Heterogeneous Returns and Wealth Tax Neutrality: A Fokker--Planck Framework

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à une question fondamentale en économie publique et en finance : la neutralité d'une taxe sur la richesse (taxe sur le stock) par rapport à une taxe sur le revenu du capital (taxe sur le flux).

• Le cadre homogène (référence) : Dans les modèles précédents (notamment Frøseth, 2026a,f), il est démontré que si tous les investisseurs font face au même processus de rendement (homogénéité), une taxe proportionnelle sur la richesse agit comme un simple décalage uniforme du coefficient de dérive (drift) dans l'équation de Langevin du log-patrimoine. Cette symétrie de décalage préserve la forme de la distribution du patrimoine et les allocations de portefeuille optimales. La taxe est alors neutre et non redistributive via le canal de marché.
• Le problème de l'hétérogénéité : L'hypothèse d'homogénéité est souvent rejetée empiriquement, en particulier dans les marchés privés (capital-risque, entreprises non cotées), où des études (Fagereng et al., 2020 ; Guvenen et al., 2023) montrent une persistance significative des rendements individuels liés à l'« habileté » (ability).
• La question centrale : Que devient la neutralité de la taxe sur la richesse lorsque les investisseurs possèdent des capacités de génération de rendements hétérogènes et persistantes ? La taxe sur la richesse préserve-t-elle toujours la distribution du patrimoine ou modifie-t-elle la structure de l'inégalité ?

2. Méthodologie : Le Cadre Fokker–Planck Étendu

L'auteur étend le cadre mathématique de Frøseth (2026f) en introduisant une variable d'état supplémentaire pour modéliser l'hétérogénéité.

• Variables d'état : Le système est décrit par le couple $(x, z)$, où :
  • $x = \ln(W)$ est le log-patrimoine.
  • $z$ est un paramètre d'habileté (ability) individuel, persistant et spécifique.
• Dynamique stochastique :
  • Le rendement attendu $\mu$ et la volatilité $\sigma$ dépendent de l'habileté $z$.
  • L'habileté $z$ elle-même suit un processus d'Ornstein-Uhlenbeck (moyenne de réversion vers une moyenne populationnelle $\bar{z}$ avec une vitesse $\gamma$ et un bruit $\eta$).
• Équation de Fokker–Planck Jointe : L'évolution de la densité de probabilité conjointe $f(x, z, t)$ est régie par une équation de Fokker–Planck bidimensionnelle. Cette équation intègre :
  • La dérive et la diffusion dépendantes de $z$ pour le patrimoine.
  • La dynamique de réversion de la moyenne pour l'habileté.
• Introduction de la taxe : Une taxe sur la richesse $\tau_w$ est modélisée comme une réduction uniforme de la dérive : $v(z) \to v(z) - \tau_w$.

3. Contributions Théoriques et Résultats Clés

L'analyse principale repose sur la décomposition de la dynamique marginale du patrimoine et la rupture de la symétrie de décalage.

A. Rupture de la Symétrie de Décalage (Drift-Shift Symmetry)

Dans le cas homogène, le décalage de la dérive préserve la forme de la distribution. Dans le cas hétérogène :

• Corrélation Endogène : Les investisseurs à haute habileté ($z$ élevé) accumulent plus vite, créant une corrélation positive entre le patrimoine ($x$) et l'habileté ($z$) au fil du temps (Proposition 2).
• Dérive Marginale Dépendante de l'État : La dérive effective de la densité marginale du patrimoine $\pi(x, t)$ devient $\langle v(z) \rangle_x - \tau_w$, où $\langle v(z) \rangle_x$ est l'espérance conditionnelle de l'habileté étant donné le niveau de richesse.
• Proposition 1 : La neutralité (préservation de la forme de la distribution) n'est maintenue que si l'habileté et la richesse sont statistiquement indépendantes. Comme cette indépendance est brisée par la dynamique d'accumulation, la symétrie est rompue économiquement.

B. Mécanisme de Redistribution « Use-it-or-Lose-it »

Contrairement à l'intuition selon laquelle la taxe sur la richesse « punirait les habiles » :

• Charge Réelle Différentielle : La taxe sur la richesse impose une charge relative plus lourde aux investisseurs à faible rendement (faible $z$) qu'aux investisseurs à fort rendement. Pour un faible $z$, la dérive nette peut devenir négative, tandis qu'elle reste positive pour les $z$ élevés.
• Migration du Capital : Le capital migre des investisseurs à faible capacité vers les investisseurs à haute capacité. La taxe sur la richesse accélère la concentration du patrimoine vers les plus habiles, contrairement à la taxe sur le revenu qui compresse les écarts de dérive (Proposition 3).
• Exposant de Pareto : L'exposant de Pareto de la queue supérieure de la distribution diminue sous l'effet de la taxe, indiquant une distribution plus inégale (queue plus épaisse).

C. Comparaison Taxe sur Flux vs Taxe sur Stock

L'article compare formellement les deux régimes fiscaux dans un cadre hétérogène :

• Taxe sur le flux (Revenu) : Réduit la différence de dérive entre les types de $z$ par un facteur $\lambda < 1$. Elle compresse la divergence de richesse induite par l'habileté.
• Taxe sur le stock (Richesse) : Décale uniformément toutes les dérives sans affecter leur différence relative. Elle préserve l'écart de croissance entre les types.
• Conclusion : Un changement de régime fiscal (réduction de la taxe sur le revenu, augmentation de la taxe sur la richesse pour maintenir les recettes) élargit l'écart de dérive, favorisant la redistribution vers les agents à haute capacité.

4. Implications pour les Prix d'Actifs et les Portefeuilles

• Changement des Investisseurs Marginaux : Sous l'effet de la taxe sur la richesse, les investisseurs à faible capacité sont contraints de vendre des actifs risqués, tandis que les investisseurs à haute capacité absorbent ces parts. L'identité de l'investisseur marginal change, modifiant les primes de risque d'équilibre.
• Rupture de l'Invariance du Portefeuille : L'invariance des poids de portefeuille (résultat clé des modèles homogènes) ne tient plus à l'échelle agrégée. Bien que chaque type d'investisseur maintienne sa structure de portefeuille, la composition pondérée par la richesse de l'économie entière se déplace vers les expositions des investisseurs les plus habiles.

5. Signification et Implications Politiques

L'article apporte une nuance critique au débat sur l'efficacité de la taxe sur la richesse :

1. Réinterprétation de l'argument « Punir l'habileté » : L'auteur démontre que la taxe sur la richesse ne compresse pas les écarts de rendement liés à l'habileté ; c'est la taxe sur le revenu qui le fait. La taxe sur la richesse préserve l'incitation à l'habileté productive.
2. Le Dilemme de l'Inefficacité de Marché : Le paramètre d'habileté $z$ est un mélange de :
   • Compétence productive réelle (Alpha).
   • Avantages structurels (frictions de marché, rentes de monopole, effets de réseau).
   • La taxe sur la richesse préserve les deux. Si la persistance des rendements est due à des rentes structurelles (ex: plateformes dominantes), la taxe sur la richesse renforce la concentration et l'inefficacité du marché en transférant le capital vers les détenteurs de ces rentes.
3. Conception de la Politique Fiscale :
   • Dans les secteurs où l'habileté productive domine (ex: entrepreneuriat traditionnel), la taxe sur la richesse est préférable car elle accélère l'allocation efficiente du capital.
   • Dans les secteurs dominés par des rentes structurelles ou des effets de réseau, la taxe sur le revenu (qui compresse les écarts) pourrait être préférable pour contrer la concentration excessive.
   • Une taxe uniforme sur la richesse peut donc avoir des effets de bien-être ambivalents selon la composition des actifs dans l'économie.

6. Conclusion

Ce papier établit un lien rigoureux entre la dynamique stochastique des inégalités (Fokker–Planck) et la théorie de la taxation optimale. Il démontre que la neutralité de la taxe sur la richesse est une propriété fragile qui dépend de l'indépendance statistique entre la richesse et l'habileté. Dans un monde réel où l'habileté est persistante et corrélée à la richesse, la taxe sur la richesse agit comme un mécanisme de redistribution vers les plus habiles, amplifiant l'inégalité de la queue supérieure tout en potentiellement améliorant l'efficacité allocative, à condition que cette habileté ne soit pas simplement le reflet de rentes de monopole structurelles.