Self-Supervised Conformal Prediction with Equivariant Bootstrapping for Image Uncertainty Quantification

Résumé technique : Prédiction conforme auto-supervisée avec rééchantillonnage équivariant pour la quantification de l'incertitude en imagerie

Énoncé du problème
Les problèmes d'imagerie inverse, définis comme la récupération d'un signal sous-jacent $x^\star$ à partir d'observations bruitées $y = Ax^\star + \epsilon$, sont omniprésents dans des domaines scientifiques tels que l'astronomie et le diagnostic médical. Ces problèmes sont souvent mal posés, conduisant à de multiples solutions plausibles et à une incertitude de reconstruction significative. Bien qu'une quantification de l'incertitude (UQ) précise soit cruciale pour une analyse scientifique fiable, les méthodes existantes se heurtent à deux limitations principales :

1. Absence de garanties de précision : De nombreuses méthodes heuristiques d'UQ manquent de rigueur statistique.
2. Dépendance à la vérité terrain : Les méthodes statistiquement rigoureuses, telles que la prédiction conforme, nécessitent généralement des données de vérité terrain échangeables pour l'étalonnage. Dans de nombreux domaines (par exemple, la cosmologie), la vérité terrain est indisponible, coûteuse à simuler ou sujette à des décalages de distribution par rapport aux observations réelles. Le recours à des données d'étalonnage simulées peut introduire des biais cachés dans les inférences scientifiques en aval.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre d'UQ entièrement auto-supervisé qui combine le rééchantillonnage équivariant avec des ensembles de prédiction à contrôle de risque (RCPS) étalonnés via l'estimateur de risque non biaisé de Stein (SURE). La méthodologie se déroule comme suit :

1. Rééchantillonnage équivariant :

   • Au lieu du rééchantillonnage paramétrique standard (qui souffre de biais lors du rééchantillonnage à partir d'une seule estimation ponctuelle), la méthode exploite les symétries de la tâche d'imagerie.
   • Elle utilise un ensemble de transformations inversibles $\mathcal{G}$ (par exemple, rotations, retournements, décalages cycliques) qui laissent l'espace du signal invariant mais ne commutent pas avec l'opérateur direct $A$ ou la méthode de reconstruction.
   • Des observations de rééchantillonnage sont générées en appliquant des transformations aléatoires $T_{g_i} \in \mathcal{G}$ à l'estimateur $\hat{x}(y)$, en les faisant passer par le modèle de bruit, puis en inversant la transformation. Cela génère une distribution d'échantillons de rééchantillonnage $\{\tilde{x}_i\}$ qui reflète la variabilité de reconstruction sans nécessiter de vérité terrain.

2. Étalonnage auto-supervisé (RCPS avec SURE) :

   • Pour convertir des régions heuristiques de rééchantillonnage en ensembles de confiance statistiquement rigoureux avec une couverture garantie, le cadre emploie les RCPS.
   • Le défi : Les RCPS nécessitent un jeu de données d'étalonnage pour estimer le risque (taux d'erreur). Comme la vérité terrain est indisponible, les auteurs remplacent le vrai score de non-conformité $s(x^\star, \hat{x})$ par une estimation non biaisée dérivée de l'estimateur de risque non biaisé de Stein (SURE).
   • Score de non-conformité : Le score est défini dans l'espace de mesure comme $s_{A^\top A}(x^\star, \hat{x}(y)) = \frac{1}{m}\|Ax^\star - A\hat{x}(y)\|_2^2$.
   • Estimation SURE : La formule SURE fournit une estimation non biaisée de ce score en utilisant uniquement l'observation $y$ et l'opérateur de reconstruction $\hat{x}(y)$ :
     $$\text{SURE}(y) = \frac{1}{m}\|y - A\hat{x}(y)\|_2^2 - \text{tr}(\Sigma) + \frac{2}{m}\text{tr}\left(\Sigma \frac{\partial}{\partial y} A\hat{x}(y)\right)$$
   • Étalonnage : Un facteur d'échelle $\lambda$ est déterminé via un algorithme de recherche de racine pour garantir que l'ensemble de prédiction $C_{\lambda; \alpha}$ satisfait la contrainte de risque $P(R(C) \le \alpha) \ge 1 - \delta$, où le risque est estimé empiriquement à l'aide des valeurs SURE.

Contributions clés

• Cadre d'UQ auto-supervisé : L'article introduit une méthode générant une quantification de l'incertitude statistiquement rigoureuse, par image, sans aucune donnée d'étalonnage de vérité terrain, éliminant ainsi les biais de décalage de distribution entre les ensembles d'étalonnage et d'observation.
• Intégration du rééchantillonnage équivariant et des RCPS : Ce travail combine la génération d'incertitude agnostique de la méthode par rééchantillonnage équivariant avec les garanties statistiques des RCPS, affinées par le SURE.
• Application à la cartographie de masse par lentille faible : Le cadre est démontré sur le problème inverse cosmologique de reconstruction des champs de convergence de matière noire à partir de mesures de cisaillement galactique. Cette application est particulièrement sensible aux biais d'étalonnage, car les méthodes existantes reposent souvent sur des données simulées liées à des modèles cosmologiques spécifiques.
• Agnosticisme méthodologique : Le cadre d'UQ est indépendant de l'algorithme de reconstruction spécifique utilisé (par exemple, Kaiser-Squires, apprentissage profond, parcimonie en ondelettes), servant de couche d'étalonnage a posteriori.

Résultats expérimentaux
La méthode a été évaluée sur une tâche de cartographie de masse par lentille gravitationnelle faible utilisant des cartes de convergence simulées de l'enquête COSMOS de 300$\times$300 pixels.

• Configuration : Les reconstructions ont été effectuées à l'aide de la méthode Kaiser-Squires. Le rééchantillonnage équivariant a généré 100 échantillons par image en utilisant des transformations géométriques et des filtres de mise en cache fréquentielle.
• Étalonnage : Les RCPS ont été appliqués avec un taux d'erreur cible $\delta = 0.1$ en utilisant le SURE pour l'étalonnage.
• Performance : Les ensembles de prédiction conformalisés ont suivi de près la diagonale de couverture idéale à travers divers niveaux de confiance.
• Comparaison : L'approche conformalisée auto-supervisée a nettement surpassé le rééchantillonnage équivariant non conformalisé et le rééchantillonnage paramétrique. Le rééchantillonnage paramétrique a fourni une couverture négligeable, échouant à capturer une variabilité de reconstruction adéquate.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que ce cadre fournit une solution robuste pour l'UQ dans l'imagerie inverse où la vérité terrain est inaccessible. En évitant les données d'étalonnage simulées, la méthode empêche l'introduction de biais cachés qui pourraient compromettre l'inférence scientifique en aval, telle que l'estimation des paramètres cosmologiques. L'approche offre une alternative statistiquement rigoureuse aux méthodes existantes qui soit manquent de garanties de précision, soit reposent sur des ensembles de données simulées potentiellement biaisées.

Limites
L'article reconnaît plusieurs limites :

• Hypothèse d'échangeabilité : L'étape d'étalonnage suppose l'accès à plusieurs observations tirées de la même distribution. Dans la cartographie de masse réelle, une seule grande observation du ciel est souvent utilisée, et la génération d'émissions échangeables à partir de celle-ci peut ne pas satisfaire parfaitement cette hypothèse.
• Insensibilité au noyau : Le score basé sur le SURE est aveugle aux erreurs dans le noyau de l'opérateur direct $A$. Bien que cela soit moins critique pour la cartographie de masse (où $A$ est presque de rang plein), cela pourrait conduire à une sous-estimation de l'incertitude dans les problèmes inverses sévèrement de rang déficient.
• Granularité : Le cadre actuel quantifie l'incertitude au niveau de l'image (MSE) plutôt que de fournir des estimations d'incertitude par pixel, ce qui est courant dans les approches supervisées.
• Coût computationnel : La génération de nombreux échantillons de rééchantillonnage nécessite des algorithmes de reconstruction efficaces.