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Equilibrium Analysis and Gyro-Stabilization of Two-Wheel Inverted Pendulum Robot on Inclined Surfaces

Cette étude présente un modèle dynamique non linéaire et une stratégie de commande à double boucle pour un robot pendule inversé à deux roues équipé d'un gyroscope à moment cinétique à paire de ciseaux, démontrant sa capacité à maintenir l'équilibre et à naviguer sur des surfaces inclinées en exploitant le couple gyroscopique pour contrer les forces gravitationnelles à un angle d'inclinaison spécifique.

Auteurs originaux : ِAhmed Amin, Moustafa Fouz, Ahmed Elsawaf

Publié 2026-08-07

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : ِAhmed Amin, Moustafa Fouz, Ahmed Elsawaf

Article original sous licence CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez un monde où les robots ne se contentent pas de rouler sur des sols plats mais peuvent naviguer avec grâce sur des pentes raides, en gardant l'équilibre sur deux roues comme un humain sur un monocycle. C'est le domaine du Robot Pendule Inversé à Deux Roues (TWIPR). Voyez cela comme une version mécanique du problème classique du « chariot et de la tige » : une tige lourde (le corps du robot) est équilibrée sur le dessus d'un chariot mobile (les roues). Si la tige penche ne serait-ce qu'un tout petit peu, la gravité veut l'entraîner vers le bas, donc le chariot doit constamment faire des va-et-vient pour la rattraper. C'est délicat car le robot est « sous-actionné », ce qui signifie qu'il possède moins de commandes que de manières de se déplacer ; il ne peut pas simplement appuyer sur un bouton pour rester droit. Habitéralement, ces robots comptent entièrement sur la vitesse de rotation de leurs roues pour maintenir l'équilibre. Mais que se passe-t-il quand le sol n'est pas plat ? Sur une colline, la gravité tire le robot vers le bas de la pente, rendant l'exercice de l'équilibre encore plus difficile. Pour résoudre ce problème, les scientifiques ont commencé à s'intéresser aux gyroscopes — des roues rotatives qui agissent comme des tops lourds et obstinés. Tout comme une roue de bicyclette en rotation résiste à l'inclinaison, un gyroscope à l'intérieur d'un robot peut générer une puissante force de torsion pour l'aider à rester droit sans que les roues n'aient à faire tout le travail difficile.

Cet article explore une nouvelle façon ingénieuse de construire un tel robot pour les terrains vallonnés. Les chercheurs, Ahmed Amin, Moustafa Fouz et Ahmed Elsawaf, ont conçu un robot qui utilise une paire spéciale de gyroscopes en « ciseaux » pour l'aider à garder l'équilibre. Ils ont découvert que sur une pente, le robot ne peut pas simplement se tenir parfaitement droit ; il doit s'incliner selon un angle spécifique, non nul, pour rester en équilibre, tout comme un cycliste qui s'incline dans un virage. Ils ont créé un modèle mathématique détaillé pour prédire exactement de combien le robot doit s'incliner en fonction de la déclivité de la colline et de la répartition du poids du robot. Ils ont également prouvé que, bien que les gyroscopes soient excellents pour les corrections rapides, ils ne peuvent pas maintenir le robot debout indéfiniment sur une pente raide ; finalement, les roues du robot doivent fournir la force constante pour lutter contre la gravité. Pour tester leurs idées, ils ont construit un robot virtuel dans une simulation informatique et ont constaté que leurs mathématiques correspondaient parfaitement à la physique de l'ordinateur. Leur système de contrôle proposé, qui utilise un cerveau pour la vitesse et un autre pour l'équilibre, a réussi à maintenir le robot debout et en mouvement sur une pente de 5 degrés, prouvant que cette conception assistée par gyroscope est un moyen viable de s'attaquer aux surfaces inclinées.

Le robot au secret rotatif

Rencontrez le robot : une machine à deux roues qui ressemble à un scooter futuriste mais qui cache une arme secrète dans sa poitrine. Au lieu de compter uniquement sur ses roues pour rester droit, ce robot transporte une paire de volants d'inertie à haute vitesse, connus sous le nom de Gyroscope à Moment Cinétique en Paire de Ciseaux (SPCMG). Imaginez deux tops en rotation à l'intérieur du robot, montés sur un cadre capable de les incliner d'avant en arrière. Lorsque le robot commence à vaciller, ces tops ne font pas que tourner ; ils s'inclinent, créant un puissant « couple gyroscopique » qui repousse le robot vers l'équilibre. C'est comme avoir un muscle interne magique qui peut tordre le corps du robot sans toucher le sol.

Les chercheurs voulaient voir si ce muscle magique pouvait aider le robot à relever un vrai défi : les surfaces inclinées. La plupart des robots sont testés sur des sols plats, mais le monde réel est rempli de rampes et de collines. L'équipe s'est demandé : Ce robot stabilisé par gyroscope peut-il garder l'équilibre sur une pente ? Si oui, comment le fait-il, et quelles sont les limites ?

La vérité inclinée : pourquoi la verticalité ne fonctionne pas

L'une des découvertes les plus intéressantes de l'article est un peu contre-intuitive. Vous pourriez penser que pour garder l'équilibre sur une colline, un robot devrait se tenir parfaitement droit. Mais les mathématiques disent le contraire. Les chercheurs ont découvert que sur une pente, le robot doit s'incliner selon un angle spécifique pour rester en équilibre.

Pensez-y de cette façon : si vous vous tenez sur une colline escarpée, vous vous penchez naturellement vers l'avant pour éviter de tomber en arrière. Le robot fait la même chose. L'équipe a dérivé une formule montrant que l'angle d'inclinaison du robot (l'angle d'inclinaison d'équilibre) dépend de deux choses : la raideur de la colline et un nombre spécial qu'ils ont appelé le Ratio de Couple Statique Châssis-Robot (représenté par la lettre grecque $\xi$ ). Ce ratio est essentiellement une mesure de la façon dont le poids du robot est réparti par rapport à la taille de ses roues.

L'article montre que si la conception du robot présente une valeur $\xi$ faible, il doit s'incliner beaucoup pour rester en équilibre sur une colline. Si la conception possède un $\xi$ élevé, il peut se tenir plus droit. Cette relation est cruciale car elle indique aux ingénieurs comment construire exactement le robot pour qu'il ne bascule pas sur une pente. Les chercheurs ont calculé que pour leur conception de robot spécifique, avec un $\xi$ de 0,5, se tenir sur une pente de 5 degrés nécessite que le robot s'incline selon un angle d'équilibre d'environ 10 degrés.

Les limites de la rotation : quand les gyroscopes ont besoin d'aide

C'est ici que l'histoire devient un peu plus ancrée dans la réalité. Bien que les gyroscopes soient incroyables pour les mouvements rapides et soudains (comme rattraper le robot s'il commence à tomber), l'article exclut explicitement l'idée qu'ils puissent maintenir le robot debout indéfiniment sur une pente raide.

Les gyroscopes fonctionnent en inclinant leurs roues rotatives. Mais ils ne peuvent s'incliner que jusqu'à un certain point avant d'atteindre une « singularité » — un point où ils perdent leur capacité à pousser en retour. C'est comme essayer de pousser une porte quand on se tient juste à côté de la charnière ; on finit par manquer de levier. L'article explique que les gyroscopes ne peuvent pas fournir une force constante et régulière pour lutter contre la gravité indéfiniment. Au lieu de cela, les roues du robot doivent prendre le relais pour le maintenir debout contre l'attraction de la pente. Les gyroscopes sont les « freins d'urgence » et le « volant », tandis que les roues sont le « moteur » qui empêche le robot de glisser vers le bas.

Les chercheurs ont également calculé les limites absolues de la pente que ce robot peut gérer. Ils ont trouvé deux barrières principales :

La géométrie : Si la colline est trop raide, le corps du robot toucherait le sol avant qu'il ne puisse s'incliner suffisamment pour l'équilibre.
La friction : Les roues ont besoin d'une adhérence suffisante (friction) pour pousser contre la pente sans glisser.

En combinant cela, l'article suggère que la pente maximale que le robot peut gérer est déterminée par la plus petite de deux valeurs : le ratio de conception du robot ( $\xi$ ) ou la friction du sol ( $\mu_s$ ). Pour leur robot, cela signifie qu'il peut théoriquement gérer des pentes jusqu'à une certaine limite, mais si le sol est glissant ou si la conception est « haut perchée », cette limite chute.

Le cerveau collectif : deux contrôleurs travaillant ensemble

Pour réaliser tout cela, l'équipe n'a pas seulement construit le robot ; elle lui a construit un cerveau. Ils ont utilisé un système de contrôle « hiérarchique », qui est comparable à avoir deux gestionnaires travaillant ensemble.

Le Gestionnaire 1 (Le Contrôleur de Locomotion) : Ce gestionnaire utilise un contrôleur PID (un type standard de système de contrôle) pour dire aux roues à quelle vitesse tourner. Son seul travail est de s'assurer que le robot va à la vitesse voulue par l'utilisateur, qu'il accélère, ralentisse ou s'arrête.
Le Gestionnaire 2 (Le Contrôleur d'Équilibre) : Ce gestionnaire utilise un algorithme sophistiqué appelé LQR (Régulateur Quadratique Linéaire). Son travail est de surveiller l'inclinaison du robot et l'angle du gyroscope. Si le robot commence à vaciller, ce gestionnaire dit aux gyroscopes de s'incliner et de repousser le robot vers l'angle d'inclinaison correct.

La beauté de ce système est qu'ils travaillent indépendamment mais en synchronisation. Les roues gèrent la vitesse, et les gyroscopes gèrent l'équilibre. Les chercheurs ont testé cela dans une simulation informatique (utilisant MATLAB/Simulink) et ont constaté que cela fonctionnait magnifiquement.

La simulation : un essai de 30 secondes

Pour prouver leurs idées, l'équipe a lancé une simulation où le robot partait sur une pente de 5 degrés. Ils lui ont donné l'ordre : « Allez ! ». Le robot a accéléré pour atteindre une vitesse de 1 m/s.

Le Résultat : Le robot a atteint cette vitesse en environ 2,6 secondes sans perdre le contrôle par vacillement.
L'Arrêt : Ensuite, ils lui ont dit de s'arrêter. Le robot a ralenti et s'est immobilisé en environ 3,8 secondes.

Pendant ces manœuvres, le corps du robot s'est incliné d'avant en arrière (atteignant une inclinaison maximale d'environ 26,15 degrés lorsqu'il a commencé à bouger), mais les gyroscopes l'ont rapidement corrigé, le ramenant à l'inclinaison constante de 10 degrés requise pour cette pente. Les gyroscopes eux-mêmes ne se sont inclinés que d'environ 32,5 degrés lors de leurs pics extrêmes, ce qui est bien en deçà de leurs limites de sécurité (ils peuvent aller jusqu'à 90 degrés avant de perdre leur puissance).

Les chercheurs ont également vérifié les forces impliquées. Pour maintenir le robot à une vitesse constante de 1 m/s en montée, les roues devaient appliquer un couple constant d'environ 0,386 N·m juste pour lutter contre la gravité. Lorsque le robot accélérait, les roues devaient pousser plus fort, atteignant environ 1,5 N·m. Lors de l'arrêt, elles devaient freiner, atteignant -1,1 N·m. Les gyroscopes, quant à eux, n'ont dû travailler intensément que lors des changements rapides de vitesse, fournissant un couple maximal d'environ 1,45 N·m pour empêcher le robot de basculer.

Le Verdict

L'article conclut que cette conception stabilisée par gyroscope est une manière solide et mathématiquement fondée de construire des robots capables de gérer les collines. Les simulations informatiques ont montré que le robot pouvait garder l'équilibre, se déplacer et s'arrêter sur une pente sans basculer, et que les mathématiques qu'ils ont rédigées prédisaient parfaitement ce que la simulation informatique faisait.

Cependant, les auteurs précisent avec prudence qu'il s'agit actuellement d'une simulation. Ils n'ont pas encore construit de robot physique pour tester cela sur une vraie colline. Ils suggèrent que la prochaine étape est de construire un prototype et de voir si cela fonctionne dans le monde réel, où des éléments comme des feuilles glissantes ou un terrain accidenté pourraient rendre les choses plus difficiles que dans l'ordinateur. Mais pour l'instant, les mathématiques semblent bonnes, les gyroscopes semblent prêts, et la voie vers les robots grimpeurs de collines semble beaucoup plus claire.

Résumé Technique : Analyse de l'Équilibre et de la Gyro-Stabilisation d'un Robot Pendule Inversé à Deux Roues sur Surfaces Inclinées

Énoncé du Problème
Les robots pendules inversés à deux roues (TWIPR) sont des systèmes sous-actionnés intrinsèquement instables, où l'équilibre est traditionnellement assuré uniquement par le couple des roues. Bien qu'efficaces sur un terrain plat, les TWIPR conventionnels font face à des défis importants sur les surfaces inclinées. Le couplage entre le mouvement de translation et l'équilibre du corps complique le contrôle, et les études existantes sur l'opération en pente sont largement limitées aux architectures pilotées par les roues ou reposent sur des modèles linéarisés qui ne parviennent pas à capturer la dynamique des systèmes dotés de mécanismes internes d'échange de moment cinétique. De plus, l'intégration de Gyroscopes à Moment de Contrôle (CMG) pour la stabilisation introduit de nouvelles complexités : les CMG ne peuvent pas maintenir un couple constant dans une direction fixe indéfiniment en raison des singularités de la nacelle (gimbal), et la relation entre l'inclinaison du terrain, les paramètres structurels et la posture d'équilibre résultante dans les systèmes stabilisés par gyroscope reste inexplorée.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre analytique et de contrôle complet pour un TWIPR équipé d'un Gyroscope à Moment de Contrôle à Paire de Ciseaux (SPCMG) opérant sur des surfaces inclinées.

Modélisation Dynamique : Un modèle dynamique non linéaire complet est dérivé en utilisant la formulation d'Euler–Lagrange. Le modèle intègre la dynamique couplée du mouvement piloté par les roues, de l'inclinaison du châssis et de l'actionnement gyroscopique interne, en tenant explicitement compte des effets gravitationnels induits par la pente. Le système est défini par des coordonnées généralisées représentant le déplacement longitudinal ( $z$ ), l'angle d'inclinaison du châssis ( $\phi$ ) et l'angle de précession de la nacelle ( $\theta$ ).
Validation du Modèle : Pour garantir l'exactitude, un modèle multibody de haute fidélité est développé dans MATLAB/Simulink/Simscape Multibody. Cette représentation physique sert d'outil de vérification indépendant par rapport aux équations mathématiques dérivées.
Analyse de l'Équilibre : L'étude dérive une expression analytique pour la configuration d'équilibre dépendante de la pente. Elle introduit une métrique sans dimension, le Rapport de Couple Statique Châssis-Robot ( $\xi$ ), défini par $\xi = \frac{m_c L}{m_R r}$ . Ce paramètre lie la distribution de masse et la géométrie à l'angle d'inclinaison d'équilibre. L'analyse détermine l'inclinaison maximale admissible du terrain en combinant les contraintes géométriques (limites de collision du châssis) et les contraintes de traction roue-surface (limites de friction).
Architecture de Contrôle : Une stratégie de contrôle hiérarchique découplée est implémentée :
- Sous-système de Locomotion : Un contrôleur Proportionnel–Intégral–Dérivé (PID) régule la vitesse longitudinale en modulant le couple des roues.
- Sous-système d'Équilibre : Un Régulateur Linéaire Quadratique (LQR) contrôle la vitesse angulaire de la nacelle pour stabiliser le châssis autour de l'angle d'équilibre dépendant de la pente. La conception du LQR inclut un état intégral pour l'angle de la nacelle afin de garantir qu'il revienne à zéro (position neutre) après les perturbations transitoires, préservant ainsi l'autorité d'actionnement.

Contributions Clés

Modèle Dynamique Non Linéaire : Dérivation d'un modèle non linéaire complet pour un TWIPR stabilisé par gyroscope sur des surfaces inclinées, capturant l'interaction entre le couplage gyroscopique et la gravité induite par la pente.
Analyse de l'Équilibre : Établissement d'une relation analytique entre l'inclinaison de la surface et l'angle d'inclinaison du châssis d'équilibre. L'introduction du Rapport de Couple Statique Châssis-Robot ( $\xi$ ) fournit une métrique de conception généralisée pour évaluer les capacités de gestion de pente et prédire l'inclinaison maximale exploitable.
Limite d'Inclinaison Unifiée : Un critère dérivé ( $\alpha_{max} = \tan^{-1}(\min(\xi, \mu_s))$ ) qui définit l'angle d'opération maximal stable basé à la fois sur la conception mécanique ( $\xi$ ) et la friction du terrain ( $\mu_s$ ).
Cadre de Contrôle : Développement d'un schéma de contrôle PID-LQR qui gère avec succès les doubles objectifs de suivi de vitesse et de stabilisation de l'équilibre autour d'un équilibre non nul, garantissant que la nacelle revienne à un état neutre pour éviter les singularités.

Résultats
Le cadre proposé a été validé par des simulations comparant le modèle mathématique non linéaire et le modèle multibody Simulink sur une pente de $5^\circ$ .

Précision du Modèle : Les résultats de la simulation ont montré une forte concordance entre le modèle analytique et la simulation multibody pour toutes les variables dynamiques, confirmant la validité des équations dérivées.
Performance : Le robot a réussi à suivre une commande de vitesse par échelon (de 0 à 1 m/s et retour à 0) avec un temps de stabilisation d'environ 2,6 secondes et aucun dépassement lors de l'accélération.
Stabilisation : L'angle d'inclinaison du châssis a convergé vers la valeur d'équilibre prédite analytiquement d'environ $10^\circ$ . Lors des manœuvres transitoires, l'angle de la nacelle a dévié d'un maximum de $32,5^\circ$ , restant bien dans la plage de fonctionnement sûre et loin de la singularité de $90^\circ$ .
Actionnement : La stratégie de contrôle a démontré que, bien que le couple des roues soit nécessaire pour contrer la charge gravitationnelle sur la pente, l'actionnement gyroscopique est principalement actif lors des phases transitoires. Une fois l'équilibre atteint, le couple de la nacelle diminue pour atteindre presque zéro, confirmant que le SPCMG n'a pas besoin de maintenir un couple constant pour l'équilibre en régime permanent.

Signification
L'article affirme fournir un cadre validé et pratiquement applicable pour l'analyse et le contrôle des TWIPR stabilisés par gyroscope sur des terrains inclinés. En caractérisant le comportement d'équilibre via le rapport sans dimension $\xi$ , ce travail offre une méthode systématique pour concevoir des robots capables d'opérer sur des pentes sans dépendre uniquement de mouvements de roues agressifs. L'étude démontre que l'intégration des SPCMG permet une stabilisation de l'équilibre robuste tout en maintenant la capacité de ramener la nacelle à une position neutre, évitant ainsi les singularités et préservant l'autorité de contrôle. Les auteurs concluent que cette approche répond efficacement aux limites des modèles linéarisés existants et des stratégies de stabilisation basées uniquement sur les roues, offrant une base pour une validation expérimentale future et une extension au contrôle adaptatif ou aux scénarios de mouvement en 3D.