Résumé technique : Relations de balayage des effets moyens de traitement pondérés

1. Énoncé du problème

Dans l'inférence causale observationnelle, les chercheurs estiment souvent différents effets moyens de traitement (ATE) selon la population cible. Les estimands courants incluent l'effet moyen du traitement sur les traités (ATT), l'effet moyen du traitement sur les contrôles (ATC), et l'effet moyen du traitement sous le poids de recouvrement (ATO). Bien que l'ATE standard soit connu pour être une combinaison convexe de l'ATT et de l'ATC, la relation entre l'estimand pondéré par le recouvrement (ATO) et ces estimands traditionnels n'a pas été caractérisée de manière générale.

L'ATO est défini par une pondération des unités proportionnelle à la variance conditionnelle du traitement compte tenu des covariables, $e(X)\{1-e(X)\}$, où $e(X)$ est le score de propension. Ce schéma de pondération est apprécié pour sa robustesse aux scores de propension extrêmes et sa connexion avec les estimateurs basés sur la régression. Cependant, sans un ordre théorique, il reste incertain si l'ATO se situe entre l'ATT et l'ATC ou s'il peut les dépasser. Cet article cherche à établir une relation de « balayage » (bracketing) entre ces estimands sous des conditions de monotonie spécifiques.

2. Méthodologie et cadre théorique

2.1 Cadre observationnel

Les auteurs travaillent dans le cadre standard des résultats potentiels sous l'hypothèse d'un déconfondage (unconfoundedness). Ils définissent l'effet moyen conditionnel du traitement (CATE) comme $\tau(X) = E\{Y(1) - Y(0) | X\}$. L'objet théorique clé est la fonction P-CATE, $g(e) = E\{\tau(X) | e(X) = e\}$, qui représente la moyenne conditionnelle du CATE étant donné une valeur spécifique du score de propension.

L'hypothèse centrale pilotant les résultats est l'Hypothèse 1, qui pose que $g(e)$ est soit non décroissante, soit non croissante. Cette hypothèse implique que les unités ayant une propension plus élevée (ou plus faible) à recevoir le traitement ont tendance à avoir des effets de traitement systématiquement plus grands (ou plus petits) en moyenne. Il s'agit d'une condition plus faible que l'exigence d'une relation monotone entre $\tau(X)$ et $e(X)$.

2.2 Cadre de la variable instrumentale (IV)

Le cadre est étendu au contexte de l'effet local du traitement sur les traités (LATE) avec une variable instrumentale binaire $Z$ et un traitement binaire $D$. L'analyse se concentre sur la sous-population des « complieurs ». Les auteurs définissent des analogues locaux de l'ATT, de l'ATC et de l'ATO ($\tau^c_{ATT}, \tau^c_{ATC}, \tau^c_{ATO}$) et introduisent une fonction de P-CATE locale, $g_c(e)$, définie sur la strate des complieurs. L'Hypothèse 4 impose la même condition de monotonie sur $g_c(e)$.

2.3 Généralisation aux poids Beta

L'article généralise ces résultats à une famille de poids beta définis comme $\beta_{u,v}(x) = e(x)^{u-1}\{1-e(x)\}^{v-1}$ pour $u, v \geq 1$. Cette famille englobe l'ATE ($u=1, v=1$), l'ATT ($u=2, v=1$), l'ATC ($u=1, v=2$) et l'ATO ($u=2, v=2$) comme cas particuliers.

2.4 Interprétations de régression

Les auteurs relient ces estimands pondérés à des coefficients de régression :

• MCO (OLS) : Sous linéarité du score de propension, le coefficient du traitement dans une régression MCO de la population de $Y$ sur $Z$ et $X$ est égal à $\tau_{ATO}$.
• TSLS : Dans le contexte IV, sous linéarité du score de propension de l'IV, l'estimateur des moindres carrés en deux étapes (TSLS) de la population est égal au LATE pondéré par le recouvrement ($\tau^c_{ATO}$).

3. Résultats clés

3.1 Théorèmes de balayage

• Théorème 1 (Observationnel) : Sous l'hypothèse de monotonie sur $g(e)$, $\tau_{ATO}$ est borné entre $\tau_{ATT}$ et $\tau_{ATC}$. Plus précisément, si $g(e)$ est non décroissante, $\tau_{ATC} \leq \tau_{ATO} \leq \tau_{ATT}$ ; si elle est non croissante, l'inégalité s'inverse.
• Théorème 2 (IV) : Analogiquement, sous l'hypothèse de monotonie sur $g_c(e)$, le LATE pondéré par le recouvrement ($\tau^c_{ATO}$) est encadré par l'ATT local et l'ATC local.
• Proposition 1 : Sous une spécification linéaire de la moyenne conditionnelle du CATE, $\tau_{ATO}$ est explicitement montré comme étant une combinaison convexe de $\tau_{ATT}$ et $\tau_{ATC}$, avec un poids de mélange $\lambda$ déterminé par la distribution du score de propension.

3.2 Ordre des poids Beta

• Théorème 4 : Pour la famille générale des poids beta, l'estimand $\tau_{u,v}$ est monotone en ses paramètres $u$ et $v$. Si $g(e)$ est non décroissante, $\tau_{u,v}$ augmente avec $u$ et diminue avec $v$. Cela établit un treillis d'ordre parmi tous les estimands pondérés par beta.
• Proposition 3 : Les estimands beta adjacents satisfaisent une relation de combinaison convexe sous l'hypothèse de spécification linéaire.

3.3 Pondération générale

• Théorème 6 : Les auteurs fournissent une condition suffisante pour comparer deux estimands pondérés quelconques basée sur une propriété de « passage par zéro » (one-crossing) de la différence entre leurs fonctions de pondération par rapport à la monotonie de la moyenne conditionnelle de l'effet.

4. Illustrations empiriques

L'article valide le balayage théorique par deux ensembles d'analyses empiriques :

1. Études observationnelles : Huit ensembles de données (incluant le cathétérisme cardiaque droit, la légalisation de l'avortement et l'éligibilité au 401(k)) ont été analysés. Les auteurs ont construit des « CP-plots » (graphiques de propension conditionnelle) du CATE estimé ($\hat{\tau}(X)$) contre les scores de propension estimés ($\hat{e}(X)$).

   • Résultats : Dans les huit cas, la relation entre $\hat{\tau}(X)$ et $\hat{e}(X)$ était approximativement monotone dans la région de support bien supportée (la zone centrale de recouvrement).
   • Résultat : L'ATO estimé tombait systématiquement entre l'ATT et l'ATC estimés, la direction de l'ordre correspondant à la tendance visuelle (croissante ou décroissante) dans les CP-plots.

2. Étude IV : Le jeu de données 401(k) d'Abadie (2003) a été réexaminé.

   • Méthode : Un lisseur pondéré par les complieurs du ratio de Wald conditionnel a été tracé contre le score de propension de l'IV.
   • Résultat : La relation était légèrement croissante, et le LATE pondéré par le recouvrement se situait entre l'ATC local et l'ATT local, ce qui est cohérent avec les prédictions théoriques.

5. Signification et recommandations

L'article affirme combler une lacune dans la littérature en caractérisant la relation entre l'estimand pondéré par le recouvrement, de plus en plus populaire, et les estimands traditionnels. La signification réside dans :

1. Unification théorique : Il démontre que l'ATO n'est pas un estimand isolé mais est structurellement borné par l'ATT et l'ATC sous une condition de monotonie plausible.
2. Diagnostic pratique (CP-plot) : Les auteurs recommandent de tracer le CATE estimé en fonction des scores de propension estimés comme outil de diagnostic. Si le graphique montre une monotonie dans la région de support bien supportée, les chercheurs peuvent être convaincus que l'ATO (et le LATE pondéré par le recouvrement) se situe entre l'ATT et l'ATC.
3. Robustesse : Les résultats tiennent même lorsque l'hypothèse de monotonie est violée dans les queues de la distribution du score de propension, à condition que le poids de recouvrement réduise le poids de ces régions (ce qu'il fait naturellement).
4. Stratégie de rapport : L'article suggère que les chercheurs devraient rapporter l'ATT, l'ATO et l'ATC (ou leurs analogues locaux IV) aux côtés du CP-plot. Cela permet aux lecteurs d'évaluer la sensibilité des conclusions causales à la population cible et de vérifier si la relation de balayage tient empiriquement.

Les auteurs soulignent que ces graphiques sont des diagnostics descriptifs plutôt que des tests statistiques formels de monotonie, et que les conclusions de balayage doivent être interprétées avec prudence si la relation est visiblement non monotone dans la région centrale des données.