High Dimensional Bootstrap and Asymptotic Expansion for the $k$-th Largest Coordinate

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de l'inférence statistique en grande dimension, où la dimension $d$ des vecteurs aléatoires peut être beaucoup plus grande que la taille de l'échantillon $n$.

• Contexte existant : La théorie de l'approximation gaussienne et du bootstrap pour le maximum de sommes de vecteurs aléatoires (le premier ordre statistique, $k=1$) est bien établie (travaux de Chernozhukov et al., Koike, etc.). Des développements récents (Koike, 2026) ont permis d'obtenir des expansions d'Edgeworth et de Cornish-Fisher de second ordre pour les maxima, améliorant ainsi la précision des intervalles de confiance et des valeurs critiques.
• Le problème : La littérature concernant les statistiques d'ordre $k$-ième ($k > 1$), c'est-à-dire la $k$-ième plus grande coordonnée d'une somme normalisée, est beaucoup plus pauvre. Les résultats existants se limitent généralement à des approximations de premier ordre (bornes de Kolmogorov).
• La difficulté technique : L'événement $\{T_{n,[k]} \le t\}$ (où $T_{n,[k]}$ est la $k$-ième plus grande coordonnée) ne correspond pas à un rectangle dans $\mathbb{R}^d$, contrairement au cas du maximum. Sa structure locale est régie par des comptages de dépassements (exceedance counts) plutôt que par une seule frontière. Cela empêche l'application directe des théories de second ordre développées pour les maxima.

Objectif de l'article : Combler ce vide en établissant une théorie d'expansion de second ordre pour l'inférence bootstrap sur la $k$-ième plus grande coordonnée, permettant d'atteindre une précision de l'erreur de couverture de l'ordre de $n^{-1}$ (à des facteurs logarithmiques près).

2. Méthodologie

L'auteur développe une approche novatrice combinant des outils combinatoires et des expansions locales de densité.

A. Représentation par comptage de dépassements

L'article exploite l'identité exacte reliant la statistique d'ordre au nombre de coordonnées dépassant un seuil $t$ :
$$T_{n,[k]} \le t \iff N_n(t) \le k-1$$
où $N_n(t) = \sum_{j=1}^d \mathbb{1}\{S_{n,j} > t\}$ est le nombre de dépassements.

B. Inclusion-Exclusion Pondérée et Moments Factoriels

Pour traiter la distribution de $N_n(t)$, l'auteur utilise une identité d'inclusion-exclusion finie (Lemme A.1) qui exprime la probabilité $\{N_n(t) \ge k\}$ comme une somme pondérée de moments factoriels de $N_n(t)$.
$$\mathbb{P}(N_n(t) \ge k) = \sum_{s=k}^{k_0} (-1)^{s-k} \binom{s-1}{k-1} \mathbb{E}\left[\binom{N_n(t)}{s}\right] + \text{reste}$$
Cette transformation réduit le problème complexe de la statistique d'ordre à une collection de probabilités d'orthants rares (probabilités que $s$ coordonnées spécifiques dépassent simultanément $t$).

C. Expansion d'Edgeworth Projectée

Pour chaque sous-ensemble de coordonnées de taille $s$ (où $s$ est petit, typiquement $s \le k_0 \approx A \log n$), l'auteur applique une expansion d'Edgeworth locale sur la densité projetée.

• Il utilise l'identité de Stein pour contourner les conditions de régularité de Cramér difficiles à vérifier en grande dimension.
• Il combine cela avec des inégalités de lissage et des bornes de concentration pour les vecteurs gaussiens.
• Cela permet de transférer les expansions de second ordre (Edgeworth et Cornish-Fisher) connues pour les maxima vers le cadre des statistiques d'ordre $k$.

D. Bootstrap Sauvage (Wild Bootstrap) et Double Bootstrap

L'étude porte sur deux méthodes de bootstrap :

1. Bootstrap sauvage simple : Utilisation de multiplicateurs $w_i$. L'article montre que si le multiplicateur correspond au troisième moment (c'est-à-dire $\mathbb{E}[w^3]=1$), l'erreur de couverture est de second ordre.
2. Double Bootstrap pré-pivoté (Prepivoted) : Une méthode itérative qui élimine le biais de premier ordre même sans correspondance exacte du troisième moment, atteignant également une précision de second ordre.

3. Résultats Principaux

A. Expansion de l'erreur de couverture (Théorème 2.1)

Sous des hypothèses de moments, de variance et de dépendance faible (condition de corrélation maximale $\rho_d \log d \to 0$), l'article établit le développement asymptotique suivant pour la probabilité de couverture du bootstrap sauvage :
$$\mathbb{P}(T_{n,[k]} \ge \hat{c}_{1-\alpha, k}) = \alpha - (1-\gamma)Q_{n,k}(c^G_{1-\alpha, k}) - \mathbb{E}\{R_{n,k}(\alpha)\} + O(\varepsilon_n^2)$$
où :

• $\gamma = \mathbb{E}[w^3]$ est le troisième moment du multiplicateur.
• $Q_{n,k}$ est un terme déterministe linéaire lié à la structure de dépendance.
• $R_{n,k}$ est une correction quadratique de type Cornish-Fisher.
• $\varepsilon_n$ est un terme d'erreur de l'ordre de $\sqrt{\frac{\log^3(dn)}{n}}$.

Corollaire clé : Si l'on choisit un multiplicateur tel que $\gamma = 1$ (correspondance du troisième moment), le terme d'erreur de premier ordre $(1-\gamma)Q_{n,k}$ disparaît. L'erreur de couverture devient alors de l'ordre de $O(\varepsilon_n^2)$, soit essentiellement $O(n^{-1})$ à des facteurs logarithmiques près.

B. Bootstrap Double (Théorème 2.2)

L'article démontre que le double bootstrap pré-pivoté atteint également une précision de second ordre ($O(\varepsilon_n^2)$) sans nécessiter la correspondance du troisième moment, en éliminant le biais de premier ordre par une étape de pré-pivotage.

C. Alternative de Mélange Exponentiel (Théorème 2.3)

Pour les données dépendantes, l'hypothèse de corrélation maximale peut être remplacée par une hypothèse de mélange fort exponentiel sur un champ gaussien stationnaire.

• Cela permet de gérer des grappes locales de coordonnées fortement corrélées.
• Le prix à payer est un reste explicite $r_d$ qui capture l'effet du regroupement local des dépassements.
• Si la dimension $d$ croît suffisamment vite par rapport à $n$ (ex: $d \ge n^c$), ce reste $r_d$ est également de l'ordre de $O(n^{-1})$, maintenant ainsi la précision de second ordre.

4. Résultats de Simulation

L'article présente des simulations numériques pour $d=400$ et $n \in \{200, 400\}$, avec des structures de dépendance variées (asymétriques et symétriques, corrélations fortes et faibles).

• Comparaison des méthodes :
  • Le Bootstrap Empirique (EB) est systématiquement conservateur (sous-rejet).
  • Le Bootstrap Sauvage Gaussien (GB) est sensible à l'asymétrie et devient libéral (sur-rejet) dans les cas asymétriques.
  • Le Bootstrap Rademacher (RB) est très précis en cas de symétrie mais devient sévèrement libéral en cas d'asymétrie.
  • Les meilleurs résultats : Le Bootstrap Sauvage de Mammen (MB) et le Bootstrap Beta (BB) (qui correspondent au troisième moment) montrent la plus grande robustesse et une calibration proche du niveau nominal (10%) sur tous les designs, y compris asymétriques.
  • Le Double Bootstrap (DB) est également performant, bien qu'il puisse présenter un léger biais libéral persistant.

5. Signification et Contribution

Cet article représente une avancée significative pour plusieurs raisons :

1. Extension de la théorie de second ordre : Il étend pour la première fois la théorie rigoureuse d'approximation de second ordre (Edgeworth/Cornish-Fisher) des maxima aux statistiques d'ordre $k$-ième en grande dimension.
2. Nouvelle méthodologie : L'utilisation de la représentation par moments factoriels combinée à l'inclusion-exclusion pondérée offre un cadre général pour traiter des événements non-rectangulaires complexes.
3. Guidance pratique : Les résultats théoriques et les simulations confirment que pour obtenir une inférence précise (deuxième ordre) sur les statistiques d'ordre, il est crucial d'utiliser des multiplicateurs de bootstrap qui correspondent au troisième moment (comme Mammen ou Beta) ou d'utiliser le double bootstrap.
4. Robustesse aux dépendances : La proposition d'une alternative basée sur le mélange exponentiel élargit le champ d'application aux séries temporelles et aux processus spatiaux avec des dépendances locales fortes.

En résumé, ce travail fournit les fondements théoriques nécessaires pour construire des intervalles de confiance et des tests d'hypothèse plus précis pour les statistiques d'ordre extrêmes (au-delà du simple maximum) dans des contextes de données massives et corrélées.