido y a las dinámicas no modeladas, validando el modelo de compromiso derivado.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que esta investigación establece al FOSMC como una estrategia de control práctica y confiable para plantas no lineales e inestables como los sistemas de levitación magnética. La principal significancia radica en cerrar la brecha entre el control de orden fraccionario teórico y la implementación en el mundo real. Al utilizar un modelo linealizado en el punto de equilibrio como base de diseño, el estudio asegura que la estructura del controlador sea consistente con la dinámica de la planta, permitiendo una determinación de ganancias transparente y reproducible.

El artículo sostiene que el método propuesto logra tanto la consistencia teórica como la efectividad de implementación. Destaca que el uso de la función sigmoide no solo suprime el chattering, sino que también simplifica el análisis de estabilidad al evitar marcos complejos de inclusión diferencial. Además, el estudio proporciona una guía fundamentada para la selección del parámetro de suavizado, abordando un desafío práctico común en el diseño de SMC. Los autores concluyen que, si bien el trabajo futuro debería explorar sistemas de múltiples grados de libertad y altamente no lineales, los resultados actuales validan la utilidad del control de orden fraccionario para mejorar la precisión de seguimiento y reducir las oscilaciones de la entrada de control en aplicaciones de levitación magnética.