Projection--lifting correspondence for non-Markovian climate dynamics]{Projection--lifting correspondence for non-Markovian climate dynamics: Volterra memory, positive Markovian embeddings, and AMOC tail-risk geometry

Resumen Técnico: Correspondencia de Proyección–Levantamiento para la Dinámica Climática No Markoviana

Planteamiento del Problema
Muchos sistemas complejos, incluyendo la dinámica climática, son solo markovianos en su espacio de estados completo y de alta dimensión. Cuando se observan a través de proyecciones de baja dimensión (por ejemplo, un índice escalar de la Circulación Meridional del Atlántico Norte, o AMOC), la eliminación de los grados de libertad no resueltos (termohalinos, de agua dulce, de estratificación, impulsados por el viento) introduce efectos de memoria. La variable observada se vuelve no markoviana, gobernada por una ecuación de Volterra con un núcleo de memoria. El desafío central abordado es cómo caracterizar matemáticamente esta memoria y si puede ser "levantada" (lifted) de vuelta a un sistema markoviano de dimensión finita sin pretender falsamente reconstruir el estado oculto original descartado. Específicamente, la investigación analiza si la memoria de la AMOC puede representarse como un estado markoviano de baja dimensión que revele la geometría del riesgo de cola a nivel de trayectoria, la cual no es visible únicamente mediante valores escalares.

Metodología
El artículo desarrolla un marco de proyección–levantamiento fundamentado en el formalismo de Mori–Zwanzig y las ecuaciones de Volterra.

1. Fundamento Teórico:

   • Proyección: Mapea un sistema markoviano de alta dimensión $Z(t)$ a un observable de menor dimensión $Y(t)$, generando un núcleo de memoria $K(t)$ mediante la eliminación de variables ocultas.
   • Levantamiento (Lifting): Mapea una representación de memoria seleccionada (específicamente, un núcleo de suma de exponenciales) de vuelta a un sistema markoviano aumentado mediante la introducción de variables auxiliares (reservorios de memoria).
   • Distinción Clave: Los autores enfatizan que esta correspondencia es no invertible. El levantamiento restaura la propiedad markoviana para la representación de la memoria, pero no reconstruye el estado ortogonal original (el campo específico de salinidad o de viento).
   • Régimen de Memoria Positiva: La teoría se basa en núcleos completamente monotónicos, que admiten representaciones de Bernstein como mezclas positivas de exponenciales. Esto permite que la memoria sea internalizada por variables auxiliares $z_m(t)$ que satisfacen $\dot{z}_m = Y - \lambda_m z_m$ con pesos positivos $w_m$ y tasas $\lambda_m$. La pérdida de positividad (pesos negativos) se identifica como un indicador potencial de que el sistema ha abandonado el régimen de relajación lineal pasiva (por ejemplo, al aproximarse a una bifurcación).

2. Implementación Empírica:

   • Datos: Series temporales anuales de la AMOC de un conjunto de modelos CMIP6 durante escenarios históricos y futuros (SSP1-2.6, SSP2-4.5, SSP5-8.5).
   • Estimación del Núcleo: Un núcleo de Volterra atemperado anclado a diagnósticos históricos de la AMOC ($\alpha_0 \approx 0.86, \theta_0 \approx 0.04$).
   • Aproximación: El núcleo se aproxima mediante una suma de exponenciales (SOE) positiva utilizando mínimos cuadrados no negativos. El orden de incrustación $M$ se selecciona basándose en el error de reconstrucción y la estabilidad de los operadores locales.
   • Diagnósticos: El estado levantado $X = (Y, z_1, \dots, z_M)$ se utiliza para definir:
     • Puntuaciones de Riesgo (Risk Scores): Combinaciones lineales del observable y los reservorios de memoria para identificar regímenes de alto riesgo (AMOC débil).
     • Métricas de Residencia: Tasas de ocupación y de salida ($\lambda_U$) de los estados de alto riesgo.
     • Pruebas de Cronología: Pruebas de placebo de desplazamiento circular para determinar si la alineación temporal de la memoria levantada predice eventos futuros de sobrecirculación débil mejor que las distribuciones marginales por sí solas.
     • Descomposición Annealed–Quenched: Separación de los cambios en la ocupación de la cola débil debidos a cambios en las distribuciones marginales (annealed) frente a la organización cronológica de la memoria (quenched).

Contribuciones Clave

1. Correspondencia Formal: Establece una correspondencia de proyección–levantamiento no invertible que separa explícitamente la recuperación de la markovianidad de la recuperación de los estados ocultos.
2. Cierre de Memoria Positiva: Deriva las condiciones bajo las cuales los núcleos de memoria proyectados admiten un levantamiento markoviano positivo, vinculando los núcleos completamente monotónicos con variables auxiliares de dimensión finita.
3. Diagnósticos en el Espacio Levantado: Introduce métricas específicas para el espacio de fase levantado, incluyendo ocupación de alto riesgo, tasas de salida, tasas de crecimiento transitorio ($\gamma_U$) y placebos de cronología.
4. Caso de Estudio AMOC: Demuestra que las anomalías anuales de la AMOC pueden comprimirse con precisión en un levantamiento SOE positivo de tres modos con escalas de tiempo efectivas de aproximadamente 1, 5.7 y 28 años.
5. Geometría del Riesgo: Muestra que la memoria actúa como una variable de estado dinámica que organiza la geometría del riesgo de cola, en lugar de servir meramente como un predictor de corto horizonte.

Resultados

• Compresión de Memoria: El núcleo de Volterra atemperado para la AMOC se reconstruye con un error relativo de 0.0155 usando tres modos positivos. La convolución directa de la memoria y la memoria levantada por SOE son casi idénticas (correlación 0.998).
• Límites de Predicción: El modelo levantado no supera significativamente a los modelos AR(1) simples o a los valores escalares de la AMOC en la predicción de la media a corto horizonte (un año). La ganancia de la mediana del RMSE sobre el AR(1) es insignificante (~0.57%).
• Dependencia de Escenarios: Bajo escenarios de forzamiento más fuertes (SSP5-8.5), las trayectorias de la AMOC exhiben:
  • Mayor Ocupación: Mayor tiempo de residencia media en estados de alto riesgo levantados (aumentando de ~0.316 en SSP1-2.6 a ~0.341 en SSP5-8.5).
  • Menores Tasas de Salida: Escape más lento de los regímenes de alto riesgo (la tasa de salida $\lambda_U$ disminuye de 0.322 a 0.272).
  • Mecanismo: El mecanismo principal para el aumento del riesgo es una mayor residencia en estados cargados de memoria, no necesariamente un aumento uniforme en las tasas de crecimiento transitorio local.
• La Cronología Importa: Las pruebas de placebo de desplazamiento circular revelan que la alineación cronológica de la memoria levantada con futuros eventos de AMOC débil es estadísticamente significativa a nivel multimodelo (p < 0.01 para las pruebas de rango signo Wilcoxon), mientras que las permutaciones aleatorias destruyen esta señal.
• Monotonicidad: El índice para la pérdida de monotonicidad completa (pesos negativos) permanece no despreciable pero no muestra una tendencia monótona hacia el fallo, lo que sugiere que el cierre de memoria positiva sigue siendo válido dentro de los regímenes muestreados.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene una significación cautelosa pero precisa:

• No es un Pronóstico de Colapso: El marco no predice un colapso inminente de la AMOC ni una fecha de colapso específica.
• No es un Predictor Universal: No pretende ser un predictor de corto horizonte universalmente superior a los índices escalares.
• Valor Geométrico: Su contribución principal es geométrica y basada en el riesgo. Convierte un núcleo de memoria proyectado en un espacio de fase markoviano de baja dimensión. Esto permite la definición de estados "cargados de memoria", tiempos de residencia y tasas de salida, proporcionando una forma mecanística de analizar la geometría del riesgo de cola a nivel de trayectoria.
• Dimensión Operacional: Establece una "dimensión de memoria efectiva" (tres modos) suficiente para capturar las escalas de relajación relevantes para los diagnósticos de riesgo, sin pretender que estos modos sean reconstrucciones literales de variables físicas oceánicas.
• Condiciones de Contorno: El formalismo proporciona un límite matemáticamente preciso de validez; si los datos futuros requieren pesos espectrales negativos (pérdida de monotonicidad completa), esto señalaría un fallo de la suposición de relajación lineal pasiva en lugar de un fallo de la identidad de Mori–Zwanzig en sí misma.

En resumen, el artículo argumenta que la memoria debe tratarse como una variable de estado dinámica que organiza la geometría de los riesgos de cola, ofreciendo una forma estructurada de analizar cómo el forzamiento climático altera el tiempo de residencia y la cronología de los eventos de sobrecirculación débil.