A Two-Hidden-Layer Radial Basis Neural Surrogate for a Caputo Fractional-Order Schistosomiasis Model

Resumen Técnico: Un sustituto neuronal de base radial de dos capas ocultas para un modelo de esquistosomiasis de orden fraccionario de Caputo

Planteamiento del problema
La esquistosomiasis es una enfermedad parasitaria que implica un ciclo de transmisión entre humanos y caracoles de agua dulce. Mientras que los modelos compartimentales clásicos utilizan derivadas ordinarias, las derivadas fraccionarias ofrecen una alternativa no local donde la tasa de cambio actual depende de la historia del sistema, lo que potencialmente captura tiempos de espera heterogéneos y respuestas retardadas. El trabajo previo de Botmart et al. [9] propuso un modelo de esquistosomiasis fraccionario de cinco compartimentos, pero contenía inconsistencias en los términos de transferencia, carecía de una especificación completa del método numérico y presentaba de forma ambigua las aproximaciones neuronales como resolvedores independientes. Además, el estudio previo carecía de la transparencia requerida para una investigación numérica reproducible, tales como condiciones iniciales explícitas, tamaños de paso y partición de datos.

Metodología
Los autores reconstruyen el modelo y el procedimiento numérico en un marco reproducible que consta de tres componentes principales:

1. Formulación Matemática:

   • Se define un modelo de orden fraccionario de Caputo de cinco compartimentos con variables de estado para humanos susceptibles ($W$), humanos infectados ($A$), humanos recuperados ($Q$), caracoles susceptibles ($E$) y caracoles infectados ($S$).
   • Las ecuaciones se escriben en una forma de balance de población para asegurar ecuaciones de balance exactas para las poblaciones totales de humanos y caracoles.
   • Se establecen propiedades teóricas, incluyendo la no negatividad de las soluciones, límites explícitos para las poblaciones totales utilizando la función de Mittag-Leffler, el equilibrio libre de la enfermedad (DFE) y el número básico de reproducción ($R_0$). Para los parámetros de referencia utilizados, $R_0 \approx 0.6977 < 1$, lo que implica la estabilidad asintótica local del DFE.

2. Solucionador de Referencia (Método de Adams Fraccionario):

   • Las trayectorias de referencia se generan utilizando el método predictor-corrector de Diethelm–Ford–Freed (esquema PECE de Adams–Bashforth–Moulton fraccionario).
   • Las simulaciones se ejecutan en el intervalo $0 \le t \le 10$ con un tamaño de paso $h=0.02$.
   • Un estudio de refinamiento de paso confirma la convergencia de la solución de referencia.

3. Construcción del Sustituto Neuronal:

   • Se entrena una red de Función de Base Radial (RBF) de dos capas ocultas como un sustituto supervisado de las trayectorias de referencia.
   • Arquitectura: La entrada es el tiempo normalizado ($\xi \in [0,1]$). La primera capa oculta contiene 15 unidades radiales gaussianas y la segunda capa oculta contiene 25 unidades radiales. La capa de salida produce los valores de los cinco compartimentos.
   • Entrenamiento: La red se entrena utilizando el algoritmo de Conjugado Escalar Escalado (SCG) para minimizar una función de pérdida de mínimos cuadrados regularizada. Los centros y anchos ocultos se fijan basándose en la distribución de los datos de entrenamiento; solo se optimizan los pesos de salida.
   • Partición de Datos: Para cada orden fraccionario $\alpha \in \{0.5, 0.7, 0.9\}$, se generan 501 puntos temporales. Utilizando una semilla aleatoria fija (20260716), los datos se dividen en 70% de entrenamiento, 15% de validación y 15% de prueba.

Contribuciones Clave
El artículo enumera explícitamente seis contribuciones específicas:

1. Un modelo de Caputo de cinco compartimentos coherente y con balance de población que corrige inconsistencias tipográficas previas.
2. Pruebas de positividad, acotación y la derivación del número de reproducción umbral $R_0$.
3. Una implementación completa del método predictor-corrector de Adams–Bashforth–Moulton con verificación de refinamiento de paso.
4. El desarrollo de un sustituto RBF de dos capas ocultas entrenado mediante SCG.
5. Reporte transparente de las métricas de entrenamiento, validación y prueba para tres órdenes fraccionarios distintos.
6. Provisión de un paquete suplementario que contiene el código fuente de LaTeX, figuras, datos y código Python para regenerar todos los resultados.

Resultados
El estudio evalúa el desempeño del sustituto en conjuntos de prueba no utilizados para $\alpha = 0.5, 0.7,$ y $0.9$:

• Precisión: Los errores cuadráticos medios (RMSE) en los conjuntos de prueba son $2.406 \times 10^{-4}$ ($\alpha=0.5$), $2.122 \times 10^{-4}$ ($\alpha=0.7$), y $1.793 \times 10^{-4}$ ($\alpha=0.9$).
• Ajuste: Los coeficientes de determinación ($R^2$) para todos los conjuntos de prueba superan $0.99996$.
• Comportamiento: El sustituto reproduce con precisión las trayectorias de referencia. Las mayores discrepancias ocurren cerca del punto inicial ($t=0$), donde las soluciones fraccionarias exhiben una alta curvatura y donde las divisiones aleatorias de validación pueden carecer de puntos de entrenamiento vecinos densos.
• Dinámica: Los resultados numéricos confirman que para $R_0 < 1$, las poblaciones infectadas decaen mientras las poblaciones susceptibles se relajan hacia niveles libres de la enfermedad. Los órdenes fraccionarios más pequeños producen efectos de memoria más fuertes y una relajación a largo plazo más lenta.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores enfatizan una distinción metodológica estricta: el método de Adams genera la solución de referencia validada, mientras que la red neuronal sirve como un sustituto compacto de dicha solución. La red no se presenta como un solucionador independiente para las ecuaciones diferenciales fraccionarias, ni aproxima la derivada de Caputo dentro de la función de pérdida (es decir, no es una red neuronal informada por la física).

La significancia de este trabajo radica en:

• Reproducibilidad: Proporcionar un modelo corregido y un flujo de trabajo numérico totalmente especificado que aborda las lagunas en la literatura previa.
• Eficiencia: Una vez entrenado, el sustituto RBF ofrece una alternativa computacionalmente económica al método de Adams fraccionario que requiere una sumatoria de historia de $O(N^2)$, lo que lo hace adecuado para la visualización repetida, el cribado de parámetros o la inicialización de problemas inversos.
• Claridad: El estudio aclara el papel de las redes neuronales en este contexto como aproximadores de trayectorias en lugar de solucionadores de ecuaciones diferenciales, evitando la confusión entre errores de discretización y errores de aprendizaje.

El artículo mantiene la modestia respecto a su alcance, señalando que los parámetros son marcas de referencia adimensionales en lugar de calibraciones epidemiológicas para regiones específicas, y que el sustituto se entrena por separado para cada orden fraccionario sin generalizarse a nuevos vectores de parámetros. Se sugiere como trabajo futuro incluir el entrenamiento informado por la física, la cuantificación de la incertidumbre de los parámetros y el uso de métodos de convolución rápida para simulaciones largas.