The impact of intraband carrier dynamics on the optical properties of two-dimensional materials: I. General theory

Résumé technique : L'impact de la dynamique des porteurs intrabande sur les propriétés optiques des matériaux bidimensionnels

Énoncé du problème
Les équations de Bloch des semi-conducteurs (SBEs) constituent le cadre théorique standard pour décrire les phénomènes non linéaires ultra-rapides dans les solides, tels que la génération d'harmoniques hautes et l'excitation des porteurs. Historiquement, les solutions analytiques des SBEs ont été dérivées principalement pour les régimes proches de la résonance ou pour des champs optiques faibles. Dans ces conditions, les termes de couplage interbande (responsables des transitions entre les bandes de valence et de conduction) dominent, tandis que les termes intrabande (décrivant le mouvement des porteurs au sein d'une même bande sous l'effet du champ électrique) sont souvent négligés.

Cependant, les expériences modernes utilisent de plus en plus des impulsions térahertz (THz) et optiques de haute puissance et hors résonance. Dans ce régime, le mouvement intrabande devient significatif, contribuant substantiellement à la polarisation du système. L'absence de solutions analytiques pour les SBEs complètes dans ce régime de haute puissance et hors résonance — où les termes intra- et interbandes ne sont pas négligeables — limite la compréhension théorique des interactions lumière-matière dans ces conditions. Cet article répond à la nécessité d'un traitement analytique des SBEs qui rend compte explicitement de la dynamique des porteurs intrabande dans les semi-conducteurs bidimensionnels (2D).

Méthodologie
Les auteurs développent un formalisme théorique général pour les semi-conducteurs 2D, spécifiquement adapté aux monocouches de dichalcogénures de métaux de transition (S-TMD) irradiées par une lumière infrarouge circulaire, forte et hors résonance. La méthodologie procède à travers plusieurs étapes clés :

1. Formulation du Hamiltonien : L'étude commence par une approximation à deux bandes (bandes de conduction et de valence) incluant l'interaction avec le champ électrique externe et les interactions de Coulomb entre les porteurs. Le Hamiltonien d'interaction inclut explicitement le couplage interbande, le mouvement intrabande et les termes de connexion de Berry intrabande.
2. Dérivation des SBEs : En utilisant la représentation de Heisenberg et l'approximation de Hartree-Fock, les auteurs dérivent les SBEs pour la polarisation interbande et les nombres d'occupation des porteurs. Une caractéristique cruciale de ces équations est l'inclusion de la dérivée matérielle (lagrangienne), $D = \partial_t - (|e|/\hbar)\mathbf{E}(t)\cdot\nabla_k$, qui rend compte de l'accélération des porteurs dans l'espace des moments.
3. Réduction du système : En identifiant une intégrale de mouvement (une loi de conservation reliant la polarisation et les nombres d'occupation), le système d'équations couplées est réduit à une équation unique pour la polarisation interbande.
4. Référentiel en mouvement (Co-moving frame) : Pour gérer les termes de champ électrique dépendants du temps, les auteurs proposent une transformation vers un référentiel en mouvement dans l'espace des moments. Ce référentiel tourne avec le vecteur du champ électrique de l'impulsion circulaire. Cette transformation "gèle" efficacement les termes de commande dépendants du temps, convertissant le problème en un problème régi par un Hamiltonien statique effectif.
5. Solution perturbative : L'équation résultante est une équation de Wannier généralisée dans l'espace des moments. Les auteurs la résolvent à l'aide d'un développement perturbatif en un petit paramètre proportionnel à l'amplitude du champ électrique ($E_p$). Ils construisent une base d'autofonctions correspondant aux états excitoniques (ns, np, etc.) et traitent les termes intrabandes comme une perturbation qui mélange les états de différents moments angulaires.

Contributions clés

• Cadre analytique : L'article fournit la première solution analytique des SBEs complètes dans le régime de haute puissance et hors résonance, en conservant explicitement les termes de couplage intrabande qui sont typiquement omis dans les traitements analytiques.
• Technique du référentiel en mouvement : Une méthode novatrice est introduite pour résoudre les SBEs en transformant vers un référentiel en mouvement avec le champ électrique. Cette technique simplifie la dépendance temporelle du problème, permettant la construction d'un Hamiltonien statique effectif.
• Formule d'Elliott généralisée : La solution dérivée pour la polarisation induite est présentée sous la forme d'un développement en série de puissances. Le terme principal recouvre la contribution interbande standard (analogue à la formule d'Elliott), tandis que les termes suivants représentent les corrections découlant de la dynamique intrabande.

Résultats
La solution analytique pour la polarisation induite, $P_\tau(k)$, dans une vallée spécifique ($\tau = \pm 1$) d'une monocouche de S-TMD, consiste en deux contributions distinctes :

1. Contribution Interbande (Linéaire en $E_p$) : Ce terme, proportionnel à $d_{cv}E_p$, provient directement du couplage interbande. Il domine dans la limite de champ faible et reproduit les propriétés optiques établies précédemment. Il est supprimé dans le régime hors résonance par la grande énergie de l'exciton.
2. Contribution Intrabande (Quadratique en $E_p$) : C'est le résultat novateur de l'étude. Il provient du mouvement intrabande des porteurs et des connexions de Berry. Ce terme est proportionnel à $E_p^2$ et représente un processus du second ordre impliquant le mélange des états excitoniques (par exemple, le mélange des états $ns$ et $np$).
   • Cette contribution inclut à la fois des termes indépendants de la vallée (dus au mouvement intrabande) et des termes dépendants de la vallée (dus à la courbure de Berry des bandes).
   • Le terme intrabande introduit une nouvelle structure de pôles dans la fonction de réponse, correspondant aux transitions optiques entre différents états excitoniques (par exemple, $Ns \to N'p$) lorsque l'énergie des photons correspond à l'espacement des niveaux.

L'analyse démontre que dans le régime hors résonance, le terme intrabande fournit une correction significative à la polarisation totale. Dans des géométries expérimentales ou des conditions de symétrie spécifiques où la contribution interbande s'annule, le terme intrabande devient le mécanisme primaire de la réponse optique.

Signification et revendications
Les auteurs affirment que leur travail établit un fondement théorique complet pour analyser les propriétés optiques des semi-conducteurs 2D sous des champs optiques forts et non résonnants. La principale signification réside dans la démonstration que la dynamique des porteurs intrabande ne peut être ignorée dans les études modernes impliquant des impulsions de haute intensité. Le formalisme développé révèle que les impulsions optiques fortes peuvent modifier les propriétés optiques des matériaux même lorsque le couplage lumière-matière interbande est interdit par la symétrie.

L'article conclut que la contribution intrabande est cruciale pour une description correcte de phénomènes tels que l'effet Stark excitonique dynamique dans les régimes hors résonance. Les auteurs notent que leur approche est valide tant que le champ électrique ne détruit pas les états excitoniques liés (pas de tunnelisation vers le continuum). Les méthodes présentées ici servent de fondation à la Partie II de leur étude, qui applique cette théorie au calcul des décalages excitoniques induits optiquement dans les monocouches de S-TMD.