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Equilibrium Analysis and Gyro-Stabilization of Two-Wheel Inverted Pendulum Robot on Inclined Surfaces

Este estudio presenta un modelo dinámico no lineal y una estrategia de control de doble lazo para un robot de péndulo invertido de dos ruedas equipado con un giroscopio de momento de control de par de tijera, demostrando su capacidad para mantener el equilibrio y navegar por superficies inclinadas al aprovechar el torque giroscópico para contrarrestar las fuerzas gravitatorias en un ángulo de inclinación específico.

Autores originales: ِAhmed Amin, Moustafa Fouz, Ahmed Elsawaf

Publicado 2026-08-07

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CC BY 4.0

Autores originales: ِAhmed Amin, Moustafa Fouz, Ahmed Elsawaf

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina un mundo donde los robots no solo ruedan sobre suelos llanos, sino que pueden navegar con gracia por colinas empinadas, equilibrándose sobre dos ruedas como un humano en un monociclo. Este es el reino del Robot de Péndulo Invertido de Dos Ruedas (TWIPR). Piensa en él como una versión mecánica del clásico problema del "carro y la vara": un palo pesado (el cuerpo del robot) que se equilibra sobre un carro móvil (las ruedas). Si el palo se inclina aunque sea un poquito, la gravedad quiere tirar de él hacia abajo, por lo que el carro debe moverse constantemente hacia adelante y hacia atrás para atraparlo. Esto es complicado porque el robot está "subactuado", lo que significa que tiene menos controles de los que tiene formas de moverse; no puede simplemente prescar un botón para mantenerse erguido. Por lo general, estos robots dependen enteramente de que sus ruedas giren más rápido o más lento para mantener el equilibrio. Pero, ¿qué pasa cuando el suelo no es plano? En una colina, la gravedad tira del robot hacia abajo de la pendiente, haciendo que el acto de equilibrio sea aún más difícil. Para resolver esto, los científicos han empezado a observar los giroscopios: ruedas giratorias que actúan como trompos pesados y obstinados. Al igual como una rueda de bicicleta giratoria resiste ser inclinada, un giroscopio dentro de un robot puede generar una poderosa fuerza de torsión para ayudarlo a mantenerse erguido sin que las ruedas tengan que hacer todo el trabajo pesado.

Este artículo explora una nueva y astuta forma de construir tal robot para terrenos con pendiente. Los investigadores, Ahmed Amin, Moustafa Fouz y Ahmed Elsawaf, diseñaron un robot que utiliza un par especial de "tijera" de giroscopios para ayudarlo a equilibrarse. Descubrieron que, en una pendiente, el robot no puede mantenerse perfectamente recto hacia arriba; tiene que inclinarse en un ángulo específico, no nulo, para mantenerse en equilibrio, de forma muy similar a un ciclista que se inclina hacia una curva. Crearon un modelo matemático detallado para predecir exactamente cuánto debe inclinarse el robot basándose en la inclinación de la colina y la distribución del peso del robot. También demostraron que, si bien los giroscopios son excelentes para correcciones rápidas, no pueden mantener al robot erguido para siempre en una colina empinada; eventualmente, las ruedas del robot deben proporcionar la fuerza constante para luchar contra la gravedad. Para probar sus ideas, construyeron un robot virtual en una simulación por computadora y encontraron que su matemática coincidía perfectamente con la física de la computadora. Su sistema de control propuesto, que utiliza un cerebro para la velocidad y otro para el equilibrio, mantuvo con éxito al robot erguido y en movimiento en una pendiente de 5 grados, demostrando que este diseño asistido por giroscopios es una vía viable para abordar superficies inclinadas.

El robot con un secreto giratorio

Conoce al robot: una máquina de dos ruedas que parece un scooter futurista pero tiene un arma secreta escondida en su pecho. En lugar de confiar solo en sus ruedas para mantenerse erguido, este robot transporta un par de volantes de inercia de alta velocidad, conocidos como Giroscopio de Momento de Control de Par de Tijera (SPCMG). Imagina dos trompos giratorios dentro del robot, montados en un armazón que puede inclinarlos hacia adelante y hacia atrás. Cuando el robot comienza a tambalearse, estos trompos no solo giran; se inclinan, creando un poderoso "torque giroscópico" que empuja al robot de vuelta al equilibrio. Es como tener un músculo interno mágico que puede torcer el cuerpo del robot sin tocar el suelo.

Los investigadores querían ver si este músculo mágico podía ayudar al robot a enfrentar un desafío real: superficies inclinadas. La mayoría de los robots son probados en suelos llanos, pero el mundo real está lleno de rampas y colinas. El equipo se preguntó: ¿Puede este robot estabilizado por giroscopios equilibrarse en una pendiente? Si es así, ¿cómo lo hace y cuáles son sus límites?

La verdad inclinada: Por qué estar derecho no funciona

Uno de los hallazgos más interesantes del artículo es un tanto contraintuitivo. Podrías pensar que, para equilibrarse en una colina, un robot debería estar perfectamente recto hacia arriba. Pero las matemáticas dicen lo contrario. Los investigadores descubrieron que, en una pendiente, el robot debe inclinarse en un ángulo específico para mantenerse en equilibrio.

Piénsalo de esta manera: si estás de pie en una colina empinada, naturalmente te inclinas hacia adelante para evitar caer hacia atrás. El robot hace lo mismo. El equipo derivó una fórmula que muestra que el ángulo al que se inclina el robot (el ángulo de inclinación de equilibrio) depende de dos cosas: qué tan empinada es la colina y un número especial que llamaron Relación de Torque Estático del Chasis al Robot (representado por la letra griega $\xi$ ). Esta relación es básicamente una medida de cómo se distribuye el peso del robot en comparación con el tamaño de su rueda.

El artículo muestra que si el diseño del robot tiene un valor de $\xi$ bajo, tiene que inclinarse mucho para mantenerse en equilibrio en una colina. Si el diseño tiene un $\xi$ alto, puede mantenerse más erguido. Esta relación es crucial porque le dice a los ingenieros exactamente cómo construir el robot para que no se vuelque en una pendiente. Los investigadores calcularon que para su diseño específico de robot, con un $\xi$ de 0.5, estar en una pendiente de 5 grados requiere que el robot se incline en un ángulo de equilibrio de unos 10 grados.

Los límites del giro: Cuando los giroscopios necesitan ayuda

Aquí es donde la historia se vuelve un poco más realista. Aunque los giroscopios son increíbles para movimientos rápidos y repentinos (como atrapar al robot si comienza a caerse), el artículo descarta explícitamente la idea de que puedan mantener al robot erguido para siempre en una colina empinada.

Los giroscopios funcionan inclinando sus ruedas giratorias. Pero solo pueden inclinarse hasta cierto punto antes de alcanzar una "singularidad", un punto donde pierden su poder para empujar de vuelta. Es como intentar abrir una puerta cuando estás parado justo al lado de la bisagra; eventualmente, te quedas sin palanca. El artículo explica que los giroscopios no pueden proporcionar una fuerza constante y constante para luchar contra la gravedad indefinidamente. En su lugar, las ruedas del robot deben asumir el trabajo de mantenerlo erguido contra el tirón de la pendiente. Los giroscopios son los "frenos de emergencia" y el "volante", mientras que las ruedas son el "motor" que evita que el robot se deslice hacia abajo.

Los investigadores también calcularon los límites absolutos de qué tan empinada puede ser la colina que este robot puede manejar. Encontraron dos barreras principales:

Geometría: Si la colina es demasiado empinada, el cuerpo del robot golpearía el suelo antes de que pudiera inclinarse lo suficiente para equilibrarse.
Fricción: Las ruedas necesitan suficiente agarre (fricción) para empujar contra la colina sin resbalar.

Combinando esto, el artículo sugiere que la pendiente máxima que el robot puede manejar está determinada por el valor menor de dos valores: la relación de diseño del robot ( $\xi$ ) o la fricción del suelo ( $\mu_s$ ). Para su robot, esto significa que teóricamente puede manejar pendientes hasta un cierto límite, pero si el suelo es resbaladizo o el diseño es "pesado en la parte superior", ese límite cae.

El cerebro de confianza: Dos controladores trabajando juntos

Para hacer que todo esto suceda, el equipo no solo construyó el robot; construyó un cerebro para él. Utilizaron un sistema de control "jerárquico", que es como tener dos gerentes trabajando juntos.

Gerente 1 (El Controlador de Locomoción): Este gerente utiliza un controlador PID (un tipo estándar de sistema de control) para decirle a las ruedas qué tan rápido deben girar. Su único trabajo es asegurar que el robot vaya a la velocidad que el usuario desea, ya sea acelerando, frenando o deteniéndose.
Gerente 2 (El Controlador de Equilibrio): Este gerente utiliza un algoritmo sofisticado llamado LQR (Regulador Cuadrático Lineal). Su trabajo es vigilar la inclinación del robot y el ángulo del giroscopio. Si el robot comienza a tambalearse, este gerente le dice a los giroscopios que se inclinen y empujen al robot de vuelta al ángulo de inclinación correcto.

La belleza de este sistema es que trabajan de forma independiente pero en sincronía. Las ruedas manejan la velocidad y los giroscopios manejan el equilibrio. Los investigadores probaron esto en una simulación por computadora (usando MATLAB/Simulink) y encontraron que funcionaba de maravilla.

La Simulación: Una prueba de 30 segundos

Para probar sus ideas, el equipo realizó una simulación donde el robot comenzó en una pendiente de 5 grados. Le dieron una orden: "¡Ve!". El robot aceleró a una velocidad de 1 m/s.

El Resultado: El robot alcanzó esa velocidad en unos 2.6 segundos sin tambalearse fuera de control.
La Parada: Luego, le dijeron que se detuviera. El robot redujo la velocidad y se detuvo por completo en unos 3.8 segundos.

Durante estas maniobras, el cuerpo del robot se inclinó hacia adelante y hacia atrás un poco (alcanzando una inclinación máxima de unos 26.15 grados cuando comenzó a moverse), pero los giroscopios lo corrigieron rápidamente, devolviéndolo a la inclinación constante de 10 grados requerida para esa pendiente. Los giroscopios mismos solo se inclinaron unos 32.5 grados en su punto más extremo, lo cual está bien dentro de sus límites seguros (pueden llegar hasta los 90 grados antes de perder potencia).

El artículo también revisó las fuerzas involucradas. Para mantener al robot moviéndose a una velocidad constante de 1 m/s cuesta arriba, las ruedas necesitaban aplicar un torque constante de aproximadamente 0.386 N·m solo para luchar contra la gravedad. Cuando el robot estaba acelerando, las ruedas tenían que empujar más fuerte, alcanzando unos 1.5 N·m. Al detenerse, tenían que frenar, alcanzando unos -1.1 N·m. Los giroscopios, mientras tanto, solo tuvieron que trabajar duro durante los cambios rápidos de velocidad, proporcionando un torque máximo de aproximadamente 1.45 N·m para evitar que el robot se cayera.

El Veredicto

El artículo concluye que este diseño estabilizado por giroscopios es una forma sólida y matemáticamente fundamentada de construir robots que puedan manejar colinas. Las simulaciones por computadora mostraron que el robot podía equilibrarse, moverse y detenerse en una pendiente sin caerse, y la matemática que escribieron predijo perfectamente lo que hizo la simulación de la computadora.

Sin embargo, los autores advierten cuidadosamente que esto es actualmente una simulación. Aún no han construido un robot físico para probar esto en una colina real. Sugieren que el siguiente paso es construir un prototipo y ver si funciona en el mundo real, donde cosas como hojas resbaladizas o un terreno irregular podrían complicar las cosas más de lo que lo hacen en la computadora. Pero por ahora, las matemáticas se ven bien, los giroscopios parecen listos y el camino para los robots escaladores de colinas se ve mucho más despejado.

Resumen Técnico: Análisis de Equilibrio y Estabilización Giroscópica de un Robot Péndulo Invertido de Dos Ruedas en Superficies Inclinadas

Planteamiento del Problema
Los robots péndulo invertido de dos ruedas (TWIPR, por sus siglas en inglés) son sistemas subactuados inherentemente inestables, donde el equilibrio se logra tradicionalmente únicamente mediante el par de las ruedas. Aunque esto es efectivo en terrenos llanos, los TWIPR convencionales enfrentan desafíos significంtes en superficies inclinadas. El acoplamiento entre el movimiento traslacional y el equilibrio del cuerpo complica el control, y los estudios existentes sobre la operación en pendientes se limitan en gran medida a arquitecturas impulsadas por ruedas o dependen de modelos linealizados que no logran capturar la dinámica de sistemas con mecanismos internos de intercambio de momento. Además, la integración de Giroscopios de Momento de Control (CMG) para la estabilización introduce nuevas complejidades: los CMG no pueden mantener un par constante en una dirección fija indefinidamente debido a las singularidades de la cardán (gimbal), y la relación entre la inclinación del terreno, los parámetros estructurales y la postura de equilibrio resultante en sistemas estabilizados por giroscopios permanece inexplorada.

Metodología
Los autores proponen un marco analítico y de control integral para un TWIPR equipado con un Giroscopio de Momento de Control de Par de Tijera (SPCMG) que opera en superficies inclinadas.

Modelado Dinámico: Se deriva un modelo dinámico no lineal completo utilizando la formulación de Euler–Lagrange. El modelo incorpora la dinámica acoplada del movimiento impulsado por las ruedas, la inclinación del chasis y la actuación giroscópica interna, contabilizando explícitamente los efectos gravitatorios inducidos por la pendiente. El sistema se define mediante coordenadas generalizadas que representan el desplazamiento longitudinal ( $z$ ), el ángulo de inclinación del chasis ( $\phi$ ) y el ángulo de precesión de la cardán ( $\theta$ ).
Validación del Modelo: Para garantizar la precisión, se desarrolla un modelo multibody de alta fidelidad en MATLAB/Simulink/Simscape Multibody. Esta representación basada en la física sirve como una herramienta de verificación independiente contra las ecuaciones matemáticas derivadas.
Análisis de Equilibrio: El estudio deriva una expresión analítica para la configuración de equilibrio dependiente de la pendiente. Introduce una métrica adimensional, la Relación de Par Estático Chasis-Robot ( $\xi$ ), definida como $\xi = \frac{m_c L}{m_R r}$ . Este parámetro vincula la distribución de masa y la geometría con el ángulo de inclinación de equilibrio. El análisis determina la inclinación máxima admisible del terreno combinando restricciones geométricas (límites de colisión del chasis) y restricciones de tracción rueda-superficie (límites de fricción).
Arquitectura de Control: Se implementa una estrategia de control jerárquica desacoplada:
- Subsistema de Locomoción: Un controlador Proporcional–Integral–Derivativo (PID) regula la velocidad longitudinal modulando el par de las ruedas.
- Subsistema de Equilibrio: Un Regulador Cuadrático Lógico (LQR) controla la velocidad angular de la cardán para estabilizar el chasis alrededor del ángulo de equilibrio dependiente de la pendiente. El diseño del LQR incluye un estado integral para el ángulo de la cardán para asegurar que este regrese a cero (posición neutra) tras perturbaciones transitorias, preservando la autoridad de actuación.

Contribuciones Clave

Modelo Dinámico No Lineal: Derivación de un modelo no lineal completo para un TWIPR estabilizado por giroscopio en superficies inclinadas, capturando la interacción entre el acoplamiento giroscópico y la gravedad inducida por la pendiente.
Análisis de Equilibrio: Establecimiento de una relación analítica entre la inclinación de la superficie y el ángulo de inclinación de equilibrio del chasis. La introducción de la Relación de Par Estático Chasis-Robot ( $\xi$ ) proporciona una métrica de diseño generalizada para evaluar las capacidades de manejo de pendientes y predecir la inclinación máxima de operación factible.
Límite de Inclinación Unificado: Un criterio derivado ( $\alpha_{max} = \tan^{-1}(\min(\xi, \mu_s))$ ) que define el ángulo de operación estable máximo basado tanto en el diseño mecánico ( $\xi$ ) como en la fricción del terreno ( $\mu_s$ ).
Marco de Control: Desarrollo de un esquema de control PID-LQR que gestiona con éxito los objetivos duales de seguimiento de velocidad y estabilización de equilibrio alrededor de un equilibrio de inclinación no nulo, asegurando que la cardán regrese a un estado neutro para evitar singularidades.

Resultados
El marco propuesto fue validado mediante simulaciones comparando el modelo matemático no lineal y el modelo multibody de Simulink en una pendiente de $5^\circ$ .

Precisión del Modelo: Los resultados de la simulación mostraron una fuerte concordancia entre el modelo analítico y la simulación multibody en todas las variables dinámicas, confirmando la validez de las ecuaciones derivadas.
Desempeño: El robot rastreó con éxito un comando de velocidad por escalón (de 0 a 1 m/s y de regreso a 0) con un tiempo de asentamiento de aproximadamente 2.6 segundos y sin sobreimpulso durante la aceleración.
Estabilización: El ángulo de inclinación del chasis convergió al valor de equilibrio predicho analíticamente de aproximadamente $10^\circ$ . Durante las maniobras transitorias, el ángulo de la cardán se desvió un máximo de $32.5^\circ$ , permaneciendo bien dentro del rango de operación seguro y lejos de la singularidad de $90^\circ$ .
Actuación: La estrategia de control demostró que, si bien se requiere el par de las ruedas para contrarrestar la carga gravitatoria en la pendiente, la actuación giroscópica es principalmente activa durante los transitorios. Una vez alcanzado el equilibrio, el par de la cardán disminuye a casi cero, confirmando que el SPCMG no necesita mantener un par constante para el equilibrio en estado estacionario.

Significancia
El artículo afirma proporcionar un marco validado y aplicable de manera práctica para el análisis y control de TWIPR estabilizados por giroscopios en terrenos inclinados. Al caracterizar el comportamiento de equilibrio a través de la relación adimensional $\xi$ , el trabajo ofrece un método sistemático para diseñar robots capaces de operar en pendientes sin depender únicamente de un movimiento agresivo de las ruedas. El estudio demuestra que la integración de SPCMG permite una estabilización de equilibrio robusta mientras se mantiene la capacidad de devolver la cardán a una posición neutra, evitando así las singularidades y preservando la autoridad de control. Los autores concluyen que este enfoque aborda eficazmente las limitaciones de los modelos linealizados existentes y las estrategias de estabilización basadas solo en ruedas, ofreciendo una base para la futura validación experimental y la extensión a control adaptativo o escenarios de movimiento en 3D.