Sharp local sparsity of regularized optimal transport

1. Contexte et Problématique

L'article s'intéresse au problème du transport optimal régularisé (ROT) avec des entropies de type $L^p$ (pour $p \in (1, 2]$), une alternative populaire au transport optimal entropique classique (EOT, basé sur l'entropie de Kullback-Leibler, correspondant à $p \to 1$).

• Le problème : Soient $\lambda$ et $\mu$ deux mesures de probabilité. Le plan de transport optimal régularisé $\pi_\varepsilon$ est défini comme le minimiseur de :
  $$\text{ROT}_{\varepsilon, p} := \inf_{\pi \in \Pi(\lambda, \mu)} \left( \int \frac{1}{2}\|x - y\|^2 d\pi + \varepsilon \int h_p\left(\frac{d\pi}{d(\lambda \otimes \mu)}\right) d(\lambda \otimes \mu) \right)$$
  où $h_p(z) = \frac{|z|^{p-1}}{p-1}$.
• La différence clé avec l'EOT : Contrairement au plan EOT qui a un support maximal (densité strictement positive partout), les plans ROT ont un support creux (sparse). La densité $\rho_\varepsilon(x, y)$ s'annule en dehors d'une région spécifique autour du transport optimal non régularisé.
• Question ouverte : Alors qu'il est connu que le support de $\pi_\varepsilon$ converge vers celui du transport optimal non régularisé $\pi_0$ lorsque $\varepsilon \to 0$, la vitesse de convergence de cette contraction de support n'était pas établie de manière précise, en particulier dans le cas multivarié et hors du cas de transport auto (self-transport).

2. Méthodologie et Hypothèses

Les auteurs travaillent sous des hypothèses de régularité standard mais fortes :

• Les mesures $\lambda$ et $\mu$ ont des supports compacts $\Omega_0$ et $\Omega_1$ et des densités $C^{0,\alpha}$ bornées et strictement positives.
• Le transport optimal non régularisé $T = \nabla \phi$ est un difféomorphisme $C^{1,\alpha}$ bi-Lipschitz.
• Les résultats sont établis localement à l'intérieur du support ($x \in \text{int}(\Omega_0)$), loin des bords.

Outils mathématiques principaux :

1. Dualité forte : Utilisation du problème dual (D-ROT) pour caractériser les potentiels $(f_\varepsilon, g_\varepsilon)$ et la densité $\rho_\varepsilon$.
2. Fonctions convexes : Transformation des potentiels duaux en fonctions convexes $\varphi_\varepsilon = \|\cdot\|^2/2 - f_\varepsilon$ et $\psi_\varepsilon = \|\cdot\|^2/2 - g_\varepsilon$.
3. Régularité intérieure : Utilisation de résultats préexistants ([GK26]) établissant que les Hessiens $\nabla^2 \varphi_\varepsilon$ sont uniformément bornés dans $L^\infty_{loc}$.
4. Analyse géométrique : Étude fine des sections du support $S_x = \{y : \rho_\varepsilon(x, y) > 0\}$ et $T_y = \{x : \rho_\varepsilon(x, y) > 0\}$, en exploitant la concavité de la fonction $\xi(x, y) = \langle x, y \rangle - \varphi_\varepsilon(x) - \psi_\varepsilon(y)$ sur ces sections.
5. Théorème de transport de Reynolds : Pour calculer les dérivées secondes des potentiels lorsque le domaine d'intégration ($S_x$) dépend de $x$.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

L'article apporte trois contributions majeures :

A. Sparsité Locale Précise (Théorème 3.1)

C'est le résultat central. Les auteurs caractérisent la géométrie du support conditionnel $S_x$ pour $x$ dans le domaine intérieur.

• Résultat : Le support $S_x$ se comporte comme une boule de rayon proportionnel à $\varepsilon^{\frac{1}{d(p-1)+2}}$.
• Formulation : Il existe une constante $R_0$ telle que pour tout $x$ dans un compact intérieur $K_0$ :
  $$B\left(\nabla \varphi_\varepsilon(x), \frac{1}{R_0}\varepsilon^{\frac{1}{d(p-1)+2}}\right) \subset S_x \subset B\left(\nabla \varphi_\varepsilon(x), R_0\varepsilon^{\frac{1}{d(p-1)+2}}\right)$$
• Signification : Cela généralise les résultats antérieurs (univariés ou cas auto-transport) au cas multivarié général. Le taux de contraction dépend explicitement de la dimension $d$ et de l'exposant de régularisation $p$.

B. Convexité Forte Uniforme (Corollaire 3.2)

Les auteurs prouvent que les potentiels convexes $\varphi_\varepsilon$ deviennent uniformément fortement convexes à l'intérieur du domaine lorsque $\varepsilon \to 0$.

• Résultat : Pour tout compact $K_0 \subset \subset \Omega_0$, il existe $C > 0$ tel que pour tout $\varepsilon$ assez petit :
  $$\inf_{\|h\|=1} \langle \nabla^2 \varphi_\varepsilon(x) h, h \rangle \geq \frac{1}{C}$$
• Implication : Cela garantit la stabilité numérique et la régularité des solutions, même lorsque le support devient très petit.

C. Vitesse de Convergence des Applications de Transport (Corollaire 3.3)

En combinant la sparsité du support et la convexité forte, les auteurs déduisent le taux de convergence du gradient du potentiel régularisé $\nabla \varphi_\varepsilon$ vers l'application de transport optimale $\nabla \phi$.

• Résultat :
  $$\|\nabla \varphi_\varepsilon - \nabla \phi\|_{L^2(K_0)} \leq C \varepsilon^{\frac{1}{d(p-1)+2}}$$
• Ce taux est optimal (sharp), comme le démontrent les auteurs via un exemple explicite.

4. Exemple Explicite et Optimalité (Section 6)

Pour prouver que le taux de convergence $\varepsilon^{\frac{1}{d(p-1)+2}}$ ne peut pas être amélioré, les auteurs résolvent explicitement le problème de transport auto (self-transport) sur le tore plat $\mathbb{T}^d$ avec la mesure de Lebesgue.

• Dans ce cas symétrique, le potentiel dual est constant.
• Le calcul explicite montre que le rayon du support $S_x$ est exactement proportionnel à $\sqrt{C_\varepsilon}$, où $C_\varepsilon \approx \varepsilon^{\frac{2}{d(p-1)+2}}$.
• Cela confirme que le rayon du support est bien de l'ordre de $\varepsilon^{\frac{1}{d(p-1)+2}}$, validant la précision ("sharpness") de leurs bornes théoriques.

5. Importance et Impact

• Théorique : Ce travail comble un vide important en théorie du transport optimal en fournissant des estimations précises de la géométrie du support pour les régularisations $L^p$ en dimension supérieure. Il établit un lien rigoureux entre la régularité du paramètre $\varepsilon$, la dimension $d$ et l'exposant $p$.
• Algorithmique et Numérique : La compréhension de la structure creuse (sparse) du support est cruciale pour le développement d'algorithmes efficaces. Puisque le support est de taille $O(\varepsilon^{\frac{d}{d(p-1)+2}})$, cela suggère que des méthodes exploitant cette localité peuvent éviter la malédiction de la dimensionnalité, un avantage déjà observé empiriquement mais maintenant justifié théoriquement.
• Généralisation : Les résultats étendent les travaux antérieurs de González-Sanz & Nutz et de Wiesel & Xu, qui étaient limités au cas univarié ou au transport auto, à des cas multivariés généraux avec des marginales distinctes.

En résumé, cet article fournit une caractérisation géométrique fine et des taux de convergence optimaux pour le transport optimal régularisé $L^p$, démontrant que la "creusité" du support est un phénomène contrôlé par une loi de puissance précise dépendant de la dimension et de l'exposant de régularisation.