Mind the Income Gap: Bias Correction of Inequality Estimators in Small-Sized Samples

Résumé technique : Attention à l'écart de revenus : Correction du biais des estimateurs d'inégalité dans les échantillons de petite taille

Problématique
L'estimation de l'inégalité des revenus dans les petits domaines (par exemple, des régions spécifiques ou des groupes sociodémographiques) est fréquemment entravée par la rareté des données. Bien que des techniques d'estimation en petites aires (SAE - Small Area Estimation) soient employées pour améliorer la fiabilité en « empruntant de la force » entre les zones, elles reposent souvent sur des modèles au niveau de la zone (tels que le modèle de Fay-Herriot) qui supposent que les estimateurs d'enquête en entrée sont sans biais. Cependant, les estimateurs d'inégalité (par exemple, Gini, Entropie généralisée, Atkinson) sont intrinsèquement des fonctions non linéaires des données de revenus. Dans les petits échantillons, particulièrement sous des plans de sondage complexes impliquant une stratification et un échantillonnage à plusieurs degrés, ces estimateurs présentent un biais significatif, menant typiquement à une sous-estimation de l'inégalité. Négliger ce biais entraîne une spécification erronée du modèle et des inférences trompeuses, notamment lors de comparaisons d'inégalités dans le temps ou entre des lieux présentant des tailles d'échantillons disparates. De plus, la littérature existante sur la correction du biais est largement limitée aux échantillons indépendants et identiquement distribués (iid) ou à des mesures spécifiques comme l'indice de Gini, laissant un vide pour les plans de sondage complexes et les classes plus larges de mesures d'inégalité.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre de correction du biais basé sur le plan de sondage qui généralise les approches iid précédentes (spécifiquement Breunig et Hutchinson, 2008) à des populations finies avec des plans de sondage complexes. Le cœur de la méthodologie repose sur des développements en série de Taylor de second ordre des estimateurs d'inégalité autour de leurs valeurs de population.

Composantes méthodologiques clés :

1. Formulation générale du biais : Les auteurs dérivent une expression générale du biais approximatif d'un estimateur d'inégalité $\hat{\theta} = f(\hat{\mu}, \hat{\gamma})$, où $\hat{\mu}$ est la moyenne de l'échantillon et $\hat{\gamma}$ est un estimateur de Horvitz-Thompson d'une variable de revenu transformée. Le biais est exprimé en fonction des variances et covariances de conception de ces composantes ($V[\hat{\mu}]$, $V[\hat{\gamma}]$, $Cov[\hat{\mu}, \hat{\gamma}]$).
2. Étendue des mesures : Le cadre est appliqué à une large classe de mesures, incluant l'indice de Gini, la famille de l'Entropie Généralisée (GE - couvrant la Moyenne de la Log-Déviation, l'indice de Theil et autres), et la famille d'Atkinson.
3. Adaptation aux enquêtes complexes : Pour gérer les plans complexes, les auteurs utilisent la technique des « grappes ultimes » (Ultimate Clusters) pour l'estimation de la variance, accommodant les strates auto-représentatives (SR) et non auto-représentatives (NSR). Pour l'indice de Gini, où l'estimateur de rang est non linéaire, une approche de linéarisation (Graf, 2011 ; Graf et Tillé, 2014) est employée pour faciliter l'estimation de la variance.
4. Nature non paramétrique : L'approche ne nécessite pas d'hypothèses paramétriques concernant la distribution sous-jacente des revenus, ce qui renforce sa flexibilité.

Principales contributions

• Première application à Atkinson et GE dans les enquêtes complexes : À la connaissance des auteurs, il s'agit de la première proposition de correction du biais pour les indices d'Atkinson et d'Entropie Généralisée spécifiquement dans le contexte de plans de sondage complexes.
• Extension de la correction de Gini : L'article étend les corrections existantes de Gini (par exemple, Davidson, 2009 ; Fabrizi et Trivisano, 2016) en utilisant un développement de Taylor de second ordre plutôt qu'un premier ordre, ce qui permet d'obtenir un terme d'ajustement plus raffiné.
• Cadre basé sur le plan de sondage : La méthodologie tient explicitement compte des structures de corrélation introduites par la stratification, l'échantillonnage à plusieurs degrés et les traitements post-enquête (calibrage/imputation), allant au-delà des limites des hypothèses iid.

Résultats
L'efficacité du cadre proposé a été évaluée via une étude de simulation basée sur le plan de sondage utilisant les données de l'EU-SILC italien 2017 sur 21 régions NUTS-2. Deux scénarios ont été testés : un avec des données brutes et un avec des valeurs extrêmes traitées (en utilisant une modélisation semi-paramétrique de la queue de Pareto).

• Réduction du biais : La stratégie de correction a démontré une réduction notable du biais relatif (RB) pour toutes les mesures considérées. Dans le scénario de population traitée avec un taux d'échantillonnage de 1,5 %, les réductions de biais allaient d'environ 5 % (pour le coefficient de variation) à 14 % (pour l'indice de Gini).
• Dépendance à la taille de l'échantillon : Le biais a été confirmé comme un phénomène lié aux petits échantillons. Pour des tailles d'échantillon supérieures à 20 individus, les estimateurs corrigés du biais se rapprochaient d'une absence de biais approximative.
• Robustesse aux valeurs aberrantes : Les mesures sensibles aux valeurs extrêmes (par exemple, GE avec $\alpha=2$, Atkinson avec $\epsilon=2$) présentaient un biais plus élevé dans les données non traitées. Bien que la correction ait réduit le biais, les auteurs notent que pour les populations avec des valeurs extrêmes, il reste conseillé de se concentrer sur des mesures robustes (Gini, GE avec $\alpha=0$, Atkinson avec $\epsilon=1$).
• Compromis de variance : La correction a induit une augmentation légère, généralement négligeable, de l'erreur relative absolue (ARE) pour la plupart des mesures, sauf pour l'indice de Gini, où l'inflation de la variance était plus prononcée en raison de la forme spécifique de l'ajustement de l'estimateur sans biais.

Application à l'estimation en petites aires (SAE)
Les auteurs ont mené un exercice illustratif de SAE utilisant le modèle de Fay-Herriot pour démontrer les conséquences pratiques de l'omission du biais.

• Spécification erronée du modèle : L'utilisation d'estimations d'enquête non corrigées (biaisées) comme entrées a conduit à une spécification erronée du modèle.
• Sous-estimation : Les estimations basées sur le modèle (EBLUP) résultantes ont systématiquement sous-estimé les niveaux d'inégalité par rapport à ceux dérivés des entrées corrigées du biais. Cette sous-estimation était particulièrement sévère pour l'indice de Gini.
• Conclusion sur la SAE : L'exercice confirme que la correction préliminaire du biais est une étape nécessaire avant d'appliquer des modèles de SAE au niveau de la zone pour des données d'inégalité afin d'éviter des inférences politiques trompeuses.

Signification et affirmations
L'article affirme que l'omission du biais de petit échantillon des estimateurs d'inégalité dans les enquêtes complexes conduit à une sous-estimation systématique de l'inégalité, un problème exacerbé dans les petits domaines et en présence de valeurs extrêmes. Le cadre proposé offre une solution flexible et non paramétrique qui réduit considérablement ce biais sans nécessiter de fortes hypothèses de distribution. Les auteurs positionnent ce travail comme un raffinement critique pour les chercheurs et les décideurs politiques s'appuyant sur des estimations locales de l'inégalité, arguant qu'une mesure précise nécessite de traiter le biais ex-ante avant d'appliquer des modèles de petites aires. Ils notent modestement que bien que les résultats de la simulation soient prometteurs, ils sont basés sur des données spécifiques (EU-SILC italien) et doivent être considérés comme une référence plutôt que comme une conclusion universelle, suggérant des directions de recherche futures telles que les cadres SAE multivariés et les extensions aux mesures basées sur les quintiles.