Résumé Technique : Inférence Conforme Localement Adaptative pour les Modèles d'Opérateurs

Énoncé du Problème

Les modèles d'opérateurs sont des algorithmes de régression établissant une correspondance entre des espaces de Banach de fonctions ($\Gamma: \mathcal{F} \to \mathcal{G}$), largement utilisés dans la prévision spatiotemporelle, l'émulation physique et l'approximation des EDP. Un défi critique dans ces applications est la Quantification de l'Incertitude (UQ). Contrairement à la régression scalaire, les modèles d'opérateurs nécessitent des ensembles de prédiction valant des fonctions plutôt que des intervalles scalaires.

La prédiction conforme (CP) standard repose sur l'hypothèse d'une échangeabilité globale des données. Cependant, dans les applications réelles de données fonctionnelles (ex: climat, demande énergétique, météo), cette hypothèse est fréquemment violée en raison de la non-stationnarité, de la dérive saisonnière et de la variation des structures d'entrée. Bien que les méthodes existantes de CP adaptative traitent la non-stationnarité en pondérant les scores de calibration ou en modifiant les quantiles, elles supposent généralement une géométrie de score globale (ex: normes de résidus). Cette approche échoue pour les résidus fonctionnels où l'incertitude est anisotrope et structurée ; les scores basés sur la norme produisent des régions de prédiction sphériques qui ne s'alignent pas sur la forme réelle de la variabilité des résidus.

Méthodologie : Inférence Conforme par Tranches Locale (LSCI)

Les auteurs proposent l'Inférence Conforme par Tranches Locale (LSCI), un cadre sans distribution générant des ensembles de prédiction de valeurs fonctionnelles localement adaptatifs. Contrairement aux méthodes antérieures qui localisent le quantile, la LSCI localise la distribution du score de conformité elle-même.

Composants Clés

1. Cadre d'Échangeabilité Locale :
   La méthode suppose que le processus de résidus est localement échangeable (Campbell et al., 2019). Cela implique que, bien que les distributions globales puissent dériver, les résidus associés à des entrées similaires (dans un espace pré-métrique) partagent des distributions approximativement échangeables.

2. Scores de Profondeur $\Phi$ :
   Au lieu d'utiliser des normes scalaires, la LSCI utilise la profondeur de données fonctionnelles pour mesurer la centralité d'un résidu. Plus précisément, elle utilise les profondeurs $\Phi$ (Mosler & Polyakova, 2012), qui sont des profondeurs basées sur des projections.

   • Un résidu $r$ est projeté sur une famille de fonctionnelles linéaires $\Phi$ (ex: tranches gaussiennes aléatoires).
   • La profondeur est définie comme l'infimum des profondeurs univariées (ex: profondeur de demi-espace de Tukey) à travers ces projections :
     $$D_\Phi(r | P) = \inf_{\phi \in \Phi} D(\phi(r) | \phi(P))$$
   • Cela permet au score de s'adapter à la forme anisotrope du nuage de résidus local, plutôt que de forcer une géométrie isotrope (sphérique).

3. Construction du Score Local :
   Pour une entrée de test $f_{n+1}$, la LSCI construit une distribution de résidus empirique spécifique au test en utilisant des poids de similitude.

   • Localisation par Knockoff : Pour maintenir les garanties en échantplon fini, les poids sont calculés sur la base de la distance entre les entrées de calibration et un knockoff statistique de l'entrée de test ($\tilde{f}_{n+1} = f_{n+1} + \epsilon$), plutôt que sur l'entrée de test elle-même.
   • Cartes de Caractéristiques (Feature Maps) : La localisation peut s'effectuer dans l'espace d'entrée brut ou dans un espace de caractéristiques appris/transformé (ex: FPCA, modes de Fourier) pour capturer la similitude sémantique.
   • Normalisation de la Variance des Tranches : Pour gérer l'hétéroscédasticité, les tranches projetées sont rescalées à l'aide de poids spécifiques au test avant le calcul de la profondeur.

4. Formation de l'Ensemble de Prédiction :

   • La méthode calcule les scores de conformité locaux pour les résidus de calibration.
   • Un seuil est déterminé par la statistique d'ordre $k$ de ces scores locaux (où $k = \lfloor \alpha(n+1) \rfloor$).
   • L'ensemble de prédiction est défini comme l'ensemble des fonctions dont les résidus se situent dans la région centrale correspondante de la distribution de profondeur locale :
     $$C_\alpha(f_{n+1}) = \{ \hat{\Gamma}(f_{n+1}) + r : D_\Phi(r | \hat{P}_{n+1}) \geq q_\alpha(f_{n+1}) \}$$

5. Échantillonnage :
   Puisque l'ensemble de prédiction est un sous-ensemble implicite de l'espace fonctionnel, les auteurs emploient un algorithme d'échantillonnage (Algorithme 1) utilisant une base d'Analyse en Composantes Principales Fonctionnelles (FPCA) localement adaptée. Des échantillons sont tirés via l'échantillonnage par transformation inverse sur les coordonnées projetées pondérées et sont rejetés s'ils tombent en dehors du seuil de profondeur.

Garanties Théoriques

Le papier établit une validité en échantplon fini sous échangeabilité locale.

• Borne de Couverture : Les auteurs dérivent une borne dépendante des données sur l'écart de couverture. L'écart est contrôlé par la distance de variation totale entre la distribution jointe des résidus et ses permutations, laquelle est bornée par la distance pré-métrique des entrées (Proposition 3.1).
• Validité : Sous échangeabilité complète, la méthode atteint une couverture marginale exacte. Sous échangeabilité locale, la couverture reste proche du niveau nominal $1-\alpha$ à condition que le processus de résidus varie de manière lisse par rapport à la pré-métrique d'entrée.

Résultats Expérimentaux

Les auteurs ont évalué la LSCI sur des tâches de Processus Gaussiens synthétiques et sur trois applications réelles : la surveillance de la qualité de l'air (PM2.5), la prévision de la demande énergétique et la prévision météorologique (température ERA5).

• Tâches Synthétiques : La LSCI a obtenu une couverture proche du niveau nominal à travers divers noyaux de localisation, cartes de caractéristiques et largeurs de bande. Elle a démontré une robustesse vis-à-vis du choix des hyperparamètres.
• Comparaison avec les Références : Comparée aux références de la CP standard (Conf), des bandes intégrées conformalisées (Supr) et des modèles d'opérateurs profonds (PONet, QONet, UQNO), la LSCI produit systématiquement des ensembles de prédiction plus serrés (scores d'intervalle et largeurs de bande plus faibles) tout en maintenant une couverture valide.
  • Dans les contextes hétéroscédastiques, la LSCI s'est adaptée aux structures de variance locales, là où les méthodes globales étaient soit trop conservatrices (sur-couverture), soit sous-couvrantes.
• Applications Réelles :
  • Météo-ERA5 : La LSCI a capturé les structures d'erreur saisonnières et régionales que les seuils globaux moyennent, produisant des scores d'intervalle nettement inférieurs aux méthodes non adaptatives.
  • Robustesse : La LSCI a montré une résilience face aux prédictions biaisées et aux régimes de bruit hors-distribution spécifiques où les méthodes de référence échouaient ou nécessitaient une expansion excessive des intervalles.
• Adaptativité Spatiale : Les visualisations ont confirmé que les bandes de la LSCI se déforment pour correspondre à l'anisotropie et à la saisonnalité locales des résidus, fournissant une incertitude de valeur fonctionnelle alignée sur les réalités physiques.

Signification et Revendications

Le papier affirme que la LSCI représente une avancée significative pour l'apprentissage d'opérateurs en :

1. Comblant le fossé : Elle applique avec succès l'inférence conforme aux données fonctionnelles là où les scores standards basés sur la norme échouent en raison de l'anisotropie.
2. Localisant au niveau du score : En localisant la distribution du score plutôt que simplement le quantile, la LSCI modélise la géométrie de l'incertitude plus précisément que les méthodes de CP adaptatives existantes.
3. Garanties sans distribution : Elle conserve les garanties rigoureuses et sans distribution de l'inférence conforme, même dans des environnements non stationnaires, à condition que l'échangeabilité locale soit respectée.
4. Utilité Pratique : La méthode fournit aux praticiens des ensembles de prédiction de valeurs fonctionnelles permettant d'évaluer la fiabilité globale et d'identifier les régions de concentration d'incertitude, ce qui est crucial pour les applications scientifiques et d'ingénierie à enjeux élevés.

Limites

Les auteurs reconnaissent plusieurs limites :

• Surcharge Computationnelle : La localisation et l'échantillonnage au temps de test (particulièrement pour les champs à haute résolution) introduisent des coûts de calcul, bien que le traitement par lots (batching) et l'évaluation sur GPU puissent l'atténuer.
• Ensembles Implicites : L'ensemble de prédiction est défini implicitement via la profondeur ; l'application pratique repose sur l'échantillonnage de Monte Carlo. Bien que stable dans les expériences, les champs complexes ou à haute résolution peuvent nécessiter des mécanismes d'échantillonnage améliorés pour éviter les artefacts (ex: échantillons trop concentrés).
• Hypothèse de Lissage : La méthode suppose des changements lisses dans la distribution conditionnelle. Les changements abrupts ou les points de rupture peuvent être trop lissés par les noyaux locaux, entraînant une faible adaptativité dans ces régions spécifiques.