Stronger core results with multidimensional prices

1. Problématique et Contexte

L'article aborde le problème des appariements unilatéraux avec dotation (one-sided matchings with endowments) dans un cadre sans monnaie. Ce problème est fondamental en économie, avec des applications allant de l'allocation de cours à la sélection scolaire.

• Le cadre : $n$ agents possèdent des préférences sur $n$ biens indivisibles. Chaque agent $i$ possède une dotation initiale $\omega_i$ de biens.
• L'objectif : Assigner au plus un bien (ou un loterie sur les biens) à chaque agent de manière efficace et équitable.
• Le défi : Lorsque les agents possèdent des fonctions d'utilité de von Neumann-Morgenstern (vNM), il est bien établi (depuis [HZ79]) qu'un équilibre concurrentiel (Competitive Equilibrium) peut ne pas exister, et que le cœur fort (Strong Core) peut être vide. Cela est principalement dû à la saturation (satiability) : les agents satisfaits peuvent souhaiter échanger leur surplus contre des biens moins chers, créant des coalitions bloquantes.
• Limites des solutions existantes :
  • Les équilibres de dividendes (Dividend Equilibria) permettent une redistribution du surplus mais ne garantissent pas toujours l'existence.
  • Les équilibres quasi-concurrentiels (Quasi-equilibria) existent mais sont souvent considérés comme des solutions faibles (les agents sans revenu ne reçoivent que des biens gratuits).
  • Le cœur faible est non vide mais peut contenir des allocations inefficaces.

2. Méthodologie : L'Équilibre de Dividende Lexicographique (LDE)

Les auteurs proposent une généralisation des équilibres concurrentiels en introduisant des prix multidimensionnels et une structure lexicographique.

Concept Clé : Prix Lexicographiques

Au lieu d'un vecteur de prix unique $p \in \mathbb{R}^n$, chaque bien $j$ est associé à un vecteur de prix $p_j \in \mathbb{R}^d$ (où $d$ est le nombre de "devises" ou dimensions).

• Ordre lexicographique ($\le_{lex}$) : Une dimension est infiniment plus précieuse que la suivante. Si un bien a un prix positif dans la première dimension, il est inabordable pour un agent sans revenu dans cette dimension, même s'il est "gratuit" dans les dimensions suivantes.
• Structure de l'équilibre (LDE) : Un LDE est défini par un triplet $(x, P, \alpha)$ :
  1. Allocation ($x$) : Une matrice d'assignation.
  2. Matrice de prix ($P \in \mathbb{R}^{d \times n}$) : Chaque colonne $p_j$ est le vecteur de prix du bien $j$. Le premier élément non nul doit être positif.
  3. Matrice de redistribution ($\alpha \in \mathbb{R}^{d \times n}_+$) : Représente le surplus redistribué à chaque agent.

Contraintes Budgétaires

Le budget d'un agent $i$ avec dotation $\omega_i$ et redistribution $\alpha_i$ est l'ensemble clos des lots $x$ tels que :
$$P x \le_{lex} P \omega_i + \alpha_i$$
Cela signifie que l'agent maximise son utilité sous cette contrainte lexicographique. Si un agent a un revenu positif dans la première devise, les biens avec un prix nul dans cette devise (mais positif dans la suivante) sont considérés comme gratuits pour lui.

Propriétés de "Chereté" (Cheapest Bundle Properties)

Pour garantir l'efficacité (premier théorème du bien-être) et la stabilité, les auteurs définissent trois propriétés :

1. Propriété forte de panier le moins cher : Aucun panier faiblement préféré ne coûte strictement moins cher lexicographiquement.
2. Propriété faible : Aucun panier faiblement préféré ne coûte strictement moins cher dans la devise la plus précieuse que l'agent possède.
3. Propriété agrégée : Aucun groupe d'agents ne peut redistribuer leurs biens collectifs pour obtenir un panier faiblement préféré en dépensant strictement moins (lexicographiquement).

3. Résultats Principaux

Résultat 1 : Existence et Stabilité (Théorèmes 3.3 et 4.3)

• Existence : Pour tout marché d'appariement unilatéral avec dotation, un Équilibre de Dividende Lexicographique (LDE) satisfaisant la propriété forte de panier le moins cher existe toujours.
• Stabilité : Tout LDE appartient au cœur rejetif (Rejective Core).
  • Définition du Cœur Rejetif : Une allocation est dans le cœur rejetif si aucune coalition ne peut redistribuer les dotations initiales de certains membres et les allocations d'autres membres pour améliorer strictement certains membres tout en ne dégradant pas les autres (avec une condition de blocage spécifique).
  • Le cœur rejetif est strictement plus fort que le cœur faible : il implique l'optimalité Pareto ex-ante, l'individual rationalité et la stabilité au sens de [RP77].

Résultat 2 : Convergence du Cœur (Théorème 4.2)

• Convergence : À mesure que l'économie est répliquée (modèle de [DS63]), l'intersection des cœurs rejetifs sur toutes les économies répliquées coïncide exactement avec l'ensemble des LDEs satisfaisant la propriété forte.
• Signification : Les LDEs sont les seules issues de marché viables dans un grand marché : elles ne peuvent pas être rejetées par aucune coalition, même dans des économies infiniment grandes. Cela établit les LDEs comme le concept de solution naturel pour ce type d'économie, remplaçant l'équilibre concurrentiel classique qui n'existe pas toujours.

4. Preuve et Intuition

La preuve repose sur une approche limite :

1. Perturbation de l'économie : Les auteurs considèrent une séquence d'économies $(u, \omega_\varepsilon)$ où une fraction $\varepsilon$ de chaque bien est redistribuée pour garantir l'existence d'un équilibre concurrentiel standard (1-dimensionnel).
2. Analyse asymptotique : En faisant tendre $\varepsilon \to 0$, les prix de l'équilibre concurrentiel convergent vers des taux de convergence différents.
3. Décomposition lexicographique : Les auteurs décomposent les vecteurs de prix $\varepsilon$ en leurs composantes principales. Les ordres de grandeur distincts des prix (par exemple, $\Theta(1)$ vs $O(\varepsilon)$) deviennent les différentes dimensions (devises) de la matrice de prix $P$ de l'LDE.
4. Récurrence et Séparation : Pour la convergence du cœur, la preuve utilise un argument de séparation par hyperplans (théorème de Hahn-Banach) pour isoler les échanges préférés du cône négatif, en traitant itérativement les biens qui n'ont pas encore reçu de prix positifs.

5. Signification et Contributions

• Résolution de l'impossibilité : L'article résout le problème de non-existence de l'équilibre concurrentiel dans les économies avec saturation, sans sacrifier les propriétés désirables (efficacité, rationalité individuelle, stabilité).
• Nouveau concept de stabilité : L'introduction du cœur rejetif comme cadre de référence pour la stabilité dans les économies avec saturation est une avancée théorique majeure.
• Généralité : Contrairement aux travaux précédents qui nécessitaient des hypothèses restrictives (comme la non-saturation ou des dotations strictement positives), ce résultat s'applique à des marchés généraux avec des préférences linéaires et des dotations nulles possibles.
• Limites et Questions ouvertes :
  • Les auteurs se demandent si deux devises ($d=2$) suffisent toujours pour équilibrer le marché (un exemple à 3 devises est donné, mais une solution à 2 devises semble possible).
  • L'extension à des préférences non linéaires (convexes mais non linéaires) reste un défi, car la preuve de la propriété forte de panier le moins cher repose sur la linéarité des préférences.

Conclusion

Cet article propose une solution robuste et mathématiquement élégante au problème de l'allocation de biens indivisibles avec dotations et saturation. En généralisant la notion de prix à un espace multidimensionnel ordonné lexicographiquement, les auteurs démontrent l'existence d'équilibres qui résident dans un cœur de stabilité renforcé (le cœur rejetif) et qui émergent comme la limite naturelle des allocations stables dans les grandes économies. Ce travail redéfinit les fondements de la théorie de l'équilibre pour les marchés sans monnaie avec dotation.