Theory of local orbital magnetization: local Berry curvature

Résumé technique : Théorie de la magnétisation orbitale locale et de la courbure de Berry locale

Énoncé du problème
Bien qu'une théorie quantique cohérente de la magnétisation orbitale pour les solides cristallins périodiques ait été établie en 2005 (définissant la magnétisation via les moments orbitaux et la courbure de Berry), une théorie microscopique de la magnétisation orbitale locale valable pour diverses géométries est restée absente. Les cadres existants, tels que la théorie moderne pour les cristaux, reposent sur des moyennes par maille élémentaire, occultant les textures magnétiques des sous-réseaux et des sites uniques. De plus, bien que la formule de Středa lie la magnétisation orbitale à la conductivité Hall dans les systèmes périodiques, il n'est pas clair comment l'information topologique est encodée localement dans les systèmes finis, les rubans ou les structures non cristallines. Les approches précédentes en espace réel, telles que le marqueur de Chern local de Bianco-Resta, définissent la magnétisation locale en partant de la magnétisation totale globale, ce qui introduit des ambiguïtés de jauge liées aux courants de surface ou aux effets de charnière. Ce travail répond au besoin d'une théorie thermodynamique unifiée et invariante par changement de jauge, résolvant la magnétisation orbitale à l'échelle atomique pour les cristaux périodiques, les rubans et les systèmes finis à bords ouverts.

Méthodologie
Les auteurs développent une théorie thermodynamique basée sur une expansion perturbative de la densité locale d'états (LDOS) dépendante du champ magnétique, $\rho(r, \varepsilon, B)$.

• Formalisme : En partant du potentiel grand canonique local $\Xi(r, \mu, B) = -\int d\varepsilon F(\varepsilon)\rho(r, \varepsilon, B)$, la magnétisation orbitale locale est définie comme la limite à champ nul $M(r, \mu) = -\partial_B \Xi(r)|_{B=0}$.
• Modèle : La théorie est formulée pour des électrons sans spin non interagissants dans un modèle de liaisons fortes (tight-binding), incorporant le champ magnétique via la substitution de Peierls. La LDOS est évaluée par une théorie de la perturbation invariante par changement de jauge.
• Dérivation : Le résultat central est une expression de la magnétisation locale impliquant la fonction de Green retardée $G(\varepsilon)$ et l'opérateur vitesse $\hat{v}$ :
  $$M_{orb}(r, \mu) = \frac{e}{2\pi\hbar} \int d\varepsilon F(\varepsilon) \text{Re}\langle r | G [(\hat{v}G) \times (\hat{v}G)] | r \rangle$$
  Cette expression est évaluée pour trois géométries distinctes : les systèmes finis avec bords ouverts, les cristaux périodiques infinis (résolus par sous-réseau) et les géométries de rubans.

Contributions clés et résultats

1. Identification de la courbure de Berry locale :
   La théorie révèle une quantité auparavant non identifiée : une courbure de Berry locale, $\Omega_n(r)$ (pour les systèmes finis) ou $\Omega_{nk}(r_\alpha)$ (pour les sous-réseaux).

   • Dans les systèmes finis, la magnétisation locale se sépare en deux termes : un moment orbital projeté $m_n(r) = |\langle r|n\rangle|^2 m_n$ et un terme de courbure de Berry locale $F(\varepsilon_n)\Omega_n(r)$.
   • Physiquement, alors que le moment orbital décrit le décalage d'énergie induit par le champ magnétique (indépendant de la position), la courbure de Berry locale régit la redistribution induite par le champ du poids spectral électronique dans l'espace réel. Elle satisfait une règle de somme $\sum_r \Omega_n(r) = 0$, indiquant qu'elle redistribue le poids sans changer la normalisation totale de l'état.

2. Description unifiée à travers les géométries :
   Le formalisme fournit une description cohérente pour :

   • Systèmes finis : La magnétisation locale retrouve la magnétisation orbitale totale conventionnelle lors de la sommation sur tous les sites, car les contributions de la courbure de Berry locale s'annulent.
   • Cristaux périodiques : La théorie résout la magnétisation à l'échelle du sous-réseau. La courbure de Berry locale se décompose en la projection de la courbure de Berry de Bloch conventionnelle et une contribution purement géométrique, $\Omega_{nk}^{geom}(r_\alpha)$. Ce terme géométrique redistribue le poids spectral entre les sous-réseaux au sein d'une maille élémentaire et satisfait $\sum_\alpha \Omega_{nk}^{geom}(r_\alpha) = 0$.
   • Rubans : La même séparation entre moments orbitaux et courbure de Berry locale est maintenue, offrant un cadre unifié pour ces trois géométries.

3. Encodage topologique et quantification de la pente :
   Les auteurs démontrent que la pente de la magnétisation orbitale locale au sein d'un gap isolant est quantifiée et satisfait la relation de Středa $\partial_\mu M = \frac{e}{h}C$ même localement dans les géométries de rubans et de systèmes finis.

   • Cette pente est gouvernée par la courbure de Berry locale.
   • Dans les systèmes à deux bandes, la pente comprend une contribution topologique indépendante du sous-réseau (la moitié du nombre de Chern) et une contribution géométrique dépendante du sous-réseau issue de $\Omega_{nk}^{geom}$.
   • La contribution géométrique s'annule dans les systèmes à symétrie particule-trou, mais elle est significative dans les gaps triviaux, distinguant différents ordres magnétiques orbitaux (ferro-, antiferro- et ferrimagnétiques) au niveau du sous-réseau.

4. Comparaison avec l'approche Bianco-Resta :
   L'article contraste ses résultats avec le marqueur de Chern local de Bianco-Resta.

   • Efficacité de calcul : La nouvelle formulation passe à une échelle de $N^2$ contre $N^3$ pour Bianco-Resta.
   • Différence conceptuelle : L'approche de Bianco-Resta construit la magnétisation locale à partir de la magnétisation totale globale, ce qui introduit des ambiguïtés de jauge associées à la magnétisation de surface. La présente théorie dérive la réponse locale directement de la LDOS dépendante du champ, fournissant une définition unique et invariante par changement de jauge de la magnétisation locale.
   • Distinction physique : Les deux approches produisent des textures de sous-réseau très différentes. Crucialement, l'approche de Bianco-Resta ne parvient pas à rendre compte de la pente de la magnétisation dans le gap liée à la partie géométrique de la courbure de Berry locale, qui est prédominante dans les phases triviales.

5. Anatomie de la topologie de volume (bulk) :
   La théorie décompose la réponse topologique en contributions des états de bande et des états de gap.

   • Localement (dans le bulk) : La réponse topologique provient entièrement de la courbure de Berry locale des états de bande ; les états de gap ne contribuent pas à la réponse topologique locale du bulk.
   • Macroscopiquement : La pente quantifiée est récupérée par différents mécanismes microscopiques selon la géométrie. Dans les rubans, elle est portée par la courbure de Berry des états de bande. Dans les systèmes finis à bords ouverts, la contribution de la courbure de Berry s'annule lors de la sommation, et la pente quantifiée est récupérée via les moments orbitaux des états de gap.

Signification
L'article affirme établir la magnétisation orbitale locale comme une véritable observable microscopique, étendant la théorie moderne de la magnétisation orbitale d'une quantité moyennée par maille élémentaire à l'échelle atomique. En identifiant la courbure de Berry locale, ce travail fournit une description du bulk de la topologie dans les systèmes finis et révèle que les réponses topologiques peuvent être encodées localement dans le bulk indépendamment des états de bord. Le cadre résout les textures magnétiques orbitales aux échelles du site unique et du sous-réseau, offrant une perspective thermodynamique unifiée sur la manière dont des mécanismes microscopiques distincts (moments orbitaux vs redistribution de la courbure de Berry) coopèrent pour produire des réponses quantifiées macroscopiques. Cela ouvre la voie à l'étude des textures magnétiques orbitales dans des systèmes dépourvus de symétrie de translation, tels que les molécules, les matériaux amorphes, les quasicristaux et les structures de moiré.