q-Mittag–Leffler Resolvents for Nonlinear Caputo q-Fractional Equations: Well-Posedness, Stability, and the q → 1− Classical Limit

Resumen Técnico: Resolventes de $q$-Mittag–Leffler para Ecuaciones Caputo $q$-Fraccionarias No Lineales

Planteamiento del Problema
Esta investigación aborda el análisis de problemas de valor inicial $q$-fraccionarios de Caputo semilineales sobre un horizonte de tiempo $q$-finito. La ecuación específica bajo investigación es:
$${}^{C}D_{q,0}^{\alpha}x(t) = \lambda x(t) + F(t, x(t)), \quad x(0) = x_0, \quad 0 < \alpha < 1$$
donde ${}^{C}D_{q,0}^{\alpha}$ denota la derivada Caputo $q$-fraccionaria. El artículo busca ir más allá de la mera definición de los análogos $q$ de funciones especiales (como las funciones $q$-Gamma y $q$-Mittag–Leffler) y, en su lugar, se centra en tres cuestiones estructurales:

1. Interpretar la función $q$-Mittag–Leffler como el resolvente de la ecuación de evolución en lugar de solo como una definición de serie.
2. Establecer condiciones explícitas para la buena formulación (existencia y unicidad) del problema no lineal mediante argumentos de contracción.
3. Probar que el problema $q$-no lineal converge al problema fraccionario de Caputo clásico cuando $q \to 1^{-}$, específicamente al nivel de las soluciones, no solo de los coeficientes.

Metodología
El análisis se basa en un marco de punto fijo dentro del espacio de Banach $X_q = C([0, T]_q, \mathbb{R})$ equipado con la norma de supremo.

• Formulación del Resolvente: Los autores reformulan la ecuación diferencial en una ecuación integral de tipo Volterra utilizando la integral $q$-fraccionaria $I_{q,0}^{\alpha}$. Definen un operador resolvente $R_{q,\alpha,\lambda} = (I - \lambda I_{q,0}^{\alpha})^{-1}$. Al expandirlo mediante una serie de Neumann, demuestran que la acción de este resolvente sobre el dato inicial $x_0$ produce $x_0 qE_{\alpha}(\lambda, t)$, identificando así la función $q$-Mittag–Leffler como la respuesta homogénea natural del sistema.
• Buena Formulación (Well-Posedness): La existencia y unicidad se establecen utilizando el Teorema del Punto Fijo de Banach. Los autores derivan una condición suficiente para que el principio de mapeo de contracción se cumpla:
  $$\kappa_q := (|\lambda| + L) \frac{T^{\alpha}}{\Gamma_q(\alpha + 1)} < 1$$
  donde $L$ es la constante de Lipschitz del término no lineal.
• Estabilidad y Dependencia: La dependencia continua de los datos iniciales se deriva utilizando una desigualdad de Gronwall $q$-fraccionaria, resultando en una estimación acotada por una función $q$-Mittag–Leffler. La estabilidad se discute a través de la teoría de Lyapunov establecida para sistemas $q$-fraccionarios, vinculando el decaimiento de las soluciones con las propiedades de la función $q$-Mittag–Leffler.
• Análisis de Convergencia: La contribución teórica central es una prueba de convergencia uniforme cuando $q \to 1^{-}$. Los autores aprovechan la convergencia conocida de la integral de Jackson a la integral de Riemann y de la función $q$-Gamma a la función Gamma clásica. Construyen una estimación de perturbación para los mapas de punto fijo, mostrando que si el problema clásico tiene una solución y los problemas $q$ permanecen uniformemente contractivos, las soluciones $q$ convergen uniformemente a la solución clásica.

Resultados Clave

1. Interpretación del Resolvente: El artículo establece rigurosamente que la función $q$-Mittag–Leffler $qE_{\alpha}(\lambda, t)$ es la respuesta resolvente del operador fraccionario Caputo $q$ lineal, separando el mecanismo de memoria lineal del forzamiento no lineal.
2. Buena Formulación Explícita: Se proporciona una condición transparente y explícita (Ecuación 25) para la existencia y unicidad de soluciones en un horizonte finito. Esta condición se señala como suficiente, mas no exacta, pero es crucial para las pruebas de convergencia posteriores.
3. Convergencia al Nivel de la Solución: El Teorema 6.1 prueba que, bajo contractividad uniforme y consistencia de los operadores integrales, la solución $q$ única $x_q$ converge uniformemente a la solución Caputo clásica $x$ cuando $q \to 1^{-}$. El límite de error está relacionado explícitamente con la diferencia entre las integrales fraccionarias $q$ y las clásicas.
4. Verificación Numérica:
   • Caso Lineal: Experimentos numéricos sobre un modelo de relajación lineal ($CD_{q,0}^{0.75}x = -0.8x$) confirman la convergencia teórica. El error $\|x_q - x\|_\infty$ disminuye conforme $q \to 1$, con un gráfico log-log que sugiere una dependencia aproximada de primer orden respecto a $1-q$ para el benchmark probado.
   • Caso No Lineal: Se resolvió un modelo de relajación cúbica no lineal ($CD_{q,0}^{0.75}x = -0.7x - 0.6x^3$) utilizando una rejilla de Jackson geométrica. Los resultados confirman que las soluciones $q$-no lineales convergen a la solución de referencia clásica, validando el marco teórico más allá del régimen lineal.

Significado y Reivindicaciones
Los autores declaran explícitamente que las definiciones de las funciones $q$-Gamma, $q$-Beta y $q$-Mittag–Leffler no son contribuciones nuevas, ni lo es la existencia de problemas Caputo $q$ o sus propiedades de estabilidad. En cambio, la significancia del artículo reside en su síntesis estructural:

• Reencuadra la función $q$-Mittag–Leffler como una parte intrínseca del operador resolvente para problemas semilineales.
• Provee una prueba unificada de que todo el sistema dinámico no lineal recupera la dinámica fraccionaria clásica en el límite $q \to 1^{-}$.
• Distingue el papel del orden fraccionario $\alpha$ (que controla la memoria no local) del parámetro de deformación $q$ (que controla la estructura geométrica/cuántica de la diferenciación), argumentando que $q$ no debe confundirse con el orden fraccionario.

El artículo concluye que estos resultados reemplazan una secuencia de definiciones no originales con una pregunta matemática precisa y una respuesta reproducible sobre la continuidad de la dinámica fraccionaria deformada por $q$ hacia sus límites clásicos.