Résumé technique : Estimation par double système à l'aide de modèles loglinéaires à effets mixtes

1. Énoncé du problème

L'estimation par double système (DSE - Dual System Estimation) est un outil standard dans les statistiques officielles pour estimer la taille d'une population en reliant deux sources de données et en estimant le nombre d'unités manquées par les deux. La méthode repose sur l'hypothèse d'indépendance entre les deux listes et de probabilités d'inclusion homogènes. Pour satisfaire l'hypothèse d'homogénéité, la DSE est souvent stratifiée par des variables telles que la région.

L'approche standard utilise des modèles loglinéaires à effets fixes, estimant les paramètres pour chaque niveau de la variable de stratification. Cette approche se heurte à des défis importants :

• Prolifération des paramètres : Lorsque le nombre de niveaux de stratification (ex. : régions) est élevé, le nombre de paramètres devient ingérable.
• Biais dû aux petits échantillons : Dans les scénarios avec de nombreuses strates et de faibles tailles d'échantillon au sein de chaque strate, les modèles à effets fixes (et l'estimateur de Lincoln-Petersen standard) produisent des estimations biaisées.
• Estimations infinies : Dans les cas où l'intersection des deux listes est vide au sein d'une strate spécifique ($n_{11}=0$), l'estimateur à effets fixes produit des estimations de population infinies.

Bien que l'estimateur de Chapman soit souvent utilisé pour atténuer le biais des petits échantillons dans les modèles à effets fixes, il ne résout pas l'inefficacité de l'estimation de nombreux paramètres de manière indépendante. Cet article étudie l'utilisation de modèles loglinéaires à effets mixtes (également appelés modèles multiniveaux ou hiérarchiques) comme alternative. Ces modèles remplacent les paramètres fixes des variables de stratification par des effets aléatoires tirés d'une distribution, permettant ainsi de « prêter de la force » (borrowing strength) entre les groupes pour améliorer la stabilité de l'estimation.

2. Méthodologie

2.1. Modèles loglinéaires à effets fixes

Les auteurs définissent la base de référence en utilisant une régression de Poisson avec un lien log.

• Sans stratification : Un modèle saturé pour deux listes ($A$ et $B$) inclut une constante et des termes d'interaction. Puisque la cellule des unités manquées par les deux ($A=0, B=0$) est inobservée, le modèle suppose l'indépendance, réduisant le modèle à une forme d'indépendance conditionnelle.
• Avec stratification : Lorsqu'une variable de stratification $R$ (ex. : région) est introduite, l'approche standard ajuste un modèle d'indépendance conditionnelle $[AR][BR]$ pour chaque niveau $l$ de $R$. Cela entraîne un ensemble distinct de paramètres pour chaque région, conduisant à un modèle maximal avec zéro degré de liberté.

2.2. Modèles loglinéaires à effets mixtes

La proposition centrale consiste à remplacer les effets fixes associés à la variable de stratification ($R$) et ses interactions par des effets aléatoires.

• Structure du modèle : Le modèle loglinéaire est reparamétré pour inclure une constante aléatoire ($u_{0l}$) et des pentes aléatoires ($u_{1il}, u_{2jl}$) pour les probabilités d'inclusion des listes $A$ et $B$ à travers les régions.
  $$\log \mu_{ijl} = (\lambda + u_{0l}) + \lambda^A_i + \lambda^B_j + u_{1il} + u_{2jl}$$
  Ici, $u_{0l} \sim N(0, \sigma^2_{u0})$ capture la variabilité inter-régionale de la taille de la population, tandis que les termes de pente capturent la variabilité des probabilités de capture.
• Estimation par contraction (Shrinkage) : Les estimateurs d'effets aléatoires agissent comme des estimateurs de contraction (Meilleurs Prédicteurs Non Biaisés). Les estimations au niveau du groupe sont « contractées » vers la moyenne globale, pondérées par la fiabilité des données du groupe (taille de l'échantillon) et la distance par rapport à la moyenne globale. Cela réduit la variance et atténue le biais des petits échantillons sans nécessiter d'estimations infinies.
• Mise en œuvre : Les modèles sont ajustés à l'aide du package lme4 dans R, en utilisant l'optimiseur bobyqa pour gérer les problèmes de convergence courants lors de faibles comptages de cellules.

2.3. Réduction du biais et extensions

• Estimateur de Chapman : Pour les modèles à effets fixes, les auteurs appliquent l'estimateur de Chapman (ajout de 1 à la cellule $n_{11}$) pour réduire le biais des petits échantillons. Cet ajustement n'est pas appliqué aux modèles à effets mixtes, car le mécanisme de contraction sert un objectif similaire de réduction du biais.
• Estimation par systèmes multiples (MSE) : La méthodologie est étendue à trois listes (Estimation par triple système). Les auteurs formulent un modèle à effets mixtes pour les tableaux à trois voies, remplaçant les termes d'interaction fixes par des effets aléatoires pour estimer la cellule inobservée ($A=0, B=0, C=0$).

3. Conception de l'étude de simulation

Les auteurs ont mené une étude de simulation complète pour évaluer les performances des modèles à effets mixtes par rapport aux modèles à effets fixes (avec et sans correction de Chapman).

• Facteurs variés :
  • Taille de la population ($N$) : Allant de 500 à 300 000.
  • Nombre de régions : De 5 à 30.
  • Probabilités de capture : Scénarios élevés ($\pi_A=0,8, \pi_B=0,7$) et faibles ($\pi_A=0,4, \pi_B=0,2$).
  • Distributions des effets aléatoires : Normale (supposée), Lognormale et Pareto (pour tester la robustesse face aux violations de la normalité).
• Métriques : La performance a été évaluée à l'aide du Biais Relatif Absolu Moyen (MARb), du Coefficient de Variation (CV) et de l'Erreur Quadratique Moyenne (MSE).

4. Résultats clés

• Comparaison des performances : Le modèle loglinéaire à effets mixtes a systématiquement surpassé ou performé de manière similaire au modèle à effets fixes avec l'estimateur de Chapman.
  • Biais : Le modèle à effets mixtes a présenté un MARb plus faible, particulièrement dans les scénarios avec de petites tailles de population et un grand nombre de régions (où les comptages de cellules sont rares).
  • Variance : Le modèle à effets mixtes a démontré une plus faible variabilité (CV) par rapport aux effets fixes, surtout lorsque les tailles d'échantillon étaient faibles.
• Robustesse aux hypothèses de distribution : Les résultats indiquent que le modèle à effets mixtes est robuste aux violations de l'hypothèse de normalité. Les estimations dérivées des effets aléatoires de distribution lognormale et de Pareto ont produit des MARb et des CV comparables à ceux obtenus lorsque l'hypothèse de normalité était respectée.
• Comportement des petits échantillons : Dans les scénarios où les modèles à effets fixes sans correction de Chapman produisaient des estimations infinies (en raison de comptes nuls dans l'intersection), le modèle à effets mixtes a fourni des estimations finies et stables.
• Ampleur de l'amélioration : Bien que le modèle à effets mixtes soit plus performant, les auteurs notent que l'amélioration de l'Erreur Quadratique Moyenne par rapport au modèle à effets fixes avec l'estimateur de Chapman est généralement faible.

5. Signification et affirmations

L'article affirme que les modèles loglinéaires à effets mixtes offrent une alternative viable et robuste aux approches traditionnelles à effets fixes dans le cadre de l'estimation par double système, particulièrement dans les contextes de statistiques officielles impliquant :

1. De nombreuses strates : Situations où le nombre de régions est élevé par rapport à la population totale.
2. De faibles tailles d'échantillon : Scénarios où les strates individuelles disposent de données éparses, entraînant l'instabilité des estimations à effets fixes.
3. De faibles probabilités de capture : Contextes où les probabilités d'inclusion sont basses, augmentant le risque de cellules vides.

Les auteurs concluent que, bien que l'estimateur de Chapman reste un performeur solide, les modèles à effets mixts offrent une « approche robuste au biais » qui emprunte l'information à l'ensemble des groupes. Cette approche gère naturellement l'arbitrage entre biais et variance, réduisant le risque d'estimations infinies et améliorant la précision globale dans les scénarios d'estimation difficiles. La méthodologie est appliquée avec succès à l'estimation par systèmes multiples, suggérant une large applicabilité au-delà du cas du double système.

L'article maintient un ton modeste, reconnaissant que si le modèle à effets mixtes surpasse le modèle à effets fixes, les gains en Erreur Quadratique Moyenne sont souvent marginaux dans les scénarios testés. Cependant, la stabilité et la robustesse de l'approche à effets mixtes dans les environnements à faible échantillon et à nombreuses strates sont soulignées comme ses principaux avantages.