On the estimation of leverage effect and volatility of volatility in the presence of jumps

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'estimation statistique de deux grandeurs financières cruciales à partir de données haute fréquence :

• L'effet de levier (Leverage Effect) : La covariance quadratique entre le processus de prix logarithmique $X_t$ et son processus de volatilité $\sigma^2_t$.
• La volatilité de la volatilité (Volatility of Volatility - VoV) : La mesure de l'intensité des variations du processus de volatilité lui-même.

Le défi principal : La présence de sauts (jumps) dans les processus de prix. Dans les modèles financiers réalistes (semimartingales), les prix subissent des sauts qui peuvent être de variation finie ou de variation infinie.

• Les méthodes d'estimation existantes (basées sur le seuillage ou les puissances bipolaires/multipolaires) souffrent de biais importants ou perdent leur validité asymptotique (notamment la normalité asymptotique) lorsque les sauts sont de variation infinie (indice d'activité des sauts $JAI > 1$).
• La volatilité n'étant pas observable, elle doit être estimée, ce qui amplifie les erreurs de biais introduites par les sauts lors de l'estimation de l'effet de levier et de la VoV.

2. Méthodologie Proposée

Les auteurs proposent une nouvelle approche basée sur la fonction caractéristique empirique des incréments haute fréquence, s'appuyant sur un estimateur de volatilité spot robuste aux sauts développé dans Liu et al. (2018).

Modèle sous-jacent :
Le processus de prix $X_t$ est modélisé comme une semimartingale d'Itô avec sauts :
$$X_t = X_0 + \int_0^t b_s ds + \int_0^t \sigma_s dB_s + J_t$$
où $J_t$ est un processus de sauts pur, décomposé en une partie de type Lévy symétrique (avec un indice de Blumenthal-Getoor $\beta$) et une partie générale d'indice d'activité $r$.

Estimateurs Clés :

1. Estimateur de Volatilité Spot ($\hat{\sigma}^2_t$) :
   Au lieu d'utiliser les carrés des incréments (sensibles aux sauts), l'estimateur utilise le logarithme de la fonction caractéristique empirique :
   $$\hat{\sigma}^2_t = -\frac{2}{u^2} \log \left( \left[ \frac{1}{k_n} \sum_{j} \cos\left( \frac{u \Delta^n_j X}{\sqrt{\Delta_n}} \right) \right] \vee \frac{1}{\sqrt{k_n}} \right)$$
   Cette méthode permet de séparer la composante de diffusion de la composante de saut, car la fonction cosinus atténue l'impact des grands sauts et contrôle l'effet des petits sauts via le paramètre $u$.

2. Estimateur de l'Effet de Levier ($\hat{L}_{[0,T]}$) :
   Il est construit en utilisant la covariance entre les incréments de prix et la différence des estimateurs de volatilité spot avant et après le temps $t_i$ :
   $$\hat{L}_{[0,T]} = \sum_{i} \Delta^n_i X \cdot (\hat{\sigma}^2_{t_i+} - \hat{\sigma}^2_{t_i-})$$
   La différence $(\hat{\sigma}^2_{t_i+} - \hat{\sigma}^2_{t_i-})$ permet d'annuler les termes de biais asymptotiques causés par les sauts, à condition que les sauts aient une structure symétrique ou que les conditions sur l'indice d'activité soient respectées.

3. Estimateur de la Volatilité de la Volatilité ($\widehat{VoV}_{[0,T]}$) :
   Il est dérivé de la variance asymptotique de l'estimateur de volatilité spot. L'idée est d'utiliser le carré de la différence des estimateurs de volatilité spot, corrigé par un terme de biais théorique :
   $$\widehat{VoV}_{[0,T]} = \sum_{i} \left( \frac{3}{2k_n}(\hat{\sigma}^2_{t_i+} - \hat{\sigma}^2_{t_i-})^2 - \frac{3}{k_n^2}h_1(u, t_i, \hat{\sigma}^2_{t_i+}) \right)$$
   où $h_1$ est une fonction dépendant de la fonction caractéristique.

Théorèmes Asymptotiques :
Les auteurs établissent des théorèmes de la limite centrale (CLT) pour ces estimateurs. Ils démontrent la consistance et la normalité asymptotique sous des conditions plus générales que la littérature existante. Ils proposent également des estimateurs consistants des variances limites pour rendre les CLT "faisables" (constructibles en pratique).

3. Contributions Principales

1. Généralité des Sauts : La contribution majeure est la validité des résultats théoriques pour des sauts de variation infinie.

   • Pour l'estimation de la VoV, la consistance est prouvée pour tout indice d'activité $JAI < 2$.
   • Pour la normalité asymptotique, la condition est $JAI < 1.5$ (contre $JAI < 1$ ou $JAI < 1/3$ pour les méthodes antérieures).
   • Pour l'effet de levier, la consistance tient pour $JAI \le 1$ et la normalité pour $JAI \le 1$.

2. Supériorité par rapport aux Méthodes Existantes :

   • Comparé au seuillage (thresholding) : La méthode proposée ne nécessite pas de sélection de paramètres de seuil complexes (qui dépendent de l'indice de saut inconnu).
   • Comparé aux estimateurs de puissance (bi-power) : Ces derniers échouent à atteindre la vitesse de convergence optimale ou la normalité asymptotique en présence de sauts de variation infinie. La méthode par fonction caractéristique diminue l'impact des sauts de manière plus efficace (via la propriété de la fonction cosinus).

3. Optimalité et Faisabilité :

   • Les estimateurs atteignent la vitesse de convergence optimale de $n^{-1/4}$.
   • Les auteurs fournissent des estimateurs consistants des variances asymptotiques, permettant la construction de intervalles de confiance et de tests d'hypothèses (ex: tester si l'effet de levier ou la VoV est nul).
   • Correction d'un résultat antérieur : Ils montrent que l'estimateur de volatilité spot de Liu et al. (2018) atteint la vitesse $n^{-1/4}$ (et non $n^{-1/4}/\log n$ comme suggéré précédemment).

4. Extension Théorique : Extension de la théorie de l'effet de levier à des fonctions générales de la volatilité (au-delà de la simple volatilité quadratique), avec une variance asymptotique plus faible que celle proposée par Wang et Mykland (2014).

4. Résultats Empiriques et Simulations

• Études de Simulation :

  • Les simulations montrent que les estimateurs proposés surpassent les méthodes existantes (Lev-AFLWY17, Vov-BV09, etc.) en termes de biais et d'erreur quadratique moyenne (MSE), particulièrement lorsque l'activité des sauts est élevée ($\beta = 1.5$).
  • Les estimateurs sont robustes au choix du paramètre $u$ (fixer $u=1$ suffit souvent).
  • Les distributions des statistiques studentisées suivent bien une loi normale standard, confirmant la validité des CLT faisables.

• Application aux Données Réelles :

  • Les auteurs appliquent leur méthode à des données haute fréquence (3 minutes) de 2011 à 2018 pour le SPY (S&P 500 ETF) et quatre actions (AAPL, AMZN, INTC, MSFT).
  • Indice d'activité des sauts (JAI) : Les estimations montrent que les données réelles ont un JAI souvent supérieur à 0.5, et parfois supérieur à 1 (surtout pour le SPY), confirmant la présence de sauts de variation infinie.
  • Résultats de Tests :
    • Ils rejettent l'hypothèse nulle d'une volatilité de volatilité nulle pour la plupart des années et des actifs, confirmant l'existence d'une dynamique stochastique de la volatilité.
    • Ils détectent un effet de levier négatif significatif (corrélation négative entre prix et volatilité) pour la plupart des actifs, en particulier pour le SPY, ce qui valide la théorie financière classique.

5. Signification et Conclusion

Cet article résout un problème fondamental en économétrie financière : l'estimation robuste des moments d'ordre supérieur de la volatilité en présence de sauts complexes.

• Impact Théorique : Il élargit considérablement le domaine de validité des estimateurs de l'effet de levier et de la VoV, permettant d'analyser des marchés où les sauts de variation infinie sont la norme plutôt que l'exception.
• Impact Pratique : La méthode est plus simple à mettre en œuvre (pas de réglage fin de seuils) et plus précise sur les données réelles. Elle fournit des outils statistiques rigoureux (tests, intervalles de confiance) pour les praticiens et les régulateurs souhaitant quantifier le risque de volatilité et la dynamique de levier dans des environnements de marché turbulents.

En résumé, cette étude propose une méthode supérieure, théoriquement justifiée et empiriquement validée, pour mesurer la dynamique de la volatilité et l'effet de levier dans un monde financier marqué par des sauts fréquents et intenses.