Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

Résumé technique : Dynamique hybride des blocs basculants au-delà du renversement

Énoncé du problème
Les blocs basculants sont des modèles fondamentaux pour comprendre la réponse sismique de structures rigides telles que les murs de maçonnerie, les statues et les réservaux d'eau surélevés. Bien que la prévention du renversement ait traditionnellement été l'objectif d'ingénierie primaire, les oscillations non linéaires précédant l'effondrement présentent des comportements complexes, incluant des régimes multipériodiques et chaotiques. Un facteur critique régissant ces dynamiques est la dissipation d'énergie lors des impacts, modélisée par le coefficient de restitution (COR).

Bien que le modèle classique de Housner, qui dérive le COR de la conservation du moment cinétique, soit la norme depuis des décennies, des études récentes ont mis en évidence des divergences entre ses prédictions et les comportements d'impact expérimentaux. Des formulations alternatives, telles que le modèle de redistribution de l'énergie cinétique proposé par Mao et al., ont été suggérées pour mieux correspondre aux données expérimentales, particulièrement pour les blocs ayant de faibles ratios d'élancement. Cependant, les implications de l'adoption de ces formulations de restitution alternatives sur la dynamique globale des systèmes de basculement — spécifiquement la stabilité des attracteurs, les structures de bifurcation et l'accessibilité des mouvements bornés — restent largement inexplorées.

Méthodologie
Les auteurs formulent le bloc basculant comme un système dynamique hybride non lisse soumis à une excitation de base harmonique. Le système est défini par un corps rigide rectangulaire de masse $M$, de largeur $2b$ et de hauteur $2h$, basculant sans glissement sur une fondation rigide. La dynamique est régie par des équations différentielles de type partitionné (piecewise-autonomous) qui basculent selon le pivot actif.

Pour analyser le système, les auteurs comparent deux modèles de restitution distincts :

1. Modèle de Housner ($e_H$) : Dérivé de la conservation du moment cinétique, dépendant uniquement de la géométrie du bloc (angle critique $\theta_c$).
2. Modèle de Mao et al. ($e_M$) : Dérivé d'une analyse vectorielle du champ de vitesse, tenant compte de la dissipation d'énergie et de la récupération élastique à l'interface de contact.

L'étude emploie une caractérisation numérique complète utilisant :

• Diagrammes de bifurcation : Pour cartographier les changements qualitatifs de la réponse asymptotique (périodique, multipériodique, chaotique, renversement) à mesure que l'amplitude de l'excitation ($\alpha$) varie.
• Exposants de Lyapunov maximaux ($\lambda_{max}$) : Calculés à l'aide de l'algorithme de Benettin–Wolf avec ré-orthogonalisation QR et matrices de saltation pour gérer les discontinuités lors de l'impact, identifiant les régimes chaotiques versus les régimes périodiques stables.
• Bassins d'attraction : Construits par discrétisation de l'espace des conditions initiales pour déterminer l'accessibilité globale des différents résultats dynamiques (mouvement amorti, oscillations soutenues, renversement).

Les simulations ont été menées pour deux ratios d'élancement ($h/b = 1$ et $h/b = 2$) sous des paramètres géométriques et d'excitation identiques, isolant l'effet de la loi de restitution sur l'évolution du système.

Contributions clés et résultats
L'étude démontre que le choix du modèle de restitution modifie de manière significative le paysage dynamique prédit, particulièrement pour les blocs à faible élancement.

• Divergence dans les blocs à faible élancement ($h/b = 1$) :

  • La formulation de Mao et al. prédit des valeurs de restitution plus élevées (dissipation d'énergie plus faible) par rapport au modèle de Housner, entraînant une différence de pourcentage symétrique d'environ 79,85 %.
  • Cette réduction de la dissipation conduit à un début plus précoce des comportements oscillatoires complexes et à une plage de paramètres plus large pour la dynamique chaotique.
  • Analyse des bassins : Le modèle de Mao contracte substantiellement le bassin d'attraction des oscillations symétriques stables (le réduisant d'environ 55 % à 20 % des conditions initiales) et augmente significativement la prévalence des résultats de renversement (de ~44 % à ~80 %). Les frontières du bassin oscillatoire deviennent fragmentées et irrégulières, indiquant une sensibilité accrue aux conditions initiales.
  • L'accord global entre les prédictions des deux modèles pour $h/b=1$ n'est que de 64,09 %, ce qui signifie que plus d'un tiers des conditions initiales mènent à des destins qualitativement différents selon le modèle d'impact utilisé.

• Convergence dans les blocs à fort élancement ($h/b = 2$) :

  • À mesure que le ratio d'élancement augmente, la divergence entre les deux coefficients de restitution diminue (la différence symétrique tombe à ~17 %).
  • Par conséquent, les structures de bifurcation et les distributions d'exposants de Lyapunov convergent progressivement pour les deux modèles.
  • Bien que le modèle de Mao introduise toujours des attracteurs multipériodiques dans la région bornée, l'accord global entre les modèles s'élève à 86,93 %, suggérant que les blocs plus hauts sont moins sensibles à la formulation spécifique du coefficient de restitution.

Signification et affirmations
L'article soutient que le coefficient de restitution ne doit pas être perçu simplement comme un paramètre local régissant la perte d'énergie lors d'un impact unique, mais comme une hypothèse de modélisation capable de modifier fondamentalement l'organisation globale de l'espace des phases.

Les auteurs affirment que les formulations de restitution alternatives, souvent adoptées pour s'aligner avec les données d'impact expérimentales, peuvent produire des prédictions à long terme nettement différentes de celles du modèle classique de Housner. Plus précisément, le choix du modèle influence :

1. Les seuils de stabilité et la localisation des transitions dynamiques (bifurcations).
2. La taille et la robustesse des bassins d'attraction pour un basculement symétrique sûr et borné.
3. La susceptibilité du système au renversement sous des conditions d'excitation identiques.

L'étude conclut que pour les blocs à faible élancement, le modèle d'impact est un déterminant critique de la sécurité et du comportement du système, tandis que pour les blocs plus hauts, les caractéristiques dynamiques deviennent plus robustes aux variations de la modélisation de la restitution. Les auteurs maintiennent un champ d'application modeste, notant que leur analyse repose sur des hypothèses de corps rigides idéalisés et ne tient pas compte de la déformation des matériaux, du glissement ou de la dissipation viscoélastique, qui sont des domaines pour des raffinements futurs.