Cellwise and Casewise Robust Multivariate Regression with Inference

Résumé technique : Régression multivariée robuste cellulaire et casuelle avec inférence

Énoncé du problème
La régression linéaire multivariée est un outil statistique fondamental pour modéliser les relations entre des prédicteurs de dimension $p$ et des réponses de dimension $q$. Cependant, les estimateurs classiques comme les moindres carrés ordinaires (MCO) sont hautement sensibles aux valeurs aberrantes. Les statistiques robustes traditionnelles ont principalement traité les valeurs aberrantes casuelles (observations entières qui s'écartent de la majorité), nécessitant qu'au moins 50 % des données soient propres. Toutefois, les ensembles de données modernes de haute dimension souffrent fréquemment de valeurs aberrantes cellulaires, où des entrées individuelles dans la matrice des prédicteurs ou des réponses sont contaminées. En haute dimension, même une faible proportion de cellules contaminées peut rendre une grande fraction des cas « mauvais » (par exemple, avec $p=100$ et $q=2$, une contamination cellulaire de 1 % affecte 64 % des cas), provoquant l'échec des méthodes robustes casuelles. De plus, les applications contemporaines impliquent souvent des valeurs manquantes et des dimensions où $p \geq n$, entraînant une instabilité dans l'estimation classique. Enfin, bien que l'estimation robuste soit établie, fournir une inférence statistique valide (par exemple, des intervalles de confiance) sous contamination cellulaire et casuelle simultanée, en particulier avec des données manquantes, reste un défi ouvert.

Méthodologie
Les auteurs proposent cellMR (régression multivariée cellulaire) et cellBoot (bootstrap cellulaire) pour répondre à ces défis.

1. L'estimateur cellMR :

   • Fondement : La méthode s'appuie sur un estimateur robuste de covariance cellulaire (cellCov) développé par Centofanti et al. (2025).
   • Mécanisme : Elle utilise une approche d'analyse en composantes principales (ACP) robuste appelée cellPCA pour traiter la matrice combinée des prédicteurs et des réponses $[X; Y]$. Cette méthode modélise les données comme une structure de rang faible plus du bruit, employant des fonctions $\rho$ valides (spécifiquement une fonction tangente hyperbolique) pour borner l'influence des valeurs aberrantes cellulaires et casuelles.
   • Régularisation : Pour assurer la stabilité numérique dans les contextes de haute dimension ($p \geq n$), les coefficients de régression sont estimés en utilisant une régularisation de type ridge. Les paramètres de régression sont dérivés en insérant les estimations robustes de localisation ($\hat{\mu}$) et de dispersion ($\hat{\Sigma}$) issues de cellCov dans les formules standard de régression ridge.
   • Données manquantes : Le cadre intègre naturellement les valeurs manquantes grâce au mécanisme cellPCA, qui utilise des indicateurs de manquance pour pondérer les contributions lors de l'estimation.
   • Prédiction : Pour la prédiction hors échantillon, la méthode emploie une stratégie d'imputation où les cellules suspectes dans les nouvelles données sont nettoyées et les cellules manquantes sont remplies sur la base de la structure robuste apprise à partir des données d'entraînement.

2. La procédure d'inférence cellBoot :

   • Défi : L'inférence par bootstrap directe sur l'estimateur cellMR est problématique car l'estimateur n'est pas garanti d'être consistant en raison de sa construction cellulaire.
   • Solution : Les auteurs introduisent cellBoot, une procédure de bootstrap basée sur l'inférence indirecte (II).
   • Estimateur auxiliaire : Une approximation en une étape, computationnellement efficace, de cellCov, appelée FastCellCov, est utilisée comme estimateur auxiliaire. Bien que FastCellCov soit incohérent, il capture les propriétés de robustesse de l'estimateur complet.
   • Correction de biais : Le cadre II construit un estimateur consistant en faisant correspondre l'estimateur auxiliaire calculé sur les données observées avec la moyenne de l'estimateur auxiliaire calculé sur des ensembles de données simulés générés à partir d'un modèle paramétrique.
   • Implémentation : L'algorithme génère des échantillons bootstrap, calcule les estimations FastCellCov, applique la correction de biais II pour obtenir des estimations consistantes de la localisation et de la dispersion, et dérive enfin les coefficients de régression. Les intervalles de confiance sont construits en utilisant les quantiles empiriques de ces estimations bootstrap corrigées.

Contributions clés

• Cadre unifié : À la connaissance des auteurs, il s'agit de la première méthode de régression multivariée capable de gérer simultanément les valeurs aberrantes cellulaires, les valeurs aberrantes casuelles, les données manquantes et la haute dimensionnalité ($p \geq n$).
• Propriétés théoriques :
  • Les auteurs dérivent les fonctions d'influence (FI) pour les estimateurs de régression cellMR sous les modèles de contamination casuelle et cellulaire, prouvant que les estimateurs sont bornés et donc robustes.
  • Ils prouvent la consistance asymptotique de la procédure cellBoot.
  • Ils dérivent les fonctions d'influence pour le centre et la longueur des intervalles de confiance résultants, démontrant leur robustesse.
• Validité de l'inférence : L'article établit que les intervalles de confiance cellBoot sont asymptotiquement exacts, fournissant une quantification valide de l'incertitude dans des contextes où les méthodes bootstrap standard ou robustes (comme FRB) échouent.

Résultats

• Simulations : Des expériences de Monte Carlo extensives démontrent que cellMR atteint des performances prédictives supérieures (erreur quadratique moyenne plus faible) par rapport aux méthodes concurrentes (y compris RIDGE, SEST, PENSE, CRM, REGCELL et SHOOT) dans divers scénarios de contamination (cellulaire, casuelle et mixte) et dimensions. Les méthodes concurrentes échouent soit en haute dimension, soit sous-performent sous contamination cellulaire.
• Performance d'inférence : La méthode cellBoot maintient des probabilités de couverture nominales (par exemple, 90 %) même sous contamination significative et données manquantes. En revanche, les intervalles basés sur les MCO souffrent d'une sous-couverture sévère, et le Bootstrap Rapide et Robuste (FRB) échoue dans les contextes de haute dimension.
• Application sur données réelles : Les méthodes ont été appliquées à un ensemble de données génomiques impliquant 59 lignées cellulaires cancéreuses, 50 gènes et 3 protéines. L'analyse a permis d'identifier avec succès des associations robustes entre les niveaux d'expression des gènes et des protéines, visualisées via des cartes de valeurs aberrantes et des diagrammes en forêt, tout en gérant efficacement les valeurs aberrantes potentielles et les valeurs manquantes.

Signification et affirmations
L'article prétend fournir une méthodologie unifiée qui répond à la « triple menace » de l'analyse de données moderne : contamination cellulaire, contamination casuelle et manquance en haute dimension. Il affirme que cellMR est la première approche à traiter conjointement ces problèmes dans un cadre de régression multivariée. De plus, l'introduction de cellBoot est présentée comme le premier cadre d'inférence spécifiquement conçu pour fournir des intervalles de confiance valides en présence de contamination cellulaire et casuelle simultanée combinée à des valeurs manquantes. Les auteurs soulignent que leur approche va au-delà de la prédiction pour permettre une interprétation scientifique fiable grâce à une quantification robuste de l'incertitude.