The Core in a Distributional Economy

1. Énoncé du problème

La théorie générale de l'équilibre traditionnelle définit les économies en attribuant des caractéristiques spécifiques (préférences, dotations) à un continuum d'agents individuels. Bien que les équilibres concurrentiels puissent être définis purement en termes de distribution de ces caractéristiques (comme l'ont montré Hart, Hildenbrand et Kohlberg), le concept de cœur a résisté à une telle formulation.

Le cœur repose sur la notion de coalitions bloquantes, qui nécessite traditionnellement une description individualiste des agents pour déterminer :

1. Identité : Quels agents spécifiques sont dans une coalition.
2. Effectif : Combien d'agents d'un type spécifique existent pour former un groupe bloquant.
3. Faisabilité : Si la coalition peut redistribuer sa dotation agrégée pour rendre ses membres strictement mieux lotis.

Des critiques (par exemple, Hart, Hildenbrand, Kohlberg ; Mas-Colell) ont soutenu qu'une description distributionnelle est trop "pauvre" pour l'analyse du cœur car elle perd l'information sur l'identité des agents et le nombre spécifique d'agents par type. Cet article remet en cause cette affirmation en demandant : Le cœur et les coalitions bloquantes peuvent-ils être définis et analysés en utilisant uniquement la distribution des caractéristiques, sans référence aux agents individuels ?

2. Méthodologie

Les auteurs emploient des outils avancés de la théorie de la mesure pour combler le fossé entre les économies individualistes et distributionnelles.

• Allocations distributionnelles : Ils définissent une économie non pas comme une application des agents vers les caractéristiques, mais comme une mesure de probabilité $\mu$ sur l'espace des caractéristiques (préférences $\times$ dotations). Une allocation est une distribution conjointe des caractéristiques et des paniers de marchandises.
• Coalitions généralisées : Ils interprètent les coalitions non pas comme des ensembles d'agents, mais comme des sous-populations (mesures $\nu$ telles que $\nu \leq \mu$). Cela s'aligne avec des concepts tels que les "ensembles idéaux" (Aumann & Shapley), les "coalitions floues" (Aubin) et les "ensembles convexes d'agents".
• Espaces superatomiques : Une innovation mathématique cruciale repose sur l'utilisation d'espaces de probabilité superatomiques.
  • Un espace est atomique s'il ne possède pas d'atomes indivisibles.
  • Un espace est superatomique (ou saturé) s'il est suffisamment "riche" pour représenter n'importe quelle distribution conjointe imaginable de caractéristiques et d'allocation. Formellement, un espace $(T, \Sigma, \nu)$ est superatomique si $L^1(A, \nu)$ est non séparable pour tout $A$ tel que $\nu(A) > 0$.
  • Cette propriété garantit que toute coalition distributionnelle (sous-population) peut être exactement représentée par un ensemble mesurable d'agents dans l'espace sous-jacent.
• Dominance stochastique et théorème de Strassen : Pour définir l'efficacité de Pareto et le blocage sans distributions conjointes, ils utilisent la dominance stochastique du premier ordre (Reif & Wiesmeth) et le théorème de Strassen (et son extension par Lindvall) sur les pré-ordres stochastiques. Cela leur permet de construire des distributions conjointes à partir de distributions marginales satisfaisant des conditions d'ordre spécifiques.
• Théorème de Lyapunov pour les mesures de Young : Ils utilisent l'extension du théorème de Lyapunov par Balder (2000) pour traiter la convexification des ensembles d'allocation, prouvant l'existence d'allocations bloquantes même lorsque l'espace sous-jacent est simplement atomique (pas nécessairement superatomique) pour l'existence de certaine coalition bloquante.

3. Contributions clés

A. Caractérisation de l'efficacité de Pareto

L'article démontre que l'efficacité de Pareto peut être entièrement caractérisée en termes distributionnels.

• Résultat : Une allocation est efficace au sens de Pareto si et seulement s'il n'existe aucune autre allocation distributionnelle qui la domine stochastiquement au sens de Reif et Wiesmeth.
• Signification : Cela résout le problème de la "identité perdue". Même sans savoir quel agent est mieux loti, la distribution conjointe des caractéristiques et des paniers permet un classement complet des allocations.

B. Définition du cœur distributionnel

Les auteurs définissent un cœur distributionnel où une allocation est bloquée s'il existe une sous-population (une mesure $\mu'$ dominée par la distribution de l'économie) capable de redistribuer sa dotation pour rendre ses membres strictement mieux lotis.

• Théorème 4 (Cas superatomique) : Si l'espace sous-jacent des agents est superatomique, chaque coalition bloquante distributionnelle correspond exactement à une coalition individualiste classique.
• Théorème 5 (Cas atomique) : Même si l'espace est seulement atomique (et non superatomique), l'existence d'une coalition bloquante distributionnelle implique l'existence d'une coalition bloquante classique. C'est un résultat critique : on n'a pas besoin d'un espace "riche" pour prouver qu'une économie distributionnelle a un cœur non vide ; la condition distributionnelle suffit à garantir l'existence d'une coalition bloquante réelle.

C. Théorème d'équivalence cœur-équilibre

L'article fournit une preuve purement distributionnelle du Théorème d'Équivalence Cœur-Équilibre (Théorème 7).

• Énoncé : Dans une économie distributionnelle avec des préférences continues, irréflexives, strictement monotones et une dotation agrégée strictement positive, une allocation appartient au cœur si et seulement si elle est un équilibre walrasien (concurrentiel).
• Nouveauté : Contrairement aux preuves précédentes (par exemple, Hildenbrand, 1982), cette preuve ne repose pas sur une représentation individualiste auxiliaire. Elle opère entièrement dans le cadre distributionnel.
• Implication : Le théorème classique d'équivalence cœur-équilibre pour les économies individualistes avec des espaces atomiques est déduit comme un corollaire direct.

4. Résumé des résultats clés

5. Signification et applications

• Unification théorique : L'article unifie divers concepts de "coalitions généralisées" (ensembles idéaux, coalitions floues, sous-populations) sous un seul cadre distributionnel. Il montre qu'il s'agit simplement de différentes représentations mathématiques d'une même réalité économique sous-jacente : une redistribution d'une sous-population de types.
• Parcimonie : Il prouve que la description "individualiste" n'est pas nécessaire pour l'analyse du cœur. La distribution des caractéristiques seule contient toute l'information économiquement pertinente pour déterminer la stabilité et l'équilibre.
• Robustesse : En montrant que le blocage distributionnel implique le blocage individualiste même dans des espaces simplement atomiques, les auteurs démontrent que l'approche distributionnelle est robuste et n'est pas un artefact d'hypothèses mathématiques trop fortes (comme la superatomicité).
• Applications plus larges : Les auteurs notent que ces méthodes s'étendent au-delà des économies d'échange vers :
  • Les grands marchés d'appariement.
  • Les analogues de la valeur de Shapley pour les économies atomiques.
  • Les jeux à continuum.

Conclusion

Greinecker et Podczeck démontent avec succès la croyance de longue date selon laquelle le cœur nécessite une description individualiste des agents. En exploitant les propriétés des espaces superatomiques et de la dominance stochastique, ils construisent une théorie rigoureuse et purement distributionnelle du cœur. Cela simplifie non seulement le cadre théorique des grandes économies, mais fournit également un outil plus puissant pour analyser les économies où les identités individuelles sont sans importance ou inobservables, confirmant que la distribution des types suffit à déterminer la stabilité du marché.