Generalized Vaidya Spacetime in Cotton and Conformal Killing Theories

Résumé technique : Espace-temps de Vaidya généralisé dans les théories de la Gravité de Cotton et de Killing Conforme

Énoncé du problème
La Relativité Générale (RG) est confrontée à des défis pour expliquer les courbes de rotation galactique et l'accélération cosmique tardive sans invoquer la matière noire ou l'énergie noire. Des théories de la gravité modifiée, spécifiquement la Gravité de Cotton (GC) et la Gravité de Killing Conforme (GKC), ont été proposées pour répondre à ces problèmes. La GC, introduite par Harada (2021), utilise des équations de champ tensorielles de rang trois dérivées du tenseur de Cotton, tandis que la GKC, proposée en 2023, emploie des structures similaires de rang trois impliquant des tenseurs de Killing conforme. Les deux théories admettent des formulations de rang deux équivalentes (de type Codazzi pour la GC et tenseur de Killing conforme sans divergence pour la GKC) qui simplifient l'analyse des solutions exactes.

L'espace-temps de Vaidya est une solution fondamentale non statique en RG décrivant des trous noirs rayonnants avec une fonction de masse dépendante du temps $M(u)$. Bien que la solution de Vaidya ait été largement généralisée en RG (par exemple, extensions chargées, de de Sitter, et de type II), son comportement dans les cadres de la GC et de la GKC reste inexploré. Cet article étudie si des solutions de type Vaidya généralisées existent dans ces théories de la gravité de rang trois et comment les structures géométriques uniques de la GC et de la GKC modifient la dynamique des espaces-temps rayonnants.

Méthodologie
Les auteurs analysent l'existence de solutions de Vaidya généralisées en utilisant l'élément de ligne de type Eddington-Finkelstein :
$$ds^2 = -f(u, r) du^2 + 2dudr + r^2d\Omega^2$$
où la fonction de métrique est définie par $f(u, r) = 1 - 2M(u,r)/r$. Contrairement à la solution de Vaidya standard où $M$ dépend uniquement de la coordonnée nulle $u$, cette forme généralisée permet à $M$ de dépendre à la fois de $u$ et de la coordonnée radiale $r$.

L'étude emploie les formulations de rang deux des équations de champ pour les deux théories :

1. Gravité de Cotton (GC) : $G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} + H_{\mu\nu}$ avec $\nabla_\alpha \tilde{H}_{\mu\nu} = \nabla_\mu \tilde{H}_{\alpha\nu}$, où $\tilde{H}_{\mu\nu}$ est un tenseur de Codazzi.
2. Gravité de Killing Conforme (GKC) : $G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu} + H_{\mu\nu}$ avec $\nabla_\alpha \tilde{H}_{\mu\nu} + \nabla_\mu \tilde{H}_{\nu\alpha} + \nabla_\nu \tilde{H}_{\alpha\mu} = 0$, où $\tilde{H}_{\mu\nu}$ est un tenseur de Killing conforme.

Le tenseur énergie-impulsion $T_{\mu\nu}$ est décomposé en une composante de fluide nul ($T^{(n)}_{\mu\nu} = \mu l_\mu l_\nu$) et une composante de fluide temporel ($T^{(m)}_{\mu\nu}$) avec une densité d'énergie $\rho$, une pression $p$ et une équation d'état barotrope $p = w\rho$. Les auteurs résolvent systématiquement les équations différentielles résultantes pour cinq cas distincts allant des configurations de vide aux configurations non statiques générales avec des sources de matière nulle et temporelle.

Contributions clés et résultats

• Solutions Générales : L'article dérive des solutions exactes pour le cas le plus général (Cas V : $M=M(u,r)$ et $T_{\mu\nu}$ non nulle) dans les deux théories.

  • En GC, la fonction de masse est trouvée comme étant :
    $$M(u, r) = C_0(u) + \frac{1}{2}C_1(u)r^2 + \frac{1}{3}C_2(u)r^3 + \frac{\kappa\rho_0(u)}{2(1-2w)}r^{1-2w}$$
    La densité d'énergie nulle $\mu$ et la densité temporelle $\rho$ sont déterminées en conséquence.
  • En GKC, la fonction de masse prend la forme :
    $$M(u, r) = C_0(u) + \frac{1}{3}C_1 r^3 + \frac{1}{5}C_2 r^5 + \frac{\kappa\rho_0(u)}{2(1-2w)}r^{1-2w}$$
    Notamment, la cohérence en GKC exige que les coefficients géométriques $C_1$ et $C_2$ soient des constantes, alors qu'en GC, ils peuvent être des fonctions de $u$.

• Solutions de Vide (Cas I & II) :

  • GC : Dans une configuration de vide ($T_{\mu\nu}=0$), si $M$ dépend uniquement de $u$, la masse doit être constante (réduisant à Schwarzschild). Cependant, si $M$ dépend de $r$ ($M=M(u,r)$), des solutions dynamiques non triviales existent même sans sources de matière, décrites par $M(u,r) = C_0 + \frac{1}{2}C_1(u)r^2 + \frac{1}{3}C_2(u)r^3$. Cela représente une solution de type Schwarzschild dynamique sourcée purement par des corrections géométriques.
  • GKC : Contrairement à la GC, les solutions de vide en GKC exigent que la fonction de masse soit statique. Même avec une dépendance en $r$, la fonction de masse se réduit à une forme constante $M = C_0 + \frac{1}{3}C_1 r^3 + \frac{1}{5}C_2 r^5$, impliquant qu'aucune solution de type Vaidya rayonnante n'est permise dans le vide au sein de la GKC.

• Solutions avec Source de Matière (Cas III & IV) :

  • Les deux théories admettent la solution de Vaidya originale (où $M=M(u)$) uniquement sous des contraintes spécifiques lorsqu'une source de matière temporelle non nulle est présente.
  • En GC, la solution de Vaidya originale est récupérée en présence de sources de matière temporelles spécifiques (par exemple, $w=-1$ ou $w=-1/2$) aux côtés du fluide nul.
  • En GKC, des résultats similaires tiennent pour des valeurs spécifiques de $w$ ($w=-1$ et $w=-2$), où la fonction de masse reste dépendante du temps ($M=C_0(u)$) uniquement lorsqu'elle est soutenue par une combinaison de matière nulle et de matière temporelle spécifique.

• Termes de Correction Géométrique : Une conclusion centrale est que les deux théories introduisent des termes additionnels dans la fonction de masse d'origine purement géométrique (les termes en $r^2, r^3$ en GC et $r^3, r^5$ en GKC). Ces termes proviennent de la structure unique des équations de champ et persistent même en l'absence de champs de matière temporelle, distinguant ces théories de la RG où de tels termes nécessitent typiquement des sources de matière spécifiques.

Signification
L'article démontre que les équations de champ non vides de la Gravité de Cotton et de la Gravité de Killing Conforme admettent une classe généralisée de solutions de type Vaidya. La principale signification réside dans l'identification de deux termes de correction additionnels dans la métrique généralisée qui sont d'origine purement géométrique. Ces termes généralisent l'espace-temps de Vaidya classique en RG et offrent de nouvelles perspectives sur la dynamique des espaces-temps rayonnants au sein des théories de la gravité de rang trois.

L'étude souligne une différence structurelle distincte entre la GC et la GKC concernant la dynamique du vide : la GC permet des solutions de vide dynamiques et rayonnantes sourcées purement par des corrections géométriques, tandis que la GKC restreint les solutions de vide à des configurations statiques. De plus, ce travail clarifie les conditions sous lesquelles la solution de Vaidya standard est récupérée dans ces théories modifiées, montrant qu'elle nécessite généralement la présence de sources de matière temporelle spécifiques en plus de la radiation nulle, contrairement à la RG où elle peut exister comme une solution de pur fluide nul. Ces résultats fournissent une base pour comprendre comment les théories géométriques d'ordre supérieur modifient le comportement des trous noirs dynamiques et des systèmes rayonnants.