Infinitesimal rigidity of Hermitian gravitational instantons

Énoncé du Problème
L'article traite des propriétés structurelles de l'espace de modules des instantons gravitationnels hermitiens, en se concentrant spécifiquement sur les métriques ALF (Asymptotically Locally Flat). Bien que les travaux récents de Biquard, Gauduchon et LeBrun aient établi la rigidité locale des instantons hermitiens (signifiant que l'espace de modules est localement bien comportementé), une question fondamentale demeurait concernant la rigidité infinitésimale et l'intégrabilité. Plus précisément, on ignorait si toute déformation de Einstein infinitésimale d'un instanton gravitationnel hermitien est tangente à une courbe au sein de l'espace de modules de tels instantons, ou si des « obstructions » existent pour empêcher l'intégration des déformations infinitésimales en déformations finies. Il s'agit d'un problème non trivial, car l'intégrabilité échoue pour les métriques d'Einstein générales (par exemple, le contre-exemple de Koiso). Les auteurs visent à prouver que pour les instantons gravitationnels ALF hermitiens et non-kählériens, la rigidité infinitésimale et l'intégrabilité sont vérifiées.

Méthodologie
La preuve repose sur une combinaison d'analyse géométrique, de théorie de la perturbation et d'identités spécifiques dérivées de la structure de courbure des variétés riemanniennes de dimension quatre.

1. Identité de Divergence : Les auteurs dérivent une nouvelle identité de divergence pour des variétés riemanniennes génériques possédant un tenseur de Weyl non auto-dual. Cette identité, inspirée par les idées de Wu et LeBrun, relie la divergence d'un champ de vecteurs spécifique construit à partir d'un vecteur propre du tenseur de Weyl auto-duel ($W^+$) à des termes impliquant la norme de la dérivée covariante du vecteur propre, les valeurs propres de $W^+$, et un terme impliquant le tenseur de Ricci sans trace.
2. Expansion Perturbative : Les auteurs considèrent une famille lisse d'une paramètre de métriques $\hat{g}_{ab}(s)$ passant par une métrique d'Einstein hermitienne non-kählérienne. Ils effectuent une expansion perturbative de l'identité de divergence dérivée jusqu'au second ordre ($s^2$).
3. Structure Kähler Conforme : Une étape critique consiste à démontrer que si la courbe de métriques satisfait la condition d'Einstein et des conditions aux limites spécifiques, la courbe est conforme à une structure kählérienne au second ordre de la perturbation. Cela utilise le fait que les instantons hermitiens sont conformes à des espaces kählériens extrémaux.
4. Conditions aux Limites (ALF) : L'analyse est restreinte aux métriques ALF. Les auteurs analysent avec soin le comportement asymptotique des termes de l'identité de divergence à l'infini. Ils démontrent que pour les instantons ALF, les termes de bord issus du théorème de la divergence s'annulent au second ordre de la perturbation.
5. Stabilité des Modes : La preuve s'appuie sur des travaux antérieurs des auteurs établissant la « stabilité des modes », qui ont montré que la partie auto-duelle du tenseur de Weyl linéarisé pour les déformations ALF génériques est algébriquement spéciale.

Contributions Principales et Résultats

• Théorème Principal (Théorème 1.1) : Les auteurs prouvent que tout instanton gravitationnel ALF hermitien et non-kählérien est intégrable et satisfait la rigidité infinitésimale. Cela signifie que toute déformation de Einstein infinitésimale d'une telle métrique est, à un changement de jauge près, une perturbation par rapport aux paramètres de module.
• Kählériété Conforme de Second Ordre : Un résultat intermédiaire pivot est la preuve qu'une courbe de métriques riemanniennes passant par une métrique d'Einstein hermitienne non-kählérienne est conforme à une structure kählérienne au second ordre de la perturbation, à condition que certaines conditions aux limites soient remplies.
• Achèvement du Tableau de la Rigidité : En combinant leur résultat avec le théorème de rigidité locale de Biquard, Gauduchon et LeBrun, l'article achève la description de l'espace de modules pour les instantons gravitationnels hermitiens dans les cas compacts et non-compacts (ALF). Il résout la question de savoir si l'intégrabilité est vérifiée pour cette classe spécifique de métriques d'Einstein.

Signification
L'article prétend trancher la question de la rigidité infinitésimale et de l'intégrabilité pour les instantons gravitationnels ALF hermitiens. Ce résultat est significatif car il confirme que l'espace de modules de ces instantons est non seulement localement rigide, mais aussi que l'espace des déformations infinitésimales est entièrement capturé par les paramètres de l'espace de modules lui-même, sans « obstructions cachées » à l'intégrabilité. Le travail étend la compréhension des instantons gravitationnels au-delà des exemples connus (tels que Taub-NUT et Chen-Teo), renforçant la classification structurelle des métriques d'Einstein hermitiennes en quatre dimensions. La dérivation de l'identité de divergence pour les variétés possédant des tenseurs de Weyl non auto-duels est présentée comme un outil technique d'intérêt indépendant, potentiellement applicable à d'autres problèmes impliquant la classification des métriques d'Einstein.