On testing for independence between generalized error models of several time series

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse au test d'indépendance conditionnelle entre plusieurs séries temporelles. La question centrale est de déterminer si les « innovations » (ou erreurs) d'un modèle de série temporelle sont indépendantes de celles d'une autre série, après avoir pris en compte l'information passée ($F_{t-1}$).

• Limites des approches existantes : Les méthodes précédentes, comme celles de Duchesne, Ghoudi et Rémillard (2012), se concentraient principalement sur les modèles à volatilité stochastique (SV) avec des distributions continues. Les tests basés sur les corrélations croisées échouent souvent à détecter les dépendances non linéaires ou non gaussiennes.
• Le défi des distributions mixtes : De nombreuses séries réelles (données financières avec des retours nuls, données de criminalité, etc.) sont discrètes, continues, ou des mélanges des deux (ex: modèles à inflation de zéro). Dans le cas discret, la transformation classique en variables uniformes (via la fonction de répartition conditionnelle) ne produit pas de variables indépendantes et uniformes, ce qui rend les tests standards inapplicables.
• Objectif : Développer une méthode générale pour tester l'indépendance entre les innovations de plusieurs séries temporelles, quelle que soit la nature de leurs distributions marginales (continues, discrètes ou mixtes).

2. Méthodologie Proposée

Les auteurs proposent une approche en deux étapes reposant sur la théorie des copules et des processus empiriques.

A. Définition des « Innovations Généralisées »

Pour gérer les distributions arbitraires (y compris discrètes), les auteurs définissent des innovations généralisées ($U_t$) en utilisant une technique de randomisation proposée par Brockwell (2007) :
$$U_t = G_t(X_{t-}) + V_t \Delta G_t(X_t)$$
Où :

• $G_t(\cdot)$ est la fonction de répartition conditionnelle de la série $X_t$ étant donné le passé.
• $V_t$ est une variable aléatoire uniforme sur $[0,1]$, indépendante du passé et de $X_t$.
• $\Delta G_t$ représente la masse de probabilité aux points de discontinuité.

Cette transformation garantit que $U_t$ est uniformément distribué sur $[0,1]$ et, sous l'hypothèse nulle d'indépendance conditionnelle, les vecteurs d'innovations multivariés sont indépendants et suivent une copule d'indépendance ($\Pi$).

B. Modélisation par Copules Conditionnelles

Le modèle multivarié est construit en reliant les marges univariées (modélisées séparément) via une copule conditionnelle $C_t$. L'équation de Sklar conditionnelle s'écrit :
$$P(X_{1t} \le y_1, \dots, X_{dt} \le y_d | F_{t-1}) = C_t \{G_{1t}(y_1), \dots, G_{dt}(y_d)\}$$
L'hypothèse nulle ($H_0$) est que la copule conditionnelle est la copule d'indépendance ($C_t = \Pi$) pour tout $t$.

C. Processus Empiriques et Transformées de Möbius

Pour tester cette hypothèse, les auteurs construisent des processus empiriques basés sur les rangs des pseudo-observations (les $U_t$ estimés).

• Ils utilisent des transformées de Möbius des processus empiriques pour isoler les dépendances d'ordre supérieur et simplifier la structure de covariance.
• Les statistiques de test sont basées sur des lag (retards) multivariés $\ell = (\ell_1, \dots, \ell_d)$.

D. Statistiques de Test

Plusieurs statistiques sont proposées, toutes ayant une distribution asymptotique connue sous $H_0$ (indépendante des paramètres estimés) :

1. Statistiques de type Cramér-von Mises ($S_{n,A,\ell}$) : Intègrent le carré du processus empirique transformé.
2. Corrélations croisées généralisées ($\hat{r}_{n,A,\ell}$) : Mesurent la dépendance linéaire sur les rangs.
3. Mesures de dépendance basées sur les copules : Extensions multivariées du rho de Spearman, du coefficient de Savage et du coefficient de van der Waerden.
4. Statistiques combinées ($W_n, F_n, H_n$) : Combinaison des statistiques sur différents lags et sous-ensembles de séries pour augmenter la puissance du test.

3. Résultats Théoriques et Asymptotiques

• Distribution Limites : Sous des hypothèses de régularité (A0-A6), les processus empiriques convergent vers des processus gaussiens centrés.
• Indépendance des paramètres : Une contribution majeure est la démonstration que la distribution limite des statistiques de test est libre de paramètres et ne dépend pas de l'estimation des paramètres des modèles univariés individuels. Cela simplifie grandement l'inférence.
• Cas Discret et Randomisation : Pour les séries discrètes, l'utilisation de la variable $V_t$ (randomisation) permet de conserver la propriété de distribution uniforme. Les auteurs montrent que bien que la randomisation puisse réduire légèrement la puissance en échantillon fini, elle permet d'obtenir des statistiques libres de distribution. Une technique de moyennage sur plusieurs randomisations ($M > 1$) permet de restaurer la puissance au niveau des cas continus, au prix de perdre la propriété de distribution libre (nécessitant alors un bootstrap).

4. Expérimentations Numériques

Les auteurs ont réalisé des simulations Monte Carlo sur des modèles générant des données :

• Cas Continus : Modèles à volatilité stochastique et HMM (Hidden Markov Models) gaussiens.
• Cas Discrets/Mixtes : Modèles INGARCH (comptages) et HMM avec composantes discrètes (ex: Poisson).
• Copules de dépendance : Frank, Gaussienne, Clayton, et la « Tent Map » (dépendance non linéaire complexe).

Constats clés :

• Les niveaux de test (erreur de type I) sont proches des niveaux nominaux (5%) même pour de petits échantillons ($n=100$).
• La statistique combinée $W_n$ (basée sur Cramér-von Mises) offre généralement la meilleure puissance globale.
• Les statistiques basées sur les corrélations ($H_n$) sont puissantes pour les dépendances linéaires mais échouent sur des structures complexes comme la « Tent Map » (sauf si la mesure de dépendance théorique est non nulle, comme pour le coefficient de Savage).
• L'approche fonctionne bien pour les distributions marginales arbitraires (Gaussienne, Exponentielle, Pareto, Poisson).

5. Applications Réelles

Deux applications illustrent la méthode :

1. Données Financières (NASDAQ) : Analyse des retours log de Apple, Intel et Hewlett-Packard.
   • Les retours bruts montrent une forte dépendance.
   • Après ajustement de modèles HMM (incluant un régime à zéro pour Intel), les tests sur les erreurs généralisées rejettent l'indépendance initiale.
   • En ajoutant le retour du NASDAQ comme covariable, les tests ne rejettent plus l'hypothèse d'indépendance conditionnelle, suggérant que le marché NASDAQ explique la dépendance entre ces actions.
2. Données de Criminalité (Pittsburgh) : Analyse des vols à main armée (Robbery) et des délits divers (Crime mischief).
   • Les données sont discrètes (comptages).
   • Après ajustement de modèles INGARCH(1,1) et HMM de Poisson, les tests indiquent qu'il ne reste aucune dépendance significative entre les erreurs des deux séries, suggérant une indépendance conditionnelle donnée le passé.

6. Signification et Contributions Clés

• Généralisation : C'est la première méthode permettant de tester rigoureusement l'indépendance conditionnelle pour des séries temporelles multivariées avec des distributions marginales arbitraires (mixtes, discrètes, continues).
• Robustesse : La méthode est robuste à la forme des distributions marginales grâce à l'utilisation de copules et de la randomisation.
• Outils Pratiques : Les auteurs ont implémenté toutes ces méthodologies dans le package R IndGenErrors disponible sur CRAN, rendant la méthode accessible aux praticiens.
• Impact : Cette approche permet de mieux modéliser les systèmes complexes où les données ne sont pas purement continues (finance avec zéros, épidémiologie, criminologie), en fournissant un outil de diagnostic fiable pour la structure de dépendance résiduelle.

En résumé, cet article étend considérablement le cadre des tests d'indépendance temporelle, passant des modèles continus classiques à un cadre général capable de traiter la complexité des données réelles modernes.