Kerroll black holes

Cet article construit des solutions de trous noirs en rotation dans la gravité de Carroll par deux approches distinctes : l'une produisant une solution intrinsèquement carrollienne en habillant un trou noir de Schwarzschild d'une charge de rotation, et l'autre dérivant un trou noir « Kerroll » comme analogue carrollien de la solution de Kerr via un développement en puissances impaires de la relativité générale en fonction de la vitesse de la lumière.

L'essentiel

Imaginez l'univers comme une immense étoffe flexible. Dans notre monde quotidien, cette étoffe se comporte selon la relativité générale d'Einstein, où l'espace et le temps sont tissés ensemble, et rien ne peut voyager plus vite que la vitesse de la lumière ($c$).

Cet article explore ce qui arrive à cette étoffe si nous imaginons un univers où la vitesse de la lumière est effectivement nulle. Cela s'appelle la « gravité Carroll ». Dans ce monde étrange, le temps et l'espace se découplent complètement. Le temps devient une horloge rigide et universelle qui bat de la même manière pour tout le monde, tandis que l'espace devient une feuille figée et dégénérée où l'on ne peut pas se déplacer d'un point à un autre de la manière habituelle.

Les auteurs de cet article abordent un grand problème : Comment avoir un trou noir en rotation dans un univers où rien ne peut bouger ?

En physique normale, un trou noir en rotation (comme le célèbre trou noir de Kerr) entraîne l'espace autour de lui. Mais dans un univers Carroll « figé », les mathématiques habituelles disent que la rotation est impossible. Les auteurs ont trouvé deux « échappatoires » ingénieuses pour créer des trous noirs en rotation dans ce monde figé. Ils appellent ces nouveaux objets des trous noirs « Kerroll » (un jeu de mots entre Kerr et Carroll).

Voici comment ils ont procédé, en utilisant deux approches différentes :

Approche 1 : Habiller le trou noir figé avec une rotation « fantôme »

Imaginez un trou noir Carroll standard, sans rotation, comme une statue. Elle est lourde, elle possède un horizon, mais elle est parfaitement immobile.

En physique standard, la rotation est une propriété de la forme de l'espace lui-même. Mais dans ce type spécifique de gravité Carroll (appelée « magnétique »), les auteurs ont réalisé que la rotation ne doit pas nécessairement résider dans la forme de l'espace ; elle peut être cachée dans les « règles » de la façon dont les choses sont connectées.

• L'analogie : Imaginez un lac gelé (l'espace). Habituellement, si le lac est plat, il ne tourne pas. Mais imaginez que vous puissiez peindre sur la glace des « courants » invisibles ou des « instructions » qui indiquent à un patineur comment tourner, même si la glace elle-même ne bouge pas.
• Le résultat : Ils ont pris un trou noir Carroll standard et figé, et l'ont « habillé » avec ces règles de connexion invisibles. Le trou noir semble statique, mais il porte une charge cachée de « moment angulaire ». C'est comme une statue qui tient secrètement une toupie en rotation. C'est une invention purement carrollienne ; elle n'a aucun équivalent dans notre univers normal, où les choses se déplacent vite.

Approche 2 : Le développement « en puissances impaires » (Le trou noir Kerroll)

La deuxième approche ressemble davantage à prendre un film d'un trou noir en rotation de Kerr et à le jouer au ralenti extrême, image par image, pour voir ce qui se passe lorsque la vitesse de la lumière chute vers zéro.

• Le problème : Lorsque les physiciens ralentissent habituellement la vitesse de la lumière vers zéro, ils ne regardent que les étapes « paires » (comme $c^2$, $c^4$). Ils ont constaté que si l'on ne regarde que ces étapes paires, la rotation disparaît complètement. Le trou noir cesse de tourner.
• La découverte : Les auteurs ont réalisé qu'ils manquaient les étapes « impaires » ($c^1$, $c^3$). C'est comme une danse où la rotation se produit sur les temps « et » (les contre-temps) plutôt que sur les temps forts.
• Le résultat : En incluant ces étapes « impaires » dans leurs mathématiques, ils ont découvert un nouveau type de trou noir : le trou noir Kerroll.
  • Dans cette version, la rotation n'est pas une caractéristique de la forme principale de l'espace. Au lieu de cela, la rotation est un « écho subtil » ou un « fantôme » qui apparaît dans les détails d'ordre inférieur du développement.
  • C'est comme si le trou noir tournait, mais que la rotation était si faible et cachée dans les couches « impaires » de la réalité qu'il faut regarder très attentivement pour la voir.

Que signifie cela pour les trous noirs ?

L'article calcule à quoi ressemblent ces objets et comment ils se comportent :

1. Ce sont de véritables solutions : Ils ne sont pas de simples astuces mathématiques ; ils satisfont toutes les équations complexes de ce type spécifique de gravité.
2. Ils possèdent des « charges » : Tout comme une toupie en rotation possède un moment angulaire, ces trous noirs portent une « charge de rotation » mesurable.
3. Ils sont différents des trous noirs normaux :
   • Dans un trou noir en rotation normal, l'espace est « entraîné » autour de lui (effet d'entraînement des référentiels). Dans le trou noir Kerroll, cet effet d'entraînement est différent ou absent de certaines manières, car la nature « figée » du temps modifie les règles.
   • Les trajectoires que suivent les particules (géodésiques) autour de ces trous noirs sont uniques. Par exemple, dans la version « habillée », l'énergie d'une particule dépend de sa rotation d'une manière qui ne se produit pas dans notre univers normal.

Résumé

Les auteurs ont réussi à construire deux types de trous noirs en rotation dans un univers où la vitesse de la lumière est nulle.

1. L'un est un trou noir d'apparence statique qui porte une charge de rotation cachée dans ses règles de connexion.
2. L'autre est un véritable analogue du trou noir de Kerr (le Kerroll), où la rotation n'est révélée qu'en examinant les couches subtiles et « impaires » des mathématiques qui sont habituellement ignorées.

Ils appellent cela le trou noir « Kerroll », un nouvel objet qui n'existe que dans le domaine étrange et figé de la gravité Carroll, prouvant que même dans un monde où rien ne peut bouger, les choses peuvent encore tourner.

Résumé technique

Résumé technique : Trous noirs Kerroll

Énoncé du problème
La construction de solutions de trous noirs en rotation dans le cadre de la gravité carrollienne a historiquement été entravée par un théorème d'« impossibilité » [55], affirmant que toute solution stationnaire axisymétrique de la gravité carrollienne magnétique en dimensions $D > 3$ doit être statique. Cette limitation découle du fait que la limite carrollienne standard de la métrique de Kerr (dérivée via un développement en puissances paires de la vitesse de la lumière, $c$) ne satisfait pas la contrainte du scalaire de Ricci spatial ($R[g_{ij}] \approx 0$) requise par la gravité carrollienne magnétique, sauf si le paramètre de rotation s'annule. Par conséquent, les modèles existants de trous noirs carrolliens, tels que la solution de Carroll–Schwarzschild, sont limités à des configurations non rotatives. L'article aborde la question de savoir si des géométries en rotation peuvent exister en gravité carrollienne et, le cas échéant, comment elles peuvent être construites sans violer les contraintes de la théorie.

Méthodologie
Les auteurs emploient deux approches distinctes pour construire des trous noirs carrolliens en rotation, toutes deux utilisant la formulation hamiltonienne de la gravité et la décomposition ADM :

1. Approche canonique en gravité carrollienne magnétique :
   Les auteurs analysent les symétries asymptotiques et les conditions aux limites de la gravité carrollienne magnétique. Ils exploitent la liberté inhérente à la connexion compatible avec Carroll, qui n'est pas entièrement déterminée par les seules données métriques. Dans le formalisme hamiltonien, les moments canoniques $\pi_{ij}$ agissent comme des données indépendantes (multiplicateurs de Lagrange) plutôt que d'être résolus en fonction de la métrique, contrairement à la relativité générale. Les auteurs démontrent que, en « habillant » une solution statique de Carroll–Schwarzschild avec des moments canoniques non nuls (spécifiquement $\pi_{r\phi}$), on peut induire une charge de moment angulaire non nulle tout en maintenant une géométrie métrique statique. Cette rotation est entièrement encodée dans les degrés de liberté de la connexion.

2. Développement en puissances impaires de la relativité générale :
   Les auteurs proposent une nouvelle théorie gravitationnelle dérivée d'un développement de la relativité générale en puissances impaires de la vitesse de la lumière ($c$), en contraste avec les développements standard en puissances paires utilisés pour dériver les gravités carrolliennes électrique et magnétique. Partant de l'action ADM, ils développent la métrique spatiale $g_{ij}$, son moment conjugué $\pi_{ij}$, le lapsus $N$ et le décalage $N^i$ en puissances de $c$ (incluant les termes en $c^1$). En tronquant ce développement à l'ordre $O(c^2)$ tout en conservant les champs en puissances impaires, ils définissent la « Gravité carrollienne magnétique étendue ». Cette théorie contient la gravité carrollienne magnétique comme sous-secteur, mais possède des degrés de liberté physiques supplémentaires associés aux champs en puissances impaires. Ils appliquent ensuite ce cadre à la métrique de Kerr, en développant ses variables ADM pour identifier une solution qui conserve l'information rotationnelle dans les termes dominants suivants en puissances impaires.

Contributions et résultats clés

• Solutions rotatives en gravité carrollienne magnétique standard :
  Les auteurs construisent des solutions en rotation en gravité carrollienne magnétique en « habillant » le trou noir de Carroll–Schwarzschild avec une charge rotationnelle.

  • Mécanisme : La rotation ne se manifeste pas dans la métrique spatiale $g_{ij}$ (qui reste statique et diagonale) mais est encodée dans les moments canoniques $\pi_{ij}$ et les coefficients de connexion associés.
  • Géodésiques et symétries : Ils calculent les géodésiques et les champs de Killing pour ces solutions. Bien que le potentiel effectif pour les géodésiques reste similaire au cas non rotatif (manquant d'orbites circulaires stables), la relation d'énergie pour la translation temporelle acquiert un terme dépendant du moment angulaire. Crucialement, ils montrent que les effets d'entraînement du référentiel, présents dans les géodésiques de Kerr lorentziennes, sont absents dans cette construction carrollienne.
  • Nature de la solution : Ces solutions sont intrinsèquement carrolliennes ; elles n'ont aucun analogue connu en gravité d'Einstein car la rotation est portée uniquement par la connexion, une caractéristique spécifique à la structure métrique dégénérée de l'espace-temps carrollien.

• Le trou noir « Kerroll » :
  Les auteurs introduisent une nouvelle solution, le « trou noir Kerroll », issue du cadre de la gravité carrollienne magnétique étendue.

  • Construction : Cette solution est obtenue en prenant la limite $c \to 0$ de la métrique de Kerr dans le développement en puissances impaires. Le paramètre de rotation $a$ (lié au moment angulaire $J$) apparaît dans le vecteur de décalage $N^i$ et le moment canonique $\rho_{ij}$ à l'ordre $O(c)$.
  • Degrés de liberté : La théorie étendue possède plus de degrés de liberté que la gravité carrollienne magnétique standard (par exemple, 5 degrés de liberté en $D=4$). La rotation est un « effet intrinsèquement en puissances impaires », expliquant pourquoi les développements standard en puissances paires échouent à capturer les limites rotatives de la métrique de Kerr.
  • Charges : Les auteurs calculent les charges de bord pour le trou noir Kerroll. La charge de moment angulaire $J$ apparaît comme une charge de bord sous-dominante associée au générateur des difféomorphismes sous-dominants, évoluant comme $J \sim c J^{(1)}$. La charge de masse/énergie évolue comme $E \sim c^2 M$.

• Perspective thermodynamique :
  L'article discute brièvement des implications thermodynamiques. Pour le trou noir Kerroll, les auteurs suggèrent qu'une première loi de la thermodynamique devrait émerger du développement de son équivalent lorentzien, cohérent avec la troncation à $O(c^2)$. Ils proposent des relations pour les développements de l'entropie, de la température et de la vitesse angulaire, mais notent qu'une dérivation indépendante au sein de la théorie étendue reste une tâche ouverte.

Signification
L'article prétend résoudre la contradiction apparente entre l'existence de trous noirs en rotation en gravité lorentzienne et les théorèmes d'impossibilité pour la gravité carrollienne magnétique.

1. Rotation carrollienne intrinsèque : Il démontre que la rotation en gravité carrollienne peut être réalisée sans analogue lorentzien en utilisant les degrés de liberté indépendants de la connexion, remettant en question la notion que la statisme est une exigence stricte pour toutes les solutions carrolliennes.
2. Nouveau secteur gravitationnel : Il établit la « Gravité carrollienne magnétique étendue » comme une théorie cohérente capable d'accueillir la limite carrollienne de la métrique de Kerr. Cela fournit un cadre théorique où l'information rotationnelle est préservée par le biais de développements en puissances impaires, offrant une image plus complète de la limite carrollienne de la relativité générale.
3. Pertinence holographique et cosmologique : En construisant des solutions rotatives, ce travail ouvre des voies pour l'étude des trous noirs en rotation dans le contexte de l'holographie en espace plat et de la cosmologie carrollienne, des domaines où les symétries carrolliennes sont de plus en plus pertinentes.

Les auteurs concluent que, bien que leurs constructions contournent avec succès le théorème d'impossibilité, des investigations supplémentaires sont nécessaires pour comprendre pleinement les propriétés thermodynamiques (spécifiquement la première loi) et le comportement de ces solutions en dimensions supérieures.