An average-case sensitivity analysis for unmeasured confounding

Résumé technique : Une analyse de sensibilité en cas moyen pour la confusion non mesurée

Énoncé du problème
Dans les études observationnelles, l'inférence causale repose sur l'hypothèse d'unconfoundedness (ignorabilité), qui postule que l'assignation au traitement est indépendante des résultats potentiels, conditionnellement aux covariables observées. Puisque cette hypothèse est invérifiable, une analyse de sensibilité est nécessaire pour évaluer comment les conclusions pourraient changer en cas de violation de l'unconfoundedness. Les approches existantes, particulièrement le modèle de sensibilité marginale (Tan, 2006 ; Zhao et al., 2019), emploient typiquement un paramètre de « pire cas » ($\Gamma$) qui borne la norme $L_\infty$ de la différence de logit entre les scores de propension observés et les scores de propension des données complètes. Bien que mathématiquement traitable, cette approche du pire cas peut être excessivement pessimiste, car la borne est déterminée par les valeurs les plus extrêmes (et potentiellement rares) des covariables, échouant ainsi à capturer la force moyenne de la confusion non mesurée.

Méthodologie
Les auteurs proposent un nouveau modèle de sensibilité en cas moyen paramétré par le second moment du ratio de propension, $\Sigma$. Au lieu de borner la déviation maximale, ce modèle contraint l'espérance du carré du ratio des scores de propension :
$$E \{ \nu_{1,h}(X) \} \le \Sigma,$$
où $\nu_{1,h}(X) = E\{h^2(X, Y) \mid X, Z=1\}$ et $h(X, Y) = e(X)/e(X, Y)$ est le ratio de propension. Cette formulation exige seulement que la force moyenne de la confusion non mesurée soit bornée.

L'article traite l'analyse de sensibilité associée comme un problème d'optimisation pour dériver des bornes nettes sur les résultats potentiels moyens, $E\{Y(1)\}$ et $E\{Y(0)\}$.

1. Solutions de population : Les auteurs résolvent analytiquement le problème d'optimisation en utilisant des formulations lagrangiennes.
   • Ils reformulent le problème pour minimiser un arbitrage entre le « risque » (second moment) et le « rendement » (premier moment) du ratio de propension, en tirant une analogie avec le problème de portefeuille de Markowitz.
   • Ils dérivent des solutions sous forme fermée pour la fonction de ratio de propension optimale $h^*(X, Y)$. Contrairement au modèle du pire cas, où la solution optimale est une fonction constante par morceaux (fonction en escalier), la solution en cas moyen est une fonction linéaire par morceaux de la variable de résultat $Y$.
   • Ils établissent que ces solutions produisent des bornes nettes (sharp bounds), signifiant que toute valeur comprise dans l'intervalle dérivé est atteignable par une distribution de génération de données valide satisfaisant les contraintes.
2. Estimation et inférence :
   • Les auteurs dérivent les fonctions d'influence efficientes (EIF) pour les bornes et les valeurs de sensibilité sous les modèles de cas moyen et de pire cas.
   • Ils proposent des estimateurs en une étape (one-step estimators) basés sur ces EIF, utilisant le cross-fitting pour gérer les paramètres de nuisance (tels que le score de propension et la densité conditionnelle du résultat). Cette approche permet une consistance $\sqrt{n}$ et une normalité asymptotique même lorsque les paramètres de nuisance sont estimés à des taux plus lents (par exemple, $o_P(n^{-1/4})$).
   • Pour faciliter l'inférence sur une plage de paramètres de sensibilité, ils appliquent le bootstrap par multiplicateur pour construire des bandes de confiance simultanées pour les courbes de sensibilité.

Résultats clés

• Bornes plus étroites : À travers un exemple numérique impliquant une structure de « confusion par porte (gated confounding) », les auteurs démontrent que le modèle en cas moyen produit des bornes nettement plus étroites sur l'effet de traitement moyen (ATE) par rapport au modèle du pire cas. Le paramètre du pire cas $\Gamma$ est montré comme étant piloté par des valeurs aberrantes extrêmes, tandis que le paramètre de cas moyen $\Sigma$ reflète mieux la force de la confusion pour la majorité de la population.
• Efficacité : Les études de simulation confirment que les estimateurs en une étape proposés, basés sur les EIF, convergent plus rapidement et présentent une erreur quadratique moyenne (RMSE) plus faible par rapport aux estimateurs directs par substitution (plug-in), particulièrement lorsque les paramètres de nuisance sont estimés via des méthodes non paramétriques.
• Application sur des données réelles : Dans une étude estimant l'effet de la consommation de poisson sur les niveaux de mercure sanguin (NHANES 2013-2014), les auteurs calibrent les paramètres de sensibilité par rapport aux covariables observées (éducation, revenu, âge). Le modèle en cas moyen suggère que la conclusion (que la consommation de poisson augmente le mercure) est robuste à une confusion non mesurée d'une magnitude comparable à ces covariables observées, alors que le modèle du pire cas suggère que la conclusion est fragile. Les bornes du cas moyen sont notablement plus optimistes et plus étroites.

Signification et revendications
L'article affirme fournir un cadre plus réaliste et moins pessimiste pour l'analyse de sensibilité en passant d'une contrainte de pire cas à une contrainte de cas moyen. Les contributions clés incluent :

1. Tractabilité analytique : Contrairement aux généralisations précédentes des modèles de sensibilité marginale qui relâchent les contraintes pour rendre l'optimisation traitable (résultant en des bornes non nettes), cet article fournit des solutions sous forme fermée et nettes (sharp) pour le problème de cas moyen.
2. Vue unifiée : Les solutions dérivées offrent une perspective unificatrice sur les modèles de pire cas et de cas moyen, mettant en évidence la différence structurelle entre les poids optimaux constants par morceaux (pire cas) et linéaires par morceaux (cas moyen).
3. Utilité pratique : En permettant la construction de bandes de confiance simultanées et en fournissant une méthode pour calibrer les paramètres de sensibilité à l'aide de covariables observées, l'approche facilite des interprétations plus nuancées et optimistes des résultats d'études observationnelles sans sacrifier la rigueur mathématique.

Les auteurs soutiennent que bien que le modèle en cas moyen soit plus optimiste, il reste un outil d'analyse de sensibilité valide qui capture l'étendue « moyenne » de la confusion non mesurée, ce qui est souvent plus pertinent pour les politiques et l'inférence scientifique que le scénario théorique du pire cas.