Zero-inflated stochastic volatility model for disaggregated inflation data with exact zeros

1. Problématique et Contexte

Le problème des zéros exacts :
Les séries temporelles d'inflation désagrégée (au niveau des produits individuels du Indice des Prix à la Consommation - IPC) présentent fréquemment des changements de prix nuls exacts. Contrairement aux données d'inflation agrégées où les zéros sont rares, les données désagrégées subissent une « inflation de zéros » (zero-inflation) due à des facteurs structurels :

• Staleness des prix (Rigidité) : De nombreuses entreprises ne révisent pas leurs prix mensuellement ou trimestriellement.
• Collecte de données : Les agences statistiques sélectionnent des produits représentatifs fixes. Si un produit est déscontinu ou si les données manquent, l'observation peut être nulle ou manquante.
• Conséquences : L'utilisation de modèles standards (comme les modèles DLM ou SV classiques) suppose une distribution continue (souvent normale). Appliquer ces modèles à des données contenant des zéros exacts entraîne des biais : les estimations de la tendance sont tirées artificiellement vers zéro et la volatilité conditionnelle est sous-estimée, car le modèle interprète les zéros comme de simples observations bruitées autour d'une moyenne basse plutôt que comme un mécanisme de génération distinct.

Objectif :
Développer un modèle capable d'estimer simultanément la tendance sous-jacente, la volatilité stochastique et la probabilité dynamique de génération de zéros, tout en gérant les dépendances multivariées entre les composantes de l'IPC.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent un Modèle de Volatilité Stochastique à Composantes Non Observées avec Inflation de Zéros (Z-UCSV / Z-MUCSV).

A. Structure du Modèle (Cas Univariate Z-UCSV)

Le modèle repose sur une structure d'espace d'états hiérarchique combinant un processus de tendance, une volatilité stochastique et un processus de génération de zéros :

1. Processus de mesure (Observation) :
   L'observation $y_t$ est générée soit par un processus continu $y^*_t$ (si le prix change), soit par un zéro exact (si le prix est stagnant).
   $$y_t | y^*_t, p_t \sim (1 - p_t)\delta_{y^*_t} + p_t\delta_0$$
   Où $p_t$ est la probabilité de zéro au temps $t$, et $\delta$ est la masse de Dirac.

2. Processus latent continu ($y^*_t$) :
   Il suit un modèle UCSV standard (Unobserved Components Stochastic Volatility) :
   $$y^*_t = \theta_t + \epsilon^{(y)}_t, \quad \epsilon^{(y)}_t | h_t \sim N(0, \exp(h_t))$$
   Où $\theta_t$ est la tendance (marche aléatoire) et $h_t$ est le log-volatilité (marche aléatoire).

3. Processus de probabilité de zéro ($p_t$) :
   La probabilité de zéro est modélisée via un modèle logistique dynamique (DGLM) :
   $$p_t = \text{logit}^{-1}(\pi_t), \quad \pi_t = \pi_{t-1} + \epsilon^{(\pi)}_t$$
   Cela permet de capturer la persistance temporelle et l'hétérogénéité dans la fréquence des zéros.

B. Extension Multivariée (Z-MUCSV)

Pour traiter les données de plusieurs pays et composantes simultanément, le modèle est étendu pour inclure :

• Des vecteurs de tendances, de volatilités et de probabilités de zéros.
• Une matrice de covariance $\Sigma^{(\pi)}$ pour les probabilités de zéro, permettant de capturer les co-mouvements entre les composantes.
• Une paramétrisation de volatilité stochastique invariante par l'ordre (order-invariant) pour la matrice de covariance des composantes continues, évitant les biais liés à l'ordre de traitement des variables (contrairement à la décomposition de Cholesky classique).

C. Inférence Bayésienne et Échantillonnage

L'inférence est réalisée via un échantillonneur de Gibbs personnalisé. Le défi principal réside dans la non-conjugaison de la vraisemblance logistique pour le processus $\pi_t$.

• Solution : Utilisation de l'augmentation de Polya-Gamma. Cette technique permet de réécrire la vraisemblance binomiale/logistique comme un mélange conditionnel de distributions gaussiennes.
• Avantage : Cela rend le conditionnel complet de $\pi_t$ gaussien, permettant d'utiliser l'algorithme de filtrage avant-échantillonnage arrière (FFBS - Forward-Filtering Backward-Sampling) pour échantillonner efficacement les états latents dynamiques de manière exacte (asymptotiquement), évitant les approximations moins précises.

3. Contributions Clés

1. Modélisation conjointe : C'est l'un des premiers modèles à spécifier explicitement et conjointement le processus de génération de zéros et le processus de volatilité stochastique pour des données continues non stationnaires.
2. Algorithme d'inférence efficace : Développement d'un échantillonneur de Gibbs basé sur l'augmentation Polya-Gamma, permettant une inférence exacte pour des modèles DGLM complexes avec des données multivariées.
3. Gestion de l'hétérogénéité : Le modèle capture non seulement la persistance temporelle des zéros, mais aussi l'hétérogénéité transversale (différents taux de zéros selon les produits/pays) et les dépendances inter-composantes.
4. Distinction conceptuelle : Le modèle distingue clairement l'inflation attendue (dans l'espace des données observables) de l'inflation de tendance latente (conditionnelle aux observations non nulles), ce qui est crucial lorsque les zéros sont fréquents.

4. Résultats Empiriques

Les auteurs appliquent le modèle aux données trimestrielles d'IPC désagrégées de quatre économies avancées : États-Unis, Royaume-Uni, Allemagne et Japon.

• Estimation de la Tendance et de la Volatilité :

  • Le modèle Z-UCSV/Z-MUCSV produit des estimations de tendance plus informatives. Là où le modèle standard (UCSV) sous-estime la tendance (la tirant vers zéro à cause des zéros), le modèle à inflation de zéros identifie une pression inflationniste latente (parfois jusqu'à 5 %) même en l'absence de changements de prix observés.
  • La volatilité estimée est plus lisse et plus élevée, car le modèle ne pénalise pas les périodes de zéros comme des périodes de faible variance, mais les traite comme des périodes d'information manquante sur la volatilité.
  • Exemple : Pour l'électricité au Japon, le modèle détecte une baisse de la probabilité de zéro après la libéralisation du marché en 1995, ce que le modèle standard ne capture pas.

• Prévision (Out-of-Sample) :

  • Prévisions ponctuelles : Le modèle à inflation de zéros surpasse le modèle standard, particulièrement pour les composantes où les zéros sont fréquents (ex: transports, santé).
  • Prévisions d'intervalles : Les intervalles de crédibilité du modèle Z-MUCSV sont mieux calibrés (plus proches de la ligne de 45 degrés), réduisant le risque de sous-estimation de l'incertitude.

• Agrégation :

  • L'agrégation des estimations composantes par composantes (Z-UCSV) fournit des estimations de tendance agrégée plus robustes et moins sensibles aux pics éphémères que l'application directe d'un modèle UCSV sur les données agrégées.

5. Signification et Implications

• Pour la politique économique : Les modèles standards peuvent sous-estimer l'inflation sous-jacente et la volatilité dans les secteurs à prix rigides (services publics, santé, transports). Le modèle proposé offre une vision plus précise des risques inflationnistes latents, aidant les banques centrales à mieux évaluer l'ancrage de l'inflation.
• Robustesse aux erreurs de mesure : Le modèle traite les zéros non pas comme du bruit, mais comme un signal d'information structurelle (stagnation des prix), corrigeant ainsi les biais de mesure inhérents aux données désagrégées.
• Applicabilité générale : Bien que conçu pour l'IPC, la méthodologie (DGLM + SV + augmentation Polya-Gamma) est applicable à d'autres séries temporelles multivariées non stationnaires présentant des zéros exacts (ex: données financières haute fréquence, dépenses des ménages).

En conclusion, cet article démontre que négliger le mécanisme de génération des zéros dans les données d'inflation désagrégée conduit à des inférences erronées, et propose une solution bayésienne rigoureuse et efficace pour corriger ces biais.