One Truncated Likelihood Expansion: Estimation, Testing, and Classification as a Single Captured-Fraction Functional

Resumen Técnico: Expansión de Verosimilitud Truncada Única

Planteamiento del Problema
En la inferencia estadística, la estimación de parámetros, el contraste de hipótesis y la clasificación de señales (descomposición) se tratan tradicionalmente como tareas distintas, cada una gobernada por maquinaria teórica y métricas de calidad separadas: eficiencia del estimador, probabilidad de error/retraso de detección y error de reconstrucción, respectivamente. El artículo postula que estas tres tareas suelen estudiarse de forma aislada, ocultando sus límites estructurales compartidos. El problema central abordado es si estas tres tareas pueden unificarse bajo un único objeto y una única medida de "completitud", particularmente en regímenes donde las expansiones ortogonales clásicas (p. ej., polinomios de Hermite) fallan, como bajo distribuciones de cola pesada.

Metodología
El artículo propone un marco unificado basado en la expansión truncada de la log-verosimilitud en una base fija, posiblemente no ortogonal $\{\phi_i\}$. La metodología central involucra:

1. El Objeto Maestro: Una serie de verosimilitud de Kunchenko truncada definida como:
   $$\log p(x; \theta) = \psi_0(\theta) + \sum_{i \le m} k_i(\theta) (\phi_i(x) - \psi_i) + R_m(x; \theta)$$
   donde los coeficientes se resuelven mediante un sistema normal (mínimos cuadrados generalizados) y $R_m$ es el residuo de truncamiento ortogonal.

2. Tres Tareas de una Sola Serie: Las tres tareas estadísticas se derivan como operaciones elementales sobre esta única serie:

   • Estimación: La diferenciación con respecto al parámetro ($\partial_\theta$) produce la función de puntuación (score), conduciendo a un estimador de maximización polinómica.
   • Detección: La diferenciación entre dos hipótesis ($\Delta$) produce la razón de verosimilitud (LLR), conduciendo a una prueba de Neyman–Pearson. Una versión secuencial se forma componiendo esta diferencia con el tiempo.
   • Descomposición: La norma del residuo de truncamiento proporciona el error de reconstrucción.

3. El Funcional Unificador: La calidad de las tres tareas se mide mediante un único funcional, el funcional de fracción capturada $\kappa_m$:
   $$\kappa_m(z; \nu) = \frac{\| \text{proj}_{V_m} \mathring{z} \|_\nu^2}{\| \mathring{z} \|_\nu^2}$$
   donde $V_m$ es el subespacio generado por las funciones de la base centradas, y $\mathring{z}$ es el objeto centrado de interés (score, LLR o log-densidad).

   • Para la estimación, $z$ es el score $S$; la lectura es la eficiencia relativa asintótica $g$.
   • Para la detección, $z$ es el LLR $\Lambda$; la lectura es la razón capturada $c$.
   • Para la descomposición, $z$ es la log-densidad; la lectura es $R^2$.

4. Selección de la Base: El marco utiliza bases fraccionarias no ortogonales (p. ej., $\rho_a(x) = \text{sgn}(x)|x|^a$) específicamente para abordar distribuciones de cola pesada donde los sistemas polinómicos/de Hermite no son integrables al cuadrado.

Contribuciones Clave

• Unificación Estructural (C1): El artículo demuestra que la estimación, la detección y la descomposición no son tres métodos separados, sino un solo objeto leído de tres maneras distintas. Su calidad está gobernada por el mismo funcional $\kappa_m$ aplicado a diferentes objetos. Crucialmente, el artículo aclara que estas lecturas son generalmente números diferentes (p. ej., en la ley de Laplace, $g$ y $c$ aumentan a ritmos distintos), pero alcanzan el valor de 1 simultáneamente si y solo si la base captura el estadístico suficiente (Teorema 1).
• Completitud vía Cambio de Base (C2): Una contribución teórica mayor es un teorema de completitud (Teorema 3) que muestra que, bajo colas pesadas (índice de cola $\alpha$), un sistema fraccionario no ortogonal con exponentes que se acumulan en $(0, \alpha/2)$ es denso en $L^2(\nu)$. Esto restaura la clausura $L^2$ que los sistemas polinómicos ortogonales pierden en estos regímenes, permitiendo que la fracción capturada se aproxime a 1 donde las expansiones de Hermite divergen.
• Características Operativas (C3): La fracción capturada se identifica como la característica operativa tanto para la estimación como para la detección.
  • Estimación: $g$ es la eficiencia relativa asintótica (ARE) del estimador frente al estimador de máxima verosimilitud.
  • Detección: $g$ determina la potencia asintótica local y la eficacia relativa de Pitman de la prueba.
    Esto proporciona una declaración de potencia unificada para la inferencia de cola pesada donde las bases ortogonales no pueden definir la eficacia.
• **Igualdad de Rama Cruzada Local (C4): ** El artículo prueba que en el límite local de una brecha de hipótesis evanescente ($\delta \to 0$), la lectura de detección $c(\delta)$ converge a la lectura de estimación $g$, formalizando la forma de la Normalidad Asintótica Local (LAN) mediante la fracción capturada.
• Ancla Gaussiana y Verificación por Máquina (C5): Un modelo de desplazamiento de covarianza gaussiana sirve como "ancla" donde la proyección de orden dos es exacta. El artículo proporciona pruebas verificadas por máquina (en Lean 4/Mathlib) que aseguran que, en este ancla, el estadístico secuencial es igual a la razón de verosimilitud exacta, garantizando que la optimalidad clásica de CUSUM se aplica directamente.
• Principio de Reducción (C7): El marco produce un corolario de invariancia: cualquier transformación que deje invariante la evaluación de la base deja sin cambios todas las lecturas de rama (score, LLR, error de reconstrucción). Esto recupera el principio de reducción como una consecuencia generativa de la factorización de la serie única.

Resultados
El artículo valida su teoría mediante un estudio sintético controlado con 15 verificaciones preespecificadas:

• Terminación: En la familia Gaussiana, todas las lecturas ($g, c, R^2$) alcanzan 1 exactamente cuando la base incluye el estadístico suficiente (p. ej., $x^2$ para el desplazamiento de la varianza).
• Aumento Conjunto: En la distribución de Laplace, todas las lecturas aumentan hacia 1 a medida que la base se enriquece, aunque a ritmos diferentes según el objeto.
• Igualdad Local: Los experimentos numéricos confirman que, a medida que la brecha de hipótesis $\delta$ se reduce, la lectura de detección converge a la lectura de estimación.
• Ventaja de Cola Pesada: En las distribuciones Student-$t_3$ y Cauchy, la base fraccionaria captura una información de Fisher significativa (p. ej., $g \approx 0.96$ para $t_3$) donde la matriz de Gram polinómica diverge. La base ortogonal falla al proporcionar una eficacia definida en estos regímenes.
• Completitud: A medida que los exponentes fraccionarios se densifican, la fracción capturada se aproxima a 1 tanto para objetivos de cola ligera (Laplace) como de cola pesada (Student-$t_3$).

Significado y Reivindicaciones
El artículo reclama modestamente proporcionar una unificación estructural en lugar de una identidad numérica. Argumenta que la visión de "escalar único" de la inferencia solo es válida en anclas terminantes específicas (familias exponenciales) o en límites locales. Su principal significación radica en:

1. Unificar la Teoría: Demostrar que tres ramas distintas de la estadística comparten una única medida funcional de completitud.
2. Extenderse a Colas Pesadas: Demostrar que las bases fraccionarias no ortogonales no son meramente convenientes, sino necesarias para restaurar la completitud $L^2$ y definir la eficacia de la inferencia en leyes de cola pesada donde los sistemas polinómicos clásicos fallan.
3. Claridad Operativa: Vincular la fracción capturada directamente con la eficiencia relativa asintótica y la potencia local, proporcionando una métrica única para evaluar la "bondad" de una base a través de las tareas de estimación, detección y descomposición.

El trabajo no pretende que las tres lecturas sean números idénticos en general, sino que están estructuralmente vinculadas, aumentan juntas con el enriquecimiento de la base y coinciden bajo condiciones específicas (suficiencia o límites locales). El núcleo verificado por máquina se limita al ancla Gaussiana, mientras que los resultados de cola pesada y de bases generales se basan en pruebas analíticas y verificación numérica.