Résumé technique de ldmppr : Processus ponctuels marqués dépendants de la localisation dans R

Énoncé du problème

Les modèles de processus ponctuels sont largement utilisés pour analyser des événements se produisant dans l'espace et le temps, souvent enrichis de « marques » (attributs tels que la taille ou le type). Une hypothèse simplificatrice courante dans la littérature existante est que ces marques sont indépendantes des localisations spatiales des points. Cependant, dans de nombreux domaines scientifiques, en particulier la foresterie, cette hypothèse est intenable. Par exemple, les tailles des arbres (volumes de houppier) sont souvent influencées par des covariables spécifiques à la localisation telles que l'altitude, l'humidité du sol et l'ensoleillement, ainsi que par la distribution spatiale des arbres voisins.

Bien que des packages R tels que spatstat et ptProcess existent pour l'analyse des processus ponctuels, ils manquent souvent de flexibilité pour modéliser la dépendance entre les marques et les localisations, en particulier lorsque le motif spatial présente une régularité (inhibition), où les points tendent à se repousser mutuellement. Les approches traditionnelles de modélisation de la régularité, telles que les processus de Gibbs, sont coûteuses en calcul en raison de constantes de normalisation intraitables et de la dépendance aux algorithmes MCMC. Il existe un besoin d'un cadre évolutif en calcul capable d'estimer, de simuler et d'évaluer des modèles où les marques dépendent à la fois de la localisation spatiale et de l'historique du processus.

Méthodologie

L'article présente ldmppr, un package R qui implémente un cadre basé sur la vraisemblance pour les processus ponctuels marqués dépendants de la localisation, caractérisés par une régularité. La méthodologie centrale consiste à mapper un processus ponctuel marqué spatial sur un processus ponctuel marqué spatio-temporel, permettant l'utilisation de techniques d'estimation et de simulation basées sur la vraisemblance établies.

1. Mappage spatio-temporel

Les auteurs étendent l'approche mécaniste de Møller et al. (2016) et le processus auto-correcteur de Isham et Westcott (1979).

• Mappage temporel : Les marques primaires (par exemple, la taille de l'arbre) sont mappées sur des temps d'arrivée $t$ dans l'intervalle $[0, 1]$ en utilisant une transformation puissance :
  $$\tilde{T}_i = 1 - \left[ \frac{M_{i1} - \min(M_{j1})}{\max(M_{j1}) - \min(M_{j1})} \right]^\delta$$
  où $\delta$ contrôle la forme du mappage. Cet ordonnancement traite les points de la plus grande à la plus petite marque, conditionnant le processus sur un « point d'ancrage » (le point ayant la plus grande marque).
• Décomposition du processus : La fonction d'intensité conditionnelle $\lambda^*(t, y, x)$ est décomposée en :
  • Processus de temps d'arrivée ($\lambda^*_1$) : Un processus auto-correcteur où l'intensité diminue à mesure que le nombre d'événements augmente, imposant la régularité.
  • Processus spatial ($h^*_2$) : Une fonction d'interaction basée sur la distance euclidienne qui définit des régions circulaires inhibitrices autour des points existants.
  • Processus de marque conditionnelle ($g^*_3$) : Un modèle flexible et non linéaire (par exemple, Random Forest ou Gradient Boosted Trees) prédisant la marque secondaire étant donné le temps, la localisation et les covariables.
  • Interaction spatio-temporelle ($f^*_4$) : Un terme régulant la co-occurrence des points dans l'espace et le temps.

2. Estimation et simulation

• Estimation des paramètres : Le cadre sépare l'estimation des paramètres spatio-temporels (via une optimisation de vraisemblance maximale utilisant la bibliothèque nloptr) et les paramètres du modèle de marque (via l'apprentissage automatique). Cette modularité permet d'utiliser des modèles non linéaires complexes pour les marques tout en maintenant une efficacité computationnelle pour le processus spatial.
• Stratégies d'optimisation : Le package prend en charge diverses stratégies d'optimisation, notamment « local », « global_local » et « multires_global_local », en utilisant des algorithmes tels que NLOPT_GN_CRS2_LM et NLOPT_LN_BOBYQA.
• Simulation : Les réalisations sont générées en utilisant une fonction d'intensité intégrée dans le temps et un échantillonnage par rejet, permettant la génération de nouveaux motifs ponctuels conditionnels aux paramètres estimés.

3. Adéquation du modèle

Le package utilise des Tests d'Enveloppe Globale (GET) avec une suite de fonctions de résumé non paramétriques (L, F, G, J, E et V) pour évaluer l'adéquation du modèle. Cela inclut des tests combinés pour contrôler la multiplicité à travers les distances et les types de résumé.

Contributions clés

La contribution principale est le package R ldmppr, qui fournit un flux de travail modulaire pour :

1. Estimer les paramètres des processus ponctuels marqués auto-correcteurs avec des marques dépendantes de la localisation.
2. Entraîner des modèles d'apprentissage automatique flexibles pour la distribution de marque conditionnelle en utilisant des covariables spatiales et des indices de compétition.
3. Évaluer l'adéquation du modèle via des tests d'enveloppe globale et des diagnostics visuels.
4. Simuler des motifs ponctuels réalistes à partir du modèle ajusté.

Le package est conçu pour être adaptable, permettant aux utilisateurs de substituer des composants spécifiques (par exemple, différents modèles de marque ou stratégies d'optimisation) tout en maintenant la structure globale.

Résultats

L'article démontre l'utilité du package en utilisant un jeu de données forestières des montagnes Rocheuses du Sud, contenant les localisations d'arbres conifères et les volumes de houppier, ainsi que des covariables topographiques (Exposition, Indice d'humidité, Altitude, Pente).

• Ajustement initial : Une estimation de modèle initiale avec une grille grossière et un budget d'optimisation modéré a résulté en un mauvais ajustement (valeur p combinée = 0,002). Les enveloppes simulées n'ont pas réussi à capturer la distribution de la distance au plus proche voisin ($G(r)$) et la variance des marques ($V(r)$) des données de référence.
• Ajustement affiné : En augmentant la résolution de la grille, en élargissant le budget d'optimisation, en utilisant une stratégie multi-résolution (« multires_global_local »), en augmentant le nombre de démarrages d'optimisation et en affinant l'entraînement du modèle de marque (augmentation du nombre de plis de validation croisée et de la taille de la grille de réglage), l'ajustement du modèle s'est considérablement amélioré.
• Résultat : Le modèle affiné a atteint une valeur p de test d'enveloppe globale combinée de 0,2819, indiquant que les données de référence sont compatibles avec le modèle ajusté. Les comparaisons visuelles et les histogrammes ont confirmé que le modèle amélioré a réussi à reproduire à la fois l'inhibition spatiale et la distribution des volumes de houppier observés dans les données de référence.

Importance et affirmations

Les auteurs affirment que ldmppr offre une alternative computationnellement faisable aux processus de Gibbs pour modéliser des processus ponctuels marqués réguliers avec dépendance de la localisation. En tirant parti d'une approche basée sur la vraisemblance et en séparant les tâches de modélisation spatiale et de marque, le package permet :

• Évolutivité : Une estimation et une simulation efficaces pour des processus qui seraient prohibitifs en calcul avec les approches de Gibbs basées sur MCMC.
• Flexibilité : La capacité d'intégrer des relations complexes et non linéaires entre les marques et les covariables spatiales en utilisant des techniques modernes d'apprentissage automatique.
• Utilité pratique : Un flux de travail rationalisé pour les chercheurs en écologie, foresterie et autres domaines afin de générer des motifs ponctuels réalistes et d'évaluer rigoureusement l'adéquation du modèle.

L'article reconnaît que l'implémentation actuelle se concentre sur les processus présentant une régularité (inhibition) et note que le développement futur vise à étendre le cadre pour gérer les comportements de regroupement tout en maintenant l'accent sur les marques dépendantes de la localisation.