Effects of density stratification on Rossby waves in deep atmospheres

1. Problématique et Contexte

Les ondes de Rossby (ou modes r) sont des oscillations toroïdales à grande échelle dont la force de rappel est la force de Coriolis. Bien que récemment observées à la surface du Soleil, leurs fonctions propres radiales (leur comportement en profondeur) restent mal comprises.

Les travaux théoriques antérieurs souffrent de limitations majeures :

• Approximations géophysiques : Elles traitent souvent l'atmosphère comme un système quasi-bidimensionnel (système d'eau peu profonde) ou supposent une atmosphère stable et non convective, ce qui ne s'applique pas à l'intérieur solaire.
• Problèmes de singularité : Les calculs en astérosismologie utilisent souvent des variables (comme le déplacement lagrangien $\xi$ ou la vitesse latitudinale) qui introduisent des singularités internes lorsque la fréquence de flottabilité ($N^2$) change de signe (passant de positive dans l'intérieur radiatif à négative dans la zone convective).
• Approximation traditionnelle : De nombreuses études négligent les termes de Coriolis horizontaux (approximation traditionnelle), une hypothèse dont la validité dans l'intérieur radiatif solaire pour les ondes de Rossby n'est pas garantie.

L'objectif de cet article est de dériver une équation d'onde radiale valable pour une atmosphère profonde avec une stratification gravitationnelle générale, en évitant les singularités internes et en traitant correctement la transition entre les zones radiatives et convectives.

2. Méthodologie

Les auteurs (Blume et Hindman) adoptent une approche analytique et numérique rigoureuse :

• Variables de travail : Au lieu d'utiliser le déplacement ou la pression eulérienne, ils choisissent la fluctuation de pression lagrangienne ($\delta P$) comme variable principale. Cette variable est connue pour simplifier les équations en hélio-sismologie.
• Approximations :
  • Utilisation de l'approximation du plan $\beta$ (développement linéaire du paramètre de Coriolis $f$).
  • Développement des variables fluides en puissances de $\omega/\Omega$ (fréquence de l'onde sur la vitesse de rotation) pour capturer la quasi-géostrophie tout en conservant les termes d'ordre supérieur nécessaires à la propagation des ondes de Rossby.
  • Abandon de l'approximation traditionnelle : Ils conservent les termes de Coriolis horizontaux ($\tilde{f}$) pour assurer la cohérence, car ils trouvent que l'approximation traditionnelle n'est pas valide pour les modes de Rossby dans l'intérieur radiatif.
• Dérivation : En éliminant les densités de quantité de mouvement et en utilisant l'équation de continuité et d'énergie, ils obtiennent une équation différentielle ordinaire (EDO) du second ordre pour $\delta P$.
• Modèle Numérique : Ils appliquent cette équation au Modèle S (un modèle standard du Soleil) pour calculer les fonctions propres radiales et les fréquences propres.

3. Contributions Clés et Résultats

A. Équation d'onde sans singularité

L'utilisation de $\delta P$ conduit à une équation d'onde verticale de type Sturm-Liouville (Éq. 35) :
$$\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{\rho_0} \frac{d \hat{\delta P}}{dz} \right) = - \frac{1}{\rho_0} \frac{N^2}{gh} \hat{\delta P}$$
Cette formulation élimine les singularités internes qui apparaissaient dans les travaux précédents lorsque $N^2$ traverse zéro (à la base de la zone convective). Les coefficients sont réels et non singuliers.

B. Identification de deux cavités d'ondes

L'analyse du diagramme de propagation révèle l'existence de deux familles distinctes de modes correspondant à deux cavités :

1. Cavité de l'intérieur radiatif : Où $N^2 > 0$. Les modes ont des valeurs propres positives ($h > 0$).
2. Cavité de la zone convective : Où $N^2 < 0$. Les modes ont des valeurs propres négatives ($h < 0$).

C. Structure des fonctions propres radiales

• Modes de l'intérieur radiatif : Les fonctions propres de la vorticité verticale sont presque constantes à travers toute la zone convective, s'étendant jusqu'à la photosphère avec une amplitude importante. Cela suggère que ces modes, bien que confinés dans le cœur radiatif, pourraient être observables en surface.
• Modes de la zone convective : Ces modes sont confinés dans une cavité étroite juste sous la photosphère (environ 4 Mm de profondeur) et sont évanescentes ailleurs.

D. Déplacements de fréquence

Les auteurs calculent les décalages de fréquence par rapport au cas bidimensionnel (2D) :

• Les modes de l'intérieur radiatif subissent un décalage positif très faible (de l'ordre de $10^{-4}$), probablement indétectable.
• Les modes de la zone convective subissent un décalage négatif significatif (jusqu'à 10 % pour les ordres azimutaux élevés), dû à la stratification instable.

E. Validité de l'approximation traditionnelle

L'étude démontre que l'approximation traditionnelle (négliger $\tilde{f}$) n'est valable que si la longueur d'onde latitudinale est beaucoup plus grande que l'étendue verticale de la cavité. Pour les modes tesséraux de l'intérieur radiatif, cette condition n'est pas remplie, rendant l'approximation traditionnelle invalide dans cette région.

4. Signification et Implications

• Diagnostic Sismique : La méthode proposée permet d'envisager l'utilisation des ondes de Rossby pour contraindre le gradient superadiabatique dans la zone convective, une propriété actuellement mal connue. La sensibilité des fréquences à la stratification ($N^2$) offre une nouvelle voie d'investigation.
• Interprétation des Observations : Les résultats suggèrent que les observations actuelles des modes r solaires pourraient être un mélange complexe de modes de la zone convective et de modes de l'intérieur radiatif.
  • Le fait que les fonctions propres de vorticité des modes radiatifs soient constantes en surface pourrait expliquer certaines observations (comme celles de Hathaway & Upton 2021) montrant une amplitude constante en profondeur.
  • Les auteurs spéculent que les pics de puissance observés dans les spectres solaires pourraient résulter de la superposition incohérente de nombreuses familles de modes (radiatifs et convectifs) qui ne sont pas résolus individuellement avec la résolution temporelle actuelle.
• Révision des Modèles : L'article remet en question l'identification de certains modes simulés comme étant de simples modes toroïdaux, suggérant qu'ils pourraient avoir des composantes non-toroïdales importantes ou être des modes de cavité convective distincts.

En conclusion, ce travail fournit un cadre théorique robuste et mathématiquement propre pour étudier les ondes de Rossby dans les étoiles à stratification complexe, ouvrant la voie à une meilleure interprétation des données d'héliosismologie et d'astérosismologie.