Sharing the proceeds from a hierarchical venture when agents have needs

1. Problématique et Contexte

L'article aborde un problème fondamental d'allocation de ressources dans le cadre d'une entreprise commune (joint venture) où les agents sont organisés de manière hiérarchique linéaire. Contrairement aux modèles antérieurs (comme Hougaard et al., 2017) qui se concentraient uniquement sur le partage des revenus générés, ce modèle introduit une dimension cruciale : les besoins individuels de chaque agent.

• Le cadre : Un ensemble d'agents $M = \{1, \dots, m\}$ est organisé en hiérarchie (1 étant le plus bas, $m$ le plus haut). Chaque agent $i$ génère un revenu $r_i$ et possède un besoin $z_i$.
• Hypothèse de base : Dans le cas de référence, le revenu individuel couvre le besoin individuel ($r_i \ge z_i$).
• Objectif : Définir des règles d'allocation $\phi$ qui distribuent le revenu total agrégé $\sum r_i$ entre les agents, en respectant la hiérarchie et en garantissant que chaque agent couvre au moins son besoin.

2. Méthodologie et Axiomes

Les auteurs utilisent une approche axiomatique pour caractériser des familles de règles d'allocation. Ils définissent un ensemble d'axiomes qui formalisent les principes de justice distributive et de cohérence dans ce contexte hiérarchique.

Les axiomes clés introduits ou adaptés :

1. Bornes inférieures des besoins (Needs Lower Bound) : Chaque agent doit recevoir au moins son besoin ($\phi_i \ge z_i$).
2. Cohérence du rang le plus bas (Lowest Rank Consistency) : Si l'agent de rang le plus bas quitte la hiérarchie après l'allocation, et que son excédent est transféré à son supérieur immédiat, la solution pour les agents restants doit rester inchangée.
3. Indépendance du rang le plus haut (Highest Rank Independence) : Les caractéristiques (revenus et besoins) de l'agent au sommet de la hiérarchie ne doivent pas affecter l'allocation des agents situés en dessous.
4. Neutralité de la division du rang le plus haut (Highest Rank Splitting Neutrality) : Si l'agent du sommet se divise en plusieurs agents (ou en est remplacé par une chaîne de subordonnés) sans changer le revenu total et les besoins totaux de ce groupe, l'allocation des autres agents ne doit pas changer.
5. Linéarité bilatérale (Bilateral Linearity) : Pour les problèmes à deux agents, la règle doit être linéaire par rapport aux revenus et aux besoins.
6. Équité bilatérale canonique (Canonical Bilateral Fairness) : Dans un cas canonique à deux agents où seul le plus bas génère du revenu, le surplus net doit être partagé équitablement.

3. Résultats Principaux

L'article caractérise deux familles principales de règles et des règles spécifiques au sein de celles-ci.

A. La famille des règles géométriques ajustées aux besoins (Need-adjusted Geometric Rules)

Ces règles généralisent les règles géométriques de Hougaard et al. (2017) en intégrant les besoins.

• Mécanisme : L'agent de rang le plus bas reçoit son besoin $z_1$ plus une fraction $\lambda \in [0, 1]$ de son excédent $(r_1 - z_1)$. Le surplus restant est transmis au niveau supérieur, qui reçoit son propre besoin plus la même fraction $\lambda$ de son revenu augmenté du surplus transmis, et ainsi de suite.
• Formule : Pour $i < m$, $x_i = z_i + \lambda(r_i - z_i) + (1-\lambda)x_{i-1}$.
• Théorème 1 : Une règle satisfait les axiomes de bornes inférieures, de cohérence du rang bas, d'indépendance du rang haut, de neutralité de division et de linéarité bilatérale si et seulement si elle appartient à la famille des règles géométriques ajustées aux besoins.

Trois règles focales (Les "Mousquetaires") :
En ajoutant des axiomes spécifiques, on isole trois cas particuliers de $\lambda$ :

1. Règle de transfert intégral ajustée ($\lambda = 0$) : Chaque agent reçoit son besoin, et le surplus total est attribué à l'agent de rang le plus haut. Caractérisée par la neutralité de division et la préservation de l'ordre hiérarchique.
2. Règle sans transfert ajustée ($\lambda = 1$) : Chaque agent garde son revenu exact (identité). Caractérisée par l'indépendance du rang haut et le traitement égal des égaux.
3. Règle de transfert équilibré ajustée ($\lambda = 0.5$) : Le surplus est partagé de manière géométrique décroissante. Caractérisée par l'équité bilatérale canonique.

B. La règle sérielle ajustée aux besoins (Need-adjusted Serial Rule)

Cette règle se distingue de la famille géométrique.

• Mécanisme : Chaque agent garde son besoin et partage le surplus résiduel de manière égale avec tous ses prédécesseurs (y compris lui-même) dans la hiérarchie. C'est l'analogue de la règle de partage des coûts de Moulin et Shenker (1992).
• Formule : $\phi^s_i = z_i + \sum_{j \le i} \frac{r_j - z_j}{n - j + 1}$.
• Théorème 3 : Cette règle est caractérisée par la combinaison de la cohérence du rang bas, d'une indépendance supérieure (extension de l'indépendance du rang haut à un groupe) et d'une équité symétrique canonique (tous les agents non productifs au-dessus du producteur sont traités équitablement).

4. Extensions et Insights Supplémentaires

Les auteurs explorent trois extensions importantes du modèle de base :

1. Besoins supérieurs aux revenus individuels :

   • Si l'on relâche l'hypothèse $r_i \ge z_i$ pour ne garder que $\sum r_i \ge \sum z_i$, l'axiome de "bornes inférieures des besoins" devient trop restrictif.
   • En introduisant une borne faible des besoins (valable uniquement quand $r \ge z$), les caractérisations des règles géométriques et sérielles sont rétablies.
   • Curieusement, sur ce domaine élargi, l'axiome de bornes inférieures combiné à l'indépendance du rang haut caractérise uniquement la règle de transfert intégral.

2. Cas des besoins nuls :

   • Lorsque tous les $z_i = 0$, le modèle se réduit à celui de Hougaard et al. (2017).
   • Les auteurs montrent que leurs règles ajustées sont les images des règles classiques via un opérateur d'extension en deux étapes : satisfaction des besoins, puis partage du surplus selon une règle standard.

3. Cas à deux agents (Solution Folk) :

   • Dans le cas à deux agents, la règle de transfert équilibré ($\lambda=0.5$) et la règle sérielle coïncident. Les auteurs appellent cela la solution folk.
   • Cette solution admet plusieurs extensions pour $n > 2$ : soit via la règle géométrique (en utilisant la neutralité de division), soit via la règle sérielle (en renforçant les axiomes d'équité et d'indépendance).

5. Signification et Contribution

• Innovation théorique : L'intégration explicite des besoins individuels dans les modèles de partage de revenus hiérarchiques comble un vide dans la littérature existante.
• Justification normative : L'article fournit une base axiomatique solide pour différentes philosophies de redistribution (du "chacun garde son dû" au "transfert total vers le sommet" en passant par le partage équitable).
• Lien avec la littérature : Le travail connecte la théorie des jeux coopératifs, les problèmes de partage de rivière (river sharing) et les mécanismes d'incitation hiérarchique.
• Applications potentielles : Ces règles sont pertinentes pour la gestion des revenus dans les organisations en réseau, les systèmes de parrainage (MLM), la répartition des budgets dans les administrations publiques, ou la gestion des ressources en eau (modèle miroir).

En résumé, cet article offre une caractérisation rigoureuse de la manière dont les revenus devraient être partagés dans une hiérarchie lorsque les agents ont des besoins minimaux à satisfaire, en proposant un spectre de solutions allant de l'autonomie totale à la redistribution complète, en passant par des mécanismes de partage équilibré.