A Functional Data Framework For Analyzing Shapes and Textures in Images

Résumé technique : Un cadre de données fonctionnelles pour l'analyse des formes et des textures dans les images

Énoncé du problème
L'article traite des défis de l'analyse statistique d'images, plus précisément des limites des représentations basées sur les pixels. Bien que les images soient de plus en plus disponibles pour des applications allant du diagnostic médical à l'agronomie, le fait de les traiter comme des matrices de haute dimension avec des structures de corrélation complexes rend les méthodes statistiques classiques inadaptées. De plus, les approches dominantes telles que les réseaux de neurones convolutifs (CNN), bien qu'efficaces, souffrent de coûts de calcul élevés et d'un manque d'interprétabilité. Les auteurs soutiennent qu'à mesure que les technologies d'acquisition produisent des images plus détaillées, la charge de calcul des modèles basés sur les pixels augmentera, nécessitant le développement de méthodes statistiques « frugales » qui respectent la nature continue des contours d'objets et des textures.

Méthodologie
Le cadre proposé déplace la perspective de la grille de pixels discrète vers une analyse de données fonctionnelles (FDA), modélisant les images comme des observations de fonctions aléatoires continues. La méthodologie se déroule selon les étapes suivantes :

1. Segmentation d'image et extraction de contour :
   Le processus commence par l'identification d'un objet unique au sein d'une image $I$ pour obtenir sa silhouette $I'$. La frontière de l'objet est représentée par une courbe plane fermée $C: [0, 1] \to \mathbb{R}^2$. En utilisant des algorithmes tels que le seuillage d'Otsu et la méthode des carrés marchants (marching squares), la silhouette discrète est convertie en un contour fonctionnel.

2. Analyse de forme (Alignement de déformation) :
   Suite aux travaux de Moindjié et al. (2025), le contour $C$ est décomposé en une composante de forme $\tilde{C}$ (au sens de Kendall) et des variables de déformation : mise à l'échelle uniforme ($\rho$), translation ($c$), rotation ($O$) et reparamétrage ($\gamma$). Les auteurs estiment ces variables pour aligner et centrer les courbes, produisant une variable de forme $S$ qui est invariante à ces transformations. Cela permet l'analyse statistique de la forme de l'objet indépendamment de sa position ou de sa taille.

3. Représentation de la texture via des domaines étoilés :
   Une innovation centrale est le traitement de la texture (variation de la couleur intérieure). Le cadre suppose que le domaine intérieur de l'objet $D$ est étoilé par rapport à un point central $c$. Sous cette hypothèse, les auteurs définissent une application $\phi$ qui transforme le disque unité $\mathbb{D}$ vers l'intérieur de l'objet $D$.

   • Cette application permet à la fonction de texture $T^*(u) = I(u)$, initialement définie sur le domaine irrégulier $D$, d'être reparamétrée sur le disque unité $\mathbb{D}$ (ou un carré $[0,1]^2$ via une transformation bijective $g$).
   • La texture résultante $T(v)$ est une surface aléatoire définie sur un domaine commun, permettant l'application des techniques standard de données fonctionnelles.

4. Modélisation statistique jointe :
   Le cadre construit une variable fonctionnelle jointe $Z$ combinant la texture $T \circ g$ et le contour aligné $\tilde{C}$. Pour la classification supervisée, les auteurs emploient des modèles linéaires où la réponse $Y$ est régressée sur $Z$.

   • Puisque l'espace des formes est une variété non linéaire, la composante de forme est projetée sur l'espace tangent au sens de Fréchet $\mu$.
   • Pour gérer la nature mal posée de la régression avec des covariables fonctionnelles, les auteurs utilisent l'Analyse en Composantes Principales Fonctionnelles Multivariées (MFPCA) et les Moindres Carrés Partiels Fonctionnels Multivariés (MFPLS) pour estimer les coefficients de régression.

Contributions clés

• Représentation frugale : L'article introduit une représentation parcimonieuse des images qui sépare explicitement la forme (contour) et la texture (couleur intérieure), évitant ainsi la haute dimensionnalité des matrices de pixels.
• Application de la forme étoilée : Il fournit une application théorique et pratique pour l'analyse de texture sous l'hypothèse du domaine étoilé, permettant l'intégration des variations de couleur intérieure sans nécessiter de points de repère annotés.
• Cadre fonctionnel conjoint : Il étend l'analyse précédente uniquement basée sur les contours (Moindjié et al., 2025) à une analyse conjointe des contours et des textures, traitant les deux comme des variables fonctionnelles continues.
• Interprétabilité : En utilisant des modèles linéaires sur des données fonctionnelles, l'approche offre une alternative plus interprétable aux « boîtes noires » du deep learning.

Résultats
Le cadre a été évalué sur un ensemble de données réelles de 2 148 images de pistaches (deux variétés : Kirmizi et Siirt) provenant de Singh et al. (2022). L'étude a impliqué :

• Augmentation de données : Des rotations aléatoires et des zooms ont été appliqués pour tester la robustesse face aux déformations.
• Comparaison : La méthode proposée (« OUR ») a été comparée à un concurrent de référence (« COMP ») qui traite les images comme des surfaces aléatoires (régression scalaire sur image) sans séparation explicite forme/texture.
• Performance : En utilisant une validation croisée à 10 plis, le cadre proposé a atteint une précision et un score F1 nettement plus élevés.
  • OUR (MFPCA) : 77 % de précision, 74 % de F1.
  • OUR (MFPLS) : 76 % de précision, 73 % de F1.
  • COMP (MFPCA) : 63 % de précision, 42 % de F1.
  • COMP (MFPLS) : 57 % de précision, 54 % de F1.
    Le concurrent de référence a obtenu des performances proches du hasard, tandis que le cadre proposé a démontré des capacités de discrimination robustes.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que ce travail établit un nouveau paradigme pour l'analyse statistique d'images en modélisant explicitement les aspects primaires des images (forme et texture) comme des fonctions continues plutôt que comme des pixels discrets. La signification réside dans :

1. Efficacité : Il offre une alternative plus légère en termes de calcul (« frugale ») aux CNN et aux modèles de pixels de haute dimension.
2. Robustesse : La gestion explicite des variables de déformation (rotation, mise à l'échelle) permet au modèle de bien performer même lorsque les objets ne sont pas parfaitement alignés.
3. Applicabilité : L'hypothèse de la forme étoilée est présentée comme une condition faible satisfaite par de nombreux objets en analyse d'images (ex: cellules biologiques, feuilles, organes), rendant la méthode largement applicable.

L'article note modestement que la dépendance à l'hypothèse du domaine étoilé est une limite pour les objets non étoilés (comme un fer à cheval) et suggère que les travaux futurs pourraient explorer des extensions de l'enveloppe convexe ou l'incorporation des couleurs d'arrière-plan pour gérer des géométries plus complexes.