The strange story of an almost unknown prime number counter: The Rafael Barrett formula

Cet article présente et analyse la formule de Rafael Barrett, découverte en 1935 par un mathématicien uruguayen, qui permet de compter les nombres premiers et qui avait été proposée en 1903 dans une note à Henri Poincaré.

L'essentiel

🕵️‍♂️ L'histoire du détective écrivain et de son secret mathématique

Imaginez un homme nommé Rafael Barrett. Ce n'était pas un mathématicien de métier, mais un écrivain et un conteur brillant, un peu comme un magicien des mots. Né en Espagne, il a fini par s'installer au Paraguay, où il a été profondément touché par la pauvreté et les guerres de son pays d'adoption. Il écrivait avec passion sur la politique et la société, principalement à travers des essais percutants.

Mais voici le tour de magie : en 1903, alors qu'il écrivait une lettre à un célèbre mathématicien français nommé Henri Poincaré (un peu comme envoyer une lettre à un grand sage), Barrett a glissé un petit secret dans son encre. Il avait inventé une formule magique capable de compter les nombres premiers.

Pour ceux qui ne connaissent pas, les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11...) sont les "briques de base" de l'univers des mathématiques. Ils sont imprévisibles, comme des étoiles dans le ciel : on ne sait pas toujours où elles vont apparaître.

📜 Le secret oublié pendant 30 ans

La lettre de Barrett est tombée dans l'oubli. Personne ne s'en souciait. Ce n'est que dans les années 1930 qu'un mathématicien uruguayen, Eduardo García de Zúñiga (le "père" de la communauté mathématique de son pays), a retrouvé ce parchemin caché.

Il a réalisé que Barrett, l'essayiste, avait trouvé une façon très originale de compter ces nombres mystérieux. En 1935, il a publié l'histoire de cette découverte dans un journal de Montevideo.

🔢 La formule magique : Comment ça marche ?

La formule de Barrett est un peu comme une machine à sous mathématique.
Si vous lui donnez un nombre (disons 10), elle fait tourner des rouages complexes (avec des factorielles, des sinus et des nombres comme Pi) et vous sort le résultat exact : "Il y a 4 nombres premiers inférieurs à 10".

C'est impressionnant car, à l'époque, Barrett comptait même le chiffre 1 comme un nombre premier (ce qu'on ne fait plus aujourd'hui, mais c'était une petite erreur de jeunesse acceptable !).

L'auteur de l'article nous dit : "Regardez, cette formule fonctionne ! Elle est basée sur une vieille règle connue des mathématiciens appelée le théorème de Wilson." C'est un peu comme si Barrett avait trouvé une clé secrète pour ouvrir une porte que les autres pensaient fermée.

🌌 Le grand mystère : Peut-on prédire l'avenir ?

Voici le vrai défi de l'article.

Les mathématiciens savent depuis longtemps que si vous regardez une très, très grande quantité de nombres, les nombres premiers suivent une tendance générale (une courbe douce). C'est comme regarder une forêt de loin : vous ne voyez pas chaque arbre individuellement, mais vous voyez la forme de la forêt.

La question que pose l'auteur est la suivante :

"Si on prend la formule de Barrett (qui compte arbre par arbre) et qu'on essaie de la faire tourner à l'infini, peut-on faire apparaître cette courbe générale de la forêt ?"

C'est comme si on essayait de prédire la météo de demain en comptant chaque goutte de pluie individuellement. C'est théoriquement possible, mais c'est extrêmement difficile.

🎩 La conclusion en images

L'article se termine par un défi lancé à tous les lecteurs :
Peut-on trouver une astuce de génie (un "héros" mathématique) pour passer de la formule compliquée de Barrett à la règle simple qui décrit l'univers des nombres premiers ?

En résumé, cet article nous raconte l'histoire d'un écrivain-poète qui a caché un trésor mathématique dans une lettre, un trésor qui a attendu 30 ans pour être découvert, et qui pose aujourd'hui une énigme amusante : peut-on transformer une comptabilité précise en une prédiction globale ?

C'est une belle histoire où la littérature et les mathématiques se donnent la main pour explorer les mystères de l'infini.

Résumé technique

1. Problématique et Contexte

L'article aborde l'histoire méconnue d'une formule mathématique spécifique pour le comptage des nombres premiers, développée par l'écrivain et essayiste Rafael Barrett en 1903. Bien que Barrett soit principalement connu pour sa littérature et son engagement politique en Amérique du Sud, il a soumis une note à l'illustre mathématicien Henri Poincaré contenant un compteur de nombres premiers.

• Le défi : La formule de Barrett, bien que correcte, est une expression explicite et complexe pour le nombre de premiers inférieurs à un entier $n$. L'auteur soulève la question théorique de savoir si l'on peut déduire le Théorème des Nombres Premiers (la distribution asymptotique des nombres premiers) à partir de cette formule explicite, un lien qui n'est pas immédiatement évident.

2. Méthodologie

L'approche de l'article est à la fois historique et mathématique :

• Recherche historique : L'auteur retrace la découverte de la formule, qui est restée obscure jusqu'à ce qu'elle soit analysée dans les années 1930 par le mathématicien uruguayen Eduardo García de Zúñiga. L'article examine la correspondance originale de Barrett et la publication de 1935 de García de Zúñiga.
• Analyse mathématique :
  • Présentation de la formule de Barrett (notée $Barr(n)$).
  • Démonstration de la validité de la formule en la reliant au Théorème de Wilson, qui stipule qu'un entier $p$ est premier si et seulement si $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
  • Fourniture d'une nouvelle preuve de la formule de Barrett en annexe.
  • Comparaison avec d'autres approches heuristiques, notamment la méthode statistique décrite par Courant et Robbins (suggérée par Gustav Hertz) pour obtenir le Théorème des Nombres Premiers.

3. Contributions Clés

• Révélation historique : L'article remet en lumière la contribution mathématique de Rafael Barrett, un "homme de lettres" dont la formule a été oubliée pendant des décennies.
• Formulation explicite : L'article formalise la formule de Barrett pour le comptage des nombres premiers $\pi(n)$ (en notant que Barrett incluait le nombre 1 parmi les premiers à l'époque). La formule correcte, utilisant le théorème de Wilson, s'écrit :
  $$Barr(n) = 3 + \sum_{k=5}^{n-1} \frac{\sin\left(\frac{(k-1)!\pi}{k}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{k}\right)}$$
  (Note : Le terme constant 3 compte les nombres premiers 2 et 3, exclus de la somme commençant à $k=5$. Pour un entier $k$ premier, le théorème de Wilson implique que $(k-1)! \equiv -1 \pmod k$, ce qui rend le numérateur égal à $\sin(-\pi/k) = -\sin(\pi/k)$. Le rapport devient alors $-1$, et selon la convention de signe de la somme dans la formulation originale de Barrett, cela permet de compter correctement les nombres premiers. Pour les nombres composés, la valeur du rapport est différente, permettant d'isoler les premiers).
• Lien théorique : L'auteur établit clairement le lien entre la formule de Barrett et le théorème de Wilson, montrant comment une condition de primalité discrète peut être transformée en une fonction de comptage continue/discontinue.

4. Résultats

• Validation de la formule : L'article confirme que la formule de Barrett fonctionne correctement pour compter les nombres premiers, comme le montrent les exemples numériques (ex: $Barr(6)=4$, $Barr(12)=6$, etc.).
• Limitation analytique : Bien que la formule soit exacte, l'article note qu'il est extrêmement difficile, voire impossible, d'extraire directement la limite asymptotique $\pi(n) \sim \frac{n}{\ln(n)}$ (prouvée par Hadamard et La Vallée Poussin en 1896) de cette expression de somme finie.
• Conjecture heuristique : L'article suggère que si une telle déduction n'est pas prouvée impossible, elle pourrait nécessiter une "heuristique ingénieuse", similaire à la méthode statistique de Courant et Robbins qui utilise des approximations (formule de Stirling, théorème de Legendre) pour atteindre le théorème des nombres premiers.

5. Signification

Cet article possède une double valeur :

1. Historique et culturelle : Il réhabilite la figure de Rafael Barrett, montrant la diversité de ses talents au-delà de la littérature, et documente l'histoire des mathématiques en Uruguay au début du XXe siècle.
2. Mathématique et épistémologique : Il pose une question ouverte fascinante sur la relation entre les formules explicites de comptage (basées sur la théorie des nombres élémentaires comme le théorème de Wilson) et les résultats asymptotiques profonds (Théorème des Nombres Premiers). Il invite la communauté mathématique à explorer s'il existe une heuristique capable de faire le pont entre la formule de Barrett et la limite de Hadamard-La Vallée Poussin.

En résumé, l'article de Mizraji sert de pont entre l'histoire littéraire, l'histoire des sciences et la théorie des nombres, en présentant une formule "étrange" qui défie une dérivation directe de l'un des théorèmes les plus fondamentaux de l'analyse.