Modeling the Complex Dynamics of Monkeypox and Typhoid Fever Co-Infection Using a Novel Fractal-Fractional Approach

Resumen Técnico: Modelado de la Dinámica Compleja de la Coinfección por Viruela del Mono y Fiebre Tifoidea mediante un Nuevo Enfoque Fractal-Fraccionario

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío epidemiológico de la circulación simultánea de la viruela del mono (MPX) y la fiebre tifoidea, particularmente en regiones con recursos limitados donde el saneamiento es deficiente y el contacto humano-animal es frecuente. Aunque ambas enfermedades comparten síntomas iniciales superpuestos (fiebre, fatiga, dolores musculares) y vías de transmisión (fecal-oral para la tifoidea; zoonótica y de humano a humano para la viruela del mono), los modelos matemáticos existentes han tratado mayoritariamente estas situaciones como sistemas de un solo patógeno o han utilizado ecuaciones diferenciales clásicas de orden entero para coinfecciones. Los autores argumentan que los modelos de orden entero no logran capturar las complejidades críticas del mundo real, específicamente los "efectos de memoria" (dependencias a largo plazo en la progresión de la enfermedad) y las "heterogeneidades multiescala" (patrones autosimilares en la mezcla de la población) inherentes a la transmisión de patógenos duales. Se observa una laguna en la literatura respecto a la aplicación de marcos de derivadas fractal-fraccionarias a este escenario específico de coinfección.

Metodología
El estudio propone un nuevo modelo matemático fractal-fraccionario de 18 compartimentos. La población humana se estratifica en clases de susceptibles, expuestos, en cuarentena, infectados, en tratamiento, recuperados y vacunados tanto para la viruela del mono como para la tifoidea. El modelo también incorpora una población de roedores (reservorio para la viruela del mono) y una población bacteriana (reservorio ambiental para la tifoidea).

La innovación metodológica central es el uso de la derivada Fractal-Fraccionaria (FF) con un núcleo de Mittag-Leffler en el sentido de Caputo. Este enfoque integra:

1. Cálculo Fraccionario (Orden $\alpha$): Para dar cuenta de la dinámica no local y los efectos de memoria, donde el estado actual del sistema depende de su trayectoria histórica.
2. Geometría Fractal (Dimensión $\sigma$): Para representar la naturaleza autosimilar y heterogénea de los patrones de contacto y las vías de transmisión.

El marco analítico incluye:

• Existencia y Unicidad: Probadas mediante teoremas de punto fijo (Banach y Krasnoselskii) dentro de un espacio de Banach definido.
• Positividad y Acotación: Demostradas para asegurar que el modelo sea biológicamente factible (las poblaciones permanecen no negativas y dentro de límites realistas).
• Análisis de Equilibrio: Derivación de los puntos de Equilibrio Libre de Enfermedad (DFE) y de Equilibrio Endémico.
• Números de Reproducción Básicos ($R_0$): Cálculo de $R_{0m}$ (viruela del mono) y $R_{0T}$ (tifoidea) utilizando el método de la Matriz de Siguiente Generación (Next-Generation Matrix).
• Análisis de Sensibilidad: Realizado para identificar los parámetros que influyen más significativamente en la dinámica de transmisión.
• Simulaciones Numéricas: Implementadas mediante esquemas computacionales fractal-fraccionarios para visualizar el impacto de variar $\alpha$ y $\sigma$.

Contribuciones Clave

1. Primer Modelo Integrado: Este trabajo presenta el primer modelo fractal-fraccionario integral diseñado específicamente para la coinfección de viruela del mono y tifoidea, cerrando la brecha entre los modelos fraccionarios de un solo patógeno y los modelos de orden entero para coinfecciones.
2. Dinámica de Patógenos Duales: El modelo captura explícitamente la interacción entre la transmisión zoonótica (roedor-humano para MPX) y la persistencia ambiental (bacterias en agua/alimentos para la tifoidea), así como el impacto bidireccional de la coinfección en la progresión de la enfermedad y la mortalidad.
3. Marco Matemático Mejorado: Al emplear la derivada FF, el modelo ofrece una herramienta más flexible para simular comportamientos epidémicos complejos que los modelos de orden entero no pueden capturar, específicamente en lo que respecta a la retención de memoria y las estructuras de contacto fractales.

Resultados

• Estabilidad: El análisis confirma que el sistema es globalmente asintóticamente estable en el equilibrio endémico cuando los números de reproducción básica exceden la unidad.
• Sensibilidad: El análisis de sensibilidad identifica las tasas de transmisión de ambas enfermedades, la infectividad relativa de los individuos coinfectados y las tasas de recuperación/tratamiento como los principales impulsores de la dinámica epidémica.
• Impacto de los Parámetros Fraccionarios: Las simulaciones numéricas revelan que variar el orden fraccionario ($\alpha$) y la dimensión fractal ($\sigma$) altera significativamente los comportamientos oscilatorios de la población. Los órdenes fraccionarios más bajos producen efectos de memoria más pronunciados, lo que conduce a fluctuaciones sostenidas en los compartimentos de coinfección en comparación con los modelos de orden entero.
• Severidad de la Coinfección: El modelo demuestra que la coinfección aumenta sustancialmente las tasas de morbilidad y mortalidad. La coinfección por viruela del mono exacerba la progresión de la tifoidea, mientras que los episodios de tifoidea aceleran la eliminación viral de la viruela del mono y la severidad de la enfermedad.
• Implicaciones de Control: Los resultados sugieren que las estrategias integradas —que combinan el control zoonótico, la mejora del saneamiento (WASH) y la vacunación coordinada— son críticas para gestionar las epidemias de patógenos duales.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que el marco fractal-fraccionario proporciona un desempeño superior sobre los modelos convencionales de orden entero al capturar las complejidades de las epidemias del mundo real. Al dar cuenta de las interacciones no locales y las dependencias a largo plazo, el modelo ofrece capacidades predictivas mejoradas para las estrategias de intervención. Los autores postulan que este enfoque es particularmente vital para regiones con alta endemicidad de tifoidea y brotes emergentes de viruela del mono, donde los modelos tradicionales pueden subestimar la persistencia y la volatilidad de la carga de la enfermedad. El estudio concluye que comprender los efectos de memoria y la naturaleza fractal de la transmisión es esencial para diseñar intervenciones de salud pública efectivas y coordinadas para el control de la coinfección.