Bayesian Seasonal Adjustment for Survey Time Series

Résumé Technique : Ajustement Saisonnier Bayésien pour les Séries Temporelles d'Enquêtes

Énoncé du Problème
Les procédures actuelles d'ajustement saisonnier employées par les offices nationaux de statistique (ONS), spécifiquement X-11 et X-12-ARIMA, traitent les estimations issues d'enquêtes comme des observations exactes. Cette approche rejette les erreurs types ($SE^d_t$) qui accompagnent systématiquement les estimations et qui sont régulièrement calculées par les méthodologistes des enquêtes. Par conséquent, les mois présentant une variance d'échantillonnage élevée (coefficient de variation, CV élevé) reçoivent le même poids dans les filtres saisonniers que les mois à faible variance, bien que les premiers présentent un bruit de mesure nettement plus important. Cette limitation structurelle empêche ces méthodes de distinguer une dérive saisonnière réelle des fluctuations causées par l'erreur d'échantillonnage, et elles ne parviennent pas à fournir des mesures d'incertitude (par exemple, des intervalles de crédibilité) pour les mouvements de tendance ou les changements de direction.

Méthodologie
Le document propose le Modèle Structurel Bayésien de Mini-Max Dynamique (DMM-BSM), un cadre qui intègre directement les variances d'erreur d'échantillonnage variables dans le temps au sein d'un Modèle Structurel de Base (BSM) dans un schéma d'inférence entièrement bayésien.

1. Hiérarchie du Modèle :

   • Modèle d'Échantillonnage : Relie l'estimation directe de l'enquête $Y^d_t$ à l'état latent du BSM $\alpha^d_t$ via une équation de mesure : $Y^d_t = Z^\top \alpha^d_t + e^d_t$, où la variance de l'erreur $V^d_t = (SE^d_t)^2$ est traitée comme connue et variable dans le temps. Cela contraste avec l'hypothèse standard du BSM de variance d'erreur de mesure nulle.
   • Modèle de Liaison : Hérité de Tam (2026), ce composant permet de mutualiser l'information entre les strates via une régression hiérarchique, bien que l'illustration empirique opère au niveau du domaine où les données au niveau de la strate ne sont pas disponibles.
   • Modèle de Propagation : Remplace le modèle AR(1) des travaux précédents par un vecteur d'état BSM de 12 dimensions comprenant un niveau local de tendance ($L_t$) et une composante saisonnière stochastique ($\gamma_t$) pour les données mensuelles ($s=12$). Les matrices de système $T$ et $R$ sont fixes et ne contiennent aucun paramètre libre.

2. Équivalence Théorique :
   Le document s'appuie sur l'équivalence Harvey–Todd (1983), qui établit qu'un BSM avec une variance d'erreur de mesure nulle ($V_t=0$) se réduit au modèle ARIMA(0,1,1)(0,1,1)$_{12}$ de type Airline. Combiné avec Cleveland et Tiao (1976), cela confirme que le BSM avec $V_t=0$ est asymptotiquement équivalent au filtre X-11. Ainsi, le DMM-BSM n'est pas présenté comme une rupture avec X-11, mais comme une généralisation bayésienne rigoureuse qui incorpore l'erreur d'échantillonnage.

3. Algorithme d'Inférence :
   Un échantillonneur de Gibbs à deux blocs est employé pour délivrer la pleine distribution postérieure lissée jointe $\pi(\alpha_{1:T} | y_{1:T})$ :

   • Bloc 1 (Trajectoire d'État) : Utilise le Filtre Forward/Backward Sampler (FFBS) (Carter et Kohn, 1994 ; Frühwirth-Schnatter, 1994). La passe directe utilise le filtre de Kalman avec une variance de mesure variable dans le temps $V^d_t$ pour mettre à jour l'état. La passe inverse tire la trajectoire complète de l'état de manière jointe à partir de la distribution postérieure lissée.
   • Bloc 2 (Hyperparamètres) : Met à jour les hyperparamètres de variance ($\sigma^2_\xi, \sigma^2_\omega, \sigma^2_u$) et les coefficients de régression ($\beta$) à l'aide de conditionnelles complètes de type inverse-gamma et normale, conditionnelles à la trajectoire d'état tirée dans le Bloc 1.
   • Comme les matrices de système sont fixes, l'échantillonneur est un « pur Gibbs » sans étapes de Metropolis.

Contributions Clés

1. Propagation BSM : Remplace la dynamique scalaire AR(1) par un BSM de 12 dimensions, permettant la séparation de la dynamique de tendance et de la dynamique saisonnière au sein d'un cadre bayésien.
2. Incorporation de l'Erreur d'Échantillonnage : Modélise explicitement la variance d'échantillonnage variable dans le temps $V^d_t$ dans l'équation de mesure du filtre de Kalman. Le gain de Kalman réduit automatiquement le poids des observations à CV élevé par rapport à la prédiction structurelle, un mécanisme absent dans X-11.
3. Inférence de Mouvement Exact : Le Gibbs sampler FFBS permet le calcul direct des Intervalles de Crédibilité Calibrés (CBI) pour les mouvements de tendance à $k$-étapes ($\Delta^{(k)}_t = L_t - L_{t-k}$) et les probabilités de changement de direction ($P(\Delta_t > 0 | y_{1:T})$) pour tout $k \ge 1$, sans nécessiter de dérivations en forme close.
4. Supériorité de Couverture Vérifiée : Des études de simulation démontrent que le DMM-BSM atteint une couverture empirique nettement plus élevée que le modèle équivalent à X-11 (BSM avec $V_t=0$), particulièrement dans les petits domaines avec un CV élevé.

Résultats Empiriques
Le cadre a été appliqué à 120 mois de données de l'enquête sur la population active (emploi à plein temps) de l'Australian Bureau of Statistics (ABS) pour deux domaines : l'Australie (AU, grand domaine, CV moyen 0,38 %) et le Territoire de la capitale australienne (ACT, petit domaine, CV moyen 1,62 %).

• Estimations de Tendance : Dans le grand domaine (AU), les tendances du DMM-BSM suivent de près les tendances X-11, confirmant l'équivalence Harvey–Todd. Dans le petit domaine (ACT), le DMM-BSM produit des intervalles de crédibilité plus larges durant les périodes de CV élevé (par exemple, la perturbation liée au COVID-19), reflétant correctement l'augmentation de l'incertitude, là où X-11 ne fournit aucune mesure d'incertitude.
• Variance Saisonnière : L'estimation par maximum de vraisemblance (MLE) de la variance saisonnière stochastique ($\sigma^2_\omega$) dans le DMM-BSM s'effondre vers zéro (une solution limite). Cela suggère que les fluctuations saisonnières apparentes dans les séries publiées sont largement attribuables au bruit de mesure plutôt qu'à une véritable dérive saisonnière stochastique. En revanche, le modèle équivalent à X-11 gonfle $\sigma^2_\omega$ (jusqu'à 573 personnes) pour compenser l'absence de canal de bruit de mesure.
• Performance de Couverture :
  • AU (Grand Domaine) : Le DMM-BSM a atteint une couverture de 94,6 % pour les niveaux de tendance et de 94,5 % pour les changements de tendance (proche des 95 % nominaux). Le modèle équivalent à X-11 n'a atteint respectivement que 78,8 % et 64,3 %.
  • ACT (Petit Domaine) : Le DMM-BSM a atteint 86,7 % (niveau de tendance) et 82,1 % (changement de tendance). Bien qu'inférieurs au niveau nominal, ces résultats représentent une amélioration significative par rapport aux 68,2 % et 50,8 % du modèle équivalent à X-11. Le document attribue l'écart restant dans les petits domaines à la difficulté d'estimer les paramètres de variance à partir de séries courtes à faible rapport signal/bruit, notant que le biais est conservateur (les intervalles sont valides mais potentiellement plus larges que nécessaire).

Signification
Le document affirme que le DMM-BSM offre une « généralisation bayésienne rigoureuse » des pratiques existantes. Sa principale importance réside dans la correction du défaut structurel consistant à traiter les estimations d'enquêtes comme exactes. En incorporant les variances d'échantillonnage, la méthode empêche le filtre de tendance de « poursuivre le bruit d'échantillonnage », ce qui conduit à des intervalles trop confiants et inexacts dans les approches X-11 standard. Le cadre fournit aux ONS une quantification de l'incertitude conditionnelle au modèle pour les mouvements de tendance et les probabilités directionnelles — des extrants qui ne sont actuellement pas disponibles avec les outils d'ajustement saisonnier standards. La conclusion empirique selon laquelle la variance saisonnière stochastique s'effondre vers zéro lorsque l'erreur d'échantillonnage est correctement modélisée offre une nouvelle perspective sur la nature des fluctuations saisonnières dans les données d'enquêtes, distinguant la dérive réelle du bruit de mesure.