Gaussian processes on ray-guided transformed uniform grids for fast, flexible, and auto-differentiable adaptive source reconstruction in lens modelling

Résumé Technique : Processus Gaussiens sur des Grilles Uniformes Transformées par Guidage de Rayons

Énoncé du Problème
Le lentillage gravitationnel fort (SGL) est un outil crucial pour contraindre la cosmologie et les distributions de matière noire, mais une inférence robuste dépend fortement d'une reconstruction précise de la source. Un défi fondamental dans le SGL est le contenu informationnel non uniforme à travers le plan de la source : les régions produisant des images multiples (par exemple, quatre images) ont des taux d'échantillonnage plus élevés que celles qui en produisent moins, et la magnification varie de manière continue. Les techniques traditionnelles de maillage adaptatif, telles que les tessellations de Delaunay ou le partitionnement de Voronoi, tentent de remédier à cela en plaçant la résolution là où elle est nécessaire. Cependant, ces méthodes reposent souvent sur des opérations discontinues (par exemple, le basculement des arêtes du maillage entre les sommets à mesure que les modèles de masse changent), ce qui peut briser la différentiabilité requise par les cadres d'inférence modernes et restreindre les choix de régularisation. À l'inverse, les priors de Processus Gaussien (GP) standards offrent une régularisation flexible mais nécessitent généralement des grilles régulières pour utiliser les Transformées de Fourier Rapides (FFT) afin d'optimiser l'efficacité computationnelle, créant ainsi une tension entre adaptativité et différentiabilité.

Méthodologie
Les auteurs proposent une nouvelle approche de reconstruction de source utilisant une grille Uniforme Transformée par Guidage de Rayons (RTU). Cette méthode vise à combiner l'efficacité computationnelle des GP basés sur les FFT sur des grilles uniformes avec la résolution adaptative requise par les données de lentillage.

1. Construction de la Grille RTU :

   • La source est modélisée sur une grille uniforme dans un espace de coordonnées transformées $\mathbf{y} = \mathbf{g}(\mathbf{x})$.
   • La transformation $\mathbf{g}$ est dérivée des fonctions de répartition empiriques (eCDF) des rayons tracés en retour du plan d'image vers le plan de la source.
   • Plus précisément, les auteurs projettent les positions des rayons sur chaque axe de coordonnées, les trient pour former des eCDF unidimensionnelles, et ajustent des splines cubiques à ces distributions. Cela garantit que la transformation est au moins deux fois continûment différentiable.
   • Les eCDF sont construites en utilisant uniquement les rayons tombant à l'intérieur d'un masque d'arc (défini par des seuils de rapport signal sur bruit), garantissant que la résolution est allouée uniquement aux régions où la source est observée.
   • La transformation étire les coordonnées du plan de la source de sorte que la densité de rayons devienne approximativement uniforme dans les nouvelles coordonnées $\mathbf{y}$.

2. Modélisation de la Source :

   • La luminosité de la source est définie comme un Processus Gaussien sur cette grille uniforme transformée.
   • Le GP est réalisé en générant du bruit blanc dans l'espace de Fourier, en multipliant par la racine carrée d'un spectre de puissance (spécifiquement un spectre de puissance de Matérn flexible), et en appliquant une FFT inverse.
   • La positivité est imposée via une fonction softplus, et la luminosité finale de la source est mise à l'échelle par une loi de puissance pour permettre des caractéristiques plus nettes.
   • La correspondance de retour vers le plan de la source physique est effectuée via $s_{source}(\mathbf{x}) = s^*_{source}(\mathbf{g}(\mathbf{x}))$.

3. Cadre d'Inférence :

   • L'approche est implémentée au sein de Herculens, un cadre de modélisation directe auto-différentiable écrit en JAX.
   • L'inférence est réalisée par Inférence Variationnelle Stochastique (SVI) avec Numpyro, optimisant la Borne Inférieure de l'Évidence (ELBO).
   • La méthode supporte des choix arbitraires de spectre de puissance pour la régularisation, conservant la flexibilité des GP tout en exploitant la vitesse des FFT.

Contributions Clés

• Adaptativité Différentiable : La grille RTU fournit un schéma de résolution adaptative qui est continûment différentiable, surmontant les problèmes de discontinuité des maillages de Delaunay/Voronoi tout en conservant la vitesse des GP basés sur les FFT.
• Règle Empirique d'Efficacité : Les auteurs proposent une heuristique pour sélectionner le nombre de pixels de la source ($N_{src}$) basé sur la densité de rayons, suggérant environ 4 rayons par pixel pour correspondre aux degrés de liberté de l'interpolation bilinéaire.
• Implémentation : La méthode est pleinement intégrée au cadre Herculens, la rendant compatible avec les algorithmes d'échantillonnage à l'état de l'art et les flux de travail auto-différentiables.

Résultats
Les auteurs ont testé la grille RTU sur trois jeux de données fictifs (simulant la qualité NIRCAM de JWST) et des données réelles du système de lentille SDSS J0946+1006.

• Qualité de l'Ajustement et Efficacité des Pixels : La grille RTU atteint une qualité d'ajustement dans le plan image ($\chi^2_{img}$) comparable à celle des grilles uniformes, mais nécessite environ la moitié du nombre de pixels par dimension (un facteur $\simeq 4$ de pixels totaux en moins) pour atteindre les résidus du niveau de bruit.
• Performance de l'ELBO : Pour un même nombre de pixels, la grille RTU produit généralement des Bornes Inférieures de l'Évidence (ELBO) plus élevées que les grilles uniformes, indiquant un meilleur ajustement aux données sous l'approximation variationnelle.
• Sensibilité aux Substructures : L'utilisation de la grille RTU n'affecte que légèrement la différence d'ELBO entre les modèles avec et sans substructures. La méthode distingue avec succès les modèles avec et sans substructures (par exemple, dans Mock 1 et SDSS J0946+1006) sans gonfler artificiellement la préférence pour la substructure due aux artefacts de grille.
• Précision de la Reconstruction de la Source : Lorsque le modèle de masse sous-jacent est précis, la grille RTU produit des reconstructions de source plus précises (plus faible $\Delta^2_{src}$) avec moins de pixels que l'approche de la grille uniforme.

Signification et Revendications
L'article affirme que la méthode de la grille RTU résout le compromis entre réalisme, flexibilité, auto-différentiabilité et efficacité computationnelle. En garantissant que les pixels de la source contiennent un nombre plus uniforme de rayons, la méthode permet une reconstruction de source de haute fidélité avec un coût computationnel considérablement réduit. Les auteurs soutiennent que cette approche est particulièrement bénéfique pour l'analyse de grands échantillons de systèmes de lentilles, tels que ceux attendus de l'enquête Euclid, où une modélisation de source robuste et flexible est critique pour minimiser les biais dans les contraintes cosmologiques et de matière noire. La méthode est présentée comme une amélioration pratique des techniques de maillage adaptatif existantes, offrant une alternative rapide, flexible et auto-différentiable qui ne compromet pas la capacité à détecter les substructures.