Robust inference in inflated beta regression

Résumé technique : Inférence robuste dans la régression bêta gonflée

Énoncé du problème
Le modèle de régression bêta gonflée est un outil standard pour l'analyse de proportions continues incluant des valeurs aux bornes (zéros ou uns), telles que les taux d'infection ou les allocations budgétaires. Bien que largement adopté, l'inférence standard repose sur l'estimation du maximum de vraisemblance (EMV). Comme établi dans la littérature tant pour la régression binaire (le composant discret) que pour la régression bêta (le composant continu), l'EMV est hautement sensible aux valeurs aberrantes. Les valeurs aberrantes peuvent fortement fausser les estimations des paramètres et conduire à des conclusions trompeuses. Les estimateurs robustes existants pour la régression bêta standard (par exemple, MDPDE et SMLE) ou pour les données binaires échouent souvent à être bien définis pour toutes les valeurs des paramètres, en particulier lorsqu'ils traitent de densités bêta non bornées, ou ils ne répondent pas à la complexité structurelle spécifique du modèle gonflé, qui combine un composant de mélange discret avec un composant bêta continu.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre pour l'inférence robuste dans les modèles de régression bêta gonflée de zéro ou un, en étendant les techniques d'estimation robuste aux parties discrète et continue du modèle simultanément.

1. Structure du modèle : La variable réponse $Y$ suit une distribution bêta gonflée de zéro ou un, un mélange d'une variable dégénérée en $c \in \{0, 1\}$ et d'une variable distribuée selon une loi bêta sur $(0, 1)$. Les paramètres du modèle sont liés aux covariables via des fonctions de lien pour la probabilité de la borne ($\vartheta$), la moyenne conditionnelle ($\mu$) et la précision ($\phi$).
2. Estimateurs robustes : L'article introduit deux estimateurs spécifiques, M-LSE et M-LME, qui résolvent un système d'équations d'estimation $U(y; \upsilon) = 0$. Ces estimateurs traitent les composantes discrète et continue séparément mais dans un cadre unifié :
   • Partie discrète : Les auteurs emploient l'estimateur de divergence minimale de puissance de densité (MDPDE) pour le composant binaire (modélisant la probabilité d'observer un zéro ou un). Cette approche réduit le poids des observations présentant de grandes divergences entre les probabilités observées et prédites.
   • Partie continue : Pour résoudre le problème des densités bêta non bornées où les estimateurs robustes standards (SMLE et MDPDE) peuvent ne pas être bien définis, les auteurs utilisent la transformation logit de la variable réponse ($Y^* = \log(Y/(1-Y))$).
     • M-LSE : Combine le MDPDE pour la partie discrète avec l'estimateur de vraisemblance maximale de substitution logit (LSMLE) pour la partie continue.
     • M-LME : Combine le MDPDE pour la partie discrète avec l'estimateur de divergence minimale de puissance de densité logit (LMDPDE) pour la partie continue.
     • En travaillant à l'échelle logit, les estimateurs garantissent que la classe de densité est fermée sous les transformations de puissance, assurant ainsi que les estimateurs sont bien définis pour toutes les valeurs des paramètres.
3. Réglage piloté par les données : Une contribution méthodologique clé est l'adaptation d'un algorithme piloté par les données (initialement proposé pour la régression bêta) pour sélectionner la constante de réglage $\alpha$ pour les deux composantes. L'algorithme cherche le plus petit $\alpha$ (le plus proche de l'EMV) qui maintient la stabilité des estimations, assurant une efficacité totale en l'absence de contamination tout en fournissant une robustesse lorsque des valeurs aberrantes sont présentes.
4. Inférence : Les auteurs dérivent la normalité asymptotique des estimateurs proposés et développent des tests de type Wald robustes pour les tests d'hypothèses. Ils fournissent également une méthode pour calculer les erreurs standards qui tient compte de la nature conjointe de l'inférence, même si les estimations ponctuelles sont calculées séparément.

Contributions clés

• Extension aux modèles gonflés : Ce travail est le premier à proposer des méthodes d'inférence robuste spécifiquement pour les modèles de régression bêta gonflée de zéro ou un, répondant aux défis uniques posés par le mélange de composantes discrètes et continues.
• Estimateurs bien définis : En utilisant la transformation logit et les constructions spécifiques de LSMLE et LMDPDE, les estimateurs proposés surmontent les limitations des méthodes robustes précédentes (MDPDE/SMLE) qui n'étaient pas bien définies pour les densités bêta non bornées.
• Cadre unifié : L'article fournit un cadre d'inférence complet, incluant l'estimation ponctuelle, les matrices de variance-covariance asymptotiques et des tests de type Wald robustes, implémenté dans un package R.
• Réglage adaptatif : L'application d'un algorithme piloté par les données pour sélectionner les constantes de réglage pour les parties discrète et continue permet à la méthode de revenir automatiquement à l'EMV lorsque les données sont propres, équilibrant efficacité et robustesse.

Résultats empiriques
Les auteurs ont évalué la performance de M-LSE et M-LME par le biais d'études de simulation et d'une application sur des données réelles :

• Simulations : Dans des scénarios avec 5 % de contamination dans la partie discrète, la partie continue, ou les deux, l'EMV standard a montré un biais sévère et une erreur quadratique moyenne (RMSE) élevée. En revanche, les estimateurs robustes ont maintenu un faible biais et une faible RMSE, performant de manière similaire à l'EMV sur des données non contaminées (où l'algorithme a sélectionné $\alpha \approx 0$) et surpassant significativement l'EMV dans les scénarios contaminés (avec des ratios TMSE jusqu'à 34 fois inférieurs à ceux de l'EMV).
• Tests d'hypothèses : Les tests de type Wald robustes ont maintenu des taux de rejet empiriques proches du niveau nominal de 5 % sous contamination, alors que les tests de Wald standards ont souffert d'erreurs de type I gonflées (taux de rejet proches de 100 %) ou d'une puissance nulle.
• Application sur données réelles : La méthode a été appliquée aux taux de létalité du COVID-19 dans 200 villes brésiliennes. Les données contenaient une valeur aberrante proéminente (une ville avec un seul cas et un décès). Les résultats de l'EMV ont été fortement influencés par cette observation, modifiant la signification et l'ampleur des effets des covariables (par exemple, l'IDH). Les estimateurs robustes (M-LSE) ont réduit le poids de la valeur aberrante, produisant des résultats cohérents avec une analyse où la valeur aberrante avait été supprimée manuellement, démontrant la capacité de la méthode à fournir une inférence fiable sans suppression arbitraire de données.

Signification
L'article affirme que, bien que des modèles flexibles existent pour gérer les valeurs aberrantes, ils introduisent souvent une complexité inutile et manquent d'interprétabilité. L'approche proposée conserve l'interprétabilité et la structure du modèle bêta gonflé standard tout en remplaçant le processus d'estimation par une alternative robuste. Les auteurs soulignent que leur travail comble une lacune critique dans la littérature en fournissant les premières méthodes d'inférence robuste pour les modèles gonflés de données continues bornées. Les résultats de simulation et l'application réelle démontrent que les estimateurs proposés atténuent efficacement l'influence des valeurs aberrantes, empêchant les conclusions trompeuses qui découlent fréquemment de l'inférence par maximum de vraisemblance standard en présence de données contaminées.