English translation of Frobenius' and Stickelberger's "On the theory of elliptic functions"

Titre de l'article

Sur la théorie des fonctions elliptiques (Zur Theorie der elliptischen Functionen)
Auteurs : Ferdinand Georg Frobenius et Ludwig Stickelberger
Date : 10 mars 1877
Publication : Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), Vol. 83, pp. 175–179.

1. Problème et Contexte

L'article vise à établir et à unifier plusieurs formules fondamentales de la théorie des fonctions elliptiques, en particulier celles liées aux fonctions de Weierstrass ($\wp(u)$ et $\sigma(u)$).

Le point de départ est une formule remarquable communiquée par Charles Hermite dans une note précédente (Vol. 82, p. 343). Frobenius et Stickelberger cherchent à :

1. Déduire la formule d'Hermite à partir d'une équation générale.
2. Montrer comment cette formule conduit à la formule plus spécialisée utilisée par Ludwig Kiepert pour résoudre le problème de la multiplication des fonctions elliptiques.
3. Fournir une démonstration rigoureuse et unifiée de ces relations en utilisant un processus de limite (limiting process) appliqué aux déterminants.

2. Méthodologie

La méthode centrale développée par les auteurs repose sur l'analyse des déterminants de fonctions convergentes et l'application d'un procédé de limite vers zéro pour faire apparaître des dérivées.

A. Le processus de limite général pour les déterminants

Les auteurs considèrent $n+1$ séries convergentes $f_0(u), \dots, f_n(u)$ et un déterminant de degré $(n+1)$ noté $F(u_0, \dots, u_n) = |f_\alpha(u_\beta)|$.

• En raison de la propriété antisymétrique du déterminant, il peut être factorisé sous la forme $F = G \cdot \prod (u_\alpha - u_\beta)$, où $G$ est une fonction symétrique.
• En posant $u_\beta = u + \beta h$ et en faisant tendre $h \to 0$, ils établissent une relation fondamentale reliant le quotient du déterminant par le produit des différences à un déterminant de dérivées :
  $$\lim_{h \to 0} \frac{F(u_0, \dots, u_n)}{\prod (u_\alpha - u_\beta)} = \frac{1}{\prod (\alpha - \beta)} \det(f_\alpha^{(\beta)}(u))$$
  Cette relation (Équation 1) permet de passer d'un déterminant de valeurs de fonctions à un déterminant de leurs dérivées successives.

B. Application aux fonctions elliptiques

Les auteurs appliquent cette méthode à un déterminant spécifique $R$ impliquant la fonction $\psi(u) = \frac{d}{du} \log \sigma(u)$ (la dérivée logarithmique de la fonction $\sigma$ de Weierstrass).

• Analyse des pôles et des zéros : Ils étudient le comportement de $R$ en tant que fonction elliptique (doubly periodic) par rapport à ses arguments. En utilisant le théorème d'Abel et les propriétés des fonctions elliptiques (nombre de zéros égal au nombre de pôles, somme des arguments congruente), ils déterminent la structure factorielle de $R$.
• Identification de la forme fermée : Ils montrent que $R$ est proportionnel à un produit de fonctions $\sigma$ combinant les sommes et différences des arguments.

3. Résultats Principaux

L'article aboutit à trois formules déterminantes majeures :

Résultat 1 : Identité déterminantale générale (Équation 2)

En analysant le déterminant $R$ avec les arguments $u_i$ et $v_i$, ils démontrent l'identité suivante (à une constante près) :
$$-\det \begin{pmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & \psi(u_0+v_0) & \dots & \psi(u_0+v_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \psi(u_n+v_0) & \dots & \psi(u_n+v_n) \end{pmatrix} = \frac{\sigma(\sum u_i + \sum v_i) \prod_{\alpha>\beta} \sigma(u_\alpha - u_\beta) \prod_{\alpha>\beta} \sigma(v_\alpha - v_\beta)}{\prod_{\alpha, \beta} \sigma(u_\alpha + v_\beta)}$$
Cette formule est vérifiée par récurrence et par analyse des limites lorsque $u_n = -v_n$.

Résultat 2 : La formule d'Hermite (Équation 3)

En appliquant le processus de limite ($h \to 0$) à l'Équation 2, en posant $v_\beta = \beta h$, le déterminant se transforme en un déterminant impliquant les dérivées de $\psi$. En utilisant la relation $\psi'(u) = -\wp(u)$, ils obtiennent :
$$\det \begin{pmatrix} 1 & \wp(u_0) & \wp'(u_0) & \dots & \wp^{(n-1)}(u_0) \\ 1 & \wp(u_1) & \wp'(u_1) & \dots & \wp^{(n-1)}(u_1) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \wp(u_n) & \wp'(u_n) & \dots & \wp^{(n-1)}(u_n) \end{pmatrix} = (-1)^n \left(\prod_{\alpha>\beta}(\alpha-\beta)\right) \frac{\sigma(\sum u_i) \prod_{\alpha>\beta}\sigma(u_\alpha - u_\beta)}{(\prod \sigma(u_i))^{n+1}}$$
C'est la formule générale communiquée par Hermite, exprimée ici sous une forme déterminantale explicite.

Résultat 3 : La formule de Kiepert (Équation 4)

En appliquant une seconde fois le processus de limite à l'Équation 1, en choisissant spécifiquement $f_0(u)=1, f_1(u)=\wp(u), \dots, f_n(u)=\wp^{(n-1)}(u)$, le déterminant se réduit à un déterminant de degré $n$ contenant uniquement les dérivées de $\wp$. Cela conduit à la formule utilisée par Kiepert pour la multiplication des fonctions elliptiques :
$$\det \begin{pmatrix} \wp'(u) & \wp''(u) & \dots & \wp^{(n)}(u) \\ \wp''(u) & \wp'''(u) & \dots & \wp^{(n+1)}(u) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \wp^{(n)}(u) & \wp^{(n+1)}(u) & \dots & \wp^{(2n-1)}(u) \end{pmatrix} = (-1)^n \left(\prod_{\alpha>\beta}(\alpha-\beta)\right)^2 \frac{\sigma((n+1)u)}{\sigma(u)^{(n+1)^2}}$$

4. Contributions Clés et Signification

1. Unification théorique : L'article démontre que les formules d'Hermite et de Kiepert ne sont pas des résultats isolés, mais des cas particuliers d'une structure déterminantale plus générale, unifiée par un processus de limite systématique.
2. Méthode des déterminants : Frobenius et Stickelberger renforcent l'utilisation des déterminants comme outil puissant pour manipuler les relations entre les fonctions elliptiques, en particulier les fonctions $\sigma$ et $\wp$.
3. Rigueur analytique : La démonstration de la constante de proportionnalité dans l'Équation 2 par récurrence et par analyse des limites (comportement aux pôles) apporte une rigueur nouvelle à ces identités.
4. Impact sur la multiplication : La dérivation de la formule de Kiepert (Équation 4) fournit une base algébrique solide pour la résolution du problème de la multiplication des arguments dans les fonctions elliptiques, un problème central de la théorie à cette époque.

En résumé, ce court mais dense article de 1877 constitue une pierre angulaire dans la formalisation algébrique des propriétés des fonctions elliptiques de Weierstrass, reliant l'analyse complexe (pôles, zéros, périodicité) à l'algèbre linéaire (déterminants de Wronski généralisés).