Fractional-Order Linear-Quadratic-Regulator-Based Sliding Mode Control with Half- Derivative Sliding Motion Condition for Magnetic Levitation Systems

Resumo Técnico: Controle por Modos Deslizantes de Ordem Fracionária Baseado em Regulador Linear-Quadrático-Quadrático com Condição de Movimento de Deslizamento de Meia-Derivada para Sistemas de Levitação Magnética

Definição do Problema
Sistemas de levitação magnética, particularmente os do tipo de força atrativa, exibem forte não linearidade e instabilidade inerente, o que impõe desafios significantes para o controle robusto de rastreamento de alvo. Embora o Controle por Modos Deslizantes (SMC) seja um método de controle não linear prático, o SMC de ordem inteira (IOSMC) convencional frequentemente sofre com o "chattering" — oscilações de alta frequência na entrada de controle causadas pela função sinal descontínua. Este fenômeno pode degradar o desempenho do sistema e danificar o hardware. Embora o FOSMC (SMC de ordem fracionária) tenha sido proposto para abordar esses problemas, as pesquisas existentes estão amplamente confinadas à análise teórica e simulação numérica, com uma carência de estruturas de projeto sistemáticas que garantam a consistência estrutural entre o controlador e o modelo linearizado da planta. Além disso, muitos projetos de FOSMC existentes baseiam-se em seleção de superfície de deslizamento empírica ou heurística, em vez de otimização.

Metodologia
Os autores propõem uma estratégia de projeto sistemática para FOSMC aplicada a um sistema de levitação magnética do tipo força atrativa controlado por tensão. A metodologia procede através das seguintes etapas:

1. Modelagem e Linearização: A dinâmica não linear do sistema de levitação magnética é linearizada em torno de um ponto de equilíbrio. Este modelo de ordem inteira é então estendido para um modelo de espaço de estados de ordem fracionária usando a definição de Caputo para a derivada com uma ordem de $\alpha = 0,5$. Para facilitar o controle de servo, integradores são incorporados ao vetor de estado para lidar com erros de rastreamento de alvo.
2. Projeto da Superfície de Deslizamento via LQR de Ordem Fracionária: Diferente de abordagens heurísticas, o vetor de coeficientes da superfície de deslizamento é derivado utilizando a teoria do Regulador Linear Quadrático (LQR) de ordem fracionária. Um vetor de ganho de feedback ótimo é obtido minimizando uma função de custo quadrática adaptada para a dinâmica de ordem fracionária usando um algoritmo de otimização baseado em gradiente (especificamente o fminunc do MATLAB).
3. Controle Equivalente e Condição de Deslizamento: O controle equivalente é derivado analiticamente impondo a condição de que a 0,5ª derivada da função de comutação seja zero. Isso garante a consistência estrutural entre a função de comutação e a entrada de controle.
4. Controle de Comutação e Supressão de Chattering: Para mitigar o chattering, a função sinal descontínua na entrada de controle de comutação é substituída por uma função sigmoide contínua. Esta modificação permite que o sistema seja tratado como um campo vetorial contínuo, eliminando a necessidade do framework de inclusão diferencial de Filippov.
5. Análise de Estabilidade: A estabilidade do sistema de malha fechada é analisada usando a teoria de Lyapunov. Os autores demonstram que, ao aplicar a propriedade de semigrupo da derivada de Caputo, a análise de estabilidade do sistema de ordem fracionária com uma entrada de comutação baseada em sigmoide pode ser reduzida a um caso equivalente de ordem inteira.
   • Na ausência de distúrbios, o sistema exibe estabilidade exponencial dentro da camada de contorno.
   • Na presença de distúrbios limitados, a função de comutação converge para um modo de deslizamento quase-estável dentro de uma região limitada (camada de contorno).
   • O tamanho desta camada de contorno é mostrado como dependente do ganho de controle, do parâmetro de suavização ($\delta$) e do limite do distúrbio, em vez da ordem fracionária em si.
6. Observador de Estado: Um observador de estado de ordem fracionária é implementado usando o método de alocação de polos para estimar estados não mensuráveis, incluindo derivadas de ordem fracionária, utilizando filtros de Oustaloup para aproximação numérica.

Principais Contribuições

• Estrutura de Projeto Sistemática: O artigo apresenta o primeiro framework abrangente que integra LQR de ordem fracionária para o projeto da superfície de deslizamento com uma derivação sistemática de leis de FOSMC, garantindo consistência teórica com o modelo linearizado da planta.
• Condição de Deslizamento de Meia-Derivada: O estudo introduz uma estratégia de projeto específica onde a 0,5ª derivada da função de comutação é definida como zero, facilitando a derivação da entrada de controle equivalente.
• Análise de Estabilidade Rigorosa: Os autores fornecem uma prova de estabilidade rigorosa mostrando que o uso de uma função sigmoide permite que o sistema evite soluções de Filippov enquanto garante estabilidade de Lyapunov dentro de uma camada de contorno. Eles esclarecem o compromisso entre a espessura da camada de contorno e a sensibilidade ao ruído, derivando uma função de custo para determinar o parâmetro de suavização ideal.
• Verificação Experimental: O estudo vai além da simulação para validar o método proposto em um aparato experimental real de levitação magnética, comparando-o diretamente com o IOSMC convencional.

Resultados
Resultados experimentais e de simulação demonstram que o FOSMC supera o IOSMC convencional em várias áreas chave:

• Precisão de Rastreamento: O FOSMC alcançou Integral de Erro Absoluto (IAE) e Integral de Erro Absoluto Ponderado pelo Tempo (ITAE) significativamente menores em comparação ao IOSMC. Em experimentos, o FOSMC rastreou com sucesso valores alvo onde o IOSMC falhou (ex: em um gap de 3,5 mm, o IOSMC fez a bola colidir com o eletroímã).
• Supressão de Chattering: A Variação Total (TV) da tensão de controle foi drasticamente reduzida no FOSMC (em mais de 50% nos experimentos e ordens de magnitude nas simulações), indicando eliminação eficaz do chattering.
• Robustez: O sistema manteve estabilidade e desempenho de rastreamento sob variações de posição do alvo, enquanto o IOSMC exibiu instabilidade em gaps menores.
• Otimização de Parâmetros: O estudo identificou um parâmetro de suavização ideal ($\delta_{opt} \approx 1,14$) que equilibra a precisão do estado estacionário contra a sensibilidade ao ruído e dinâmicas não modeladas, validando o modelo de compromisso derivado.

Significância e Alegações
Os autores alegam que esta pesquisa estabelece o FOSMC como uma estratégia de controle prática e confiável para plantas não lineares e instáveis, como sistemas de levitação magnética. A principal significância reside em preencher a lacuna entre o controle de ordem fracionária teórico e a implementação no mundo real. Ao utilizar um modelo linearizado no ponto de equilíbrio como base de projeto, o estudo garante que a estrutura do controlador seja consistente com a dinâmica da planta, permitindo uma determinação de ganho transparente e reproduzível.

O artigo afirma que o método proposto alcança tanto consistência teórica quanto eficácia de implementação. Destaca que o uso da função sigmoide não apenas suprime o chattering, mas também simplifica a análise de estabilidade ao evitar complexos frameworks de inclusão diferencial. Além disso, o estudo fornece uma diretriz fundamentada para a seleção do parâmetro de suavização, abordando um desafio prático comum no projeto de SMC. Os autores concluem que, embora trabalhos futuros devam explorar sistemas de múltiplos graus de liberdade e altamente não lineares, os resultados atuais validam a utilidade do controle de ordem fracionária para aumentar a precisão de rastreamento e reduzir as oscilações da entrada de controle em aplicações de levitação magnética.