Expansion of a free Fermi gas released from an isotropic trapping potential

Résumé technique : Expansion d'un gaz de Fermi libre relâché d'un potentiel de piégeage isotrope

Énoncé du problème
Ce travail étudie la dynamique hors équilibre d'un système de $N$ fermions non interagissants, sans spin (ou à dégénérescence de spin), initialement préparés dans l'état fondamental de nombreuses corps d'un potentiel de piégeage isotrope $V(\mathbf{x})$. L'étude se concentre sur le régime suivant la libération instantanée du potentiel à $t=0$. Plus précisément, les auteurs analysent l'expansion balistique du nuage fermionique aux temps longs, visant à dériver les profils spatiaux et de quantité de mouvement complets du gaz dans la limite d'un grand nombre de fermions $N$. L'objectif principal est de déterminer comment la forme du potentiel de piégeage initial (caractérisée par un exposant de loi de puissance $a$) et la dimension spatiale $d$ influencent le profil de densité asymptotique et le comportement de bord du nuage en expansion.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de solutions analytiques exactes pour des cas spécifiques et d'approximations semi-classiques (WKB) pour le cas général de grand $N$.

1. Solutions exactes (potentiels harmoniques et de type puits carré) :

   • Pour un potentiel harmonique ($V \propto x^2$), les auteurs utilisent la dépendance temporelle exacte de la fonction d'onde à plusieurs corps, qui est régie par l'équation d'Ermakov-Pinney. Ils démontrent que les positions redimensionnées des fermions suivent la distribution des valeurs propres d'un ensemble aléatoire de matrices de type GUE (Gaussian Unitary Ensemble).
   • Pour un potentiel de type puits carré unidimensionnel, des fonctions d'onde exactes (impliquant des fonctions de Bessel en 2D et des fonctions trigonométriques en 1D) sont utilisées pour calculer la distribution de quantité de mouvement $f_N(p)$ pour un $N$ fini, permettant ainsi une analyse des comportements de bord et des corrections de taille finie.

2. Approximation semi-classique (potentiels généraux) :

   • Pour des potentiels de loi de puissance isotropes arbitraires $V(r) \propto r^a$ dans n'importe quelle dimension $d$, les auteurs appliquent l'approximation de la phase stationnaire à la fonction d'onde évoluée dans le temps. Cela établit qu'aux temps longs, la position $\mathbf{x}$ d'un fermion est liée à sa quantité de mouvement initiale $\mathbf{p}$ par une mise à l'échelle balistique : $\mathbf{x} \approx \mathbf{p}t$.
   • La distribution de quantité de mouvement $f_N(p)$ est dérivée en sommant le module au carré des transformées de Fourier des états de particules uniques occupés. Dans la limite de grand $N$, cette somme est convertie en une intégrale en utilisant la règle de quantification semi-classique et l'approximation de Thomas-Fermi pour la densité d'états.
   • La distribution de quantité de mouvement microcanonique à une énergie $E$ fixée est calculée sur la base du volume de l'espace des phases classique, puis intégrée sur les états d'énergie occupés jusqu'à l'énergie de Fermi $E_F$.

Contributions clés et résultats

1. Profils de densité généralisés :
   Le papier dérive des expressions explicites pour le profil de densité spatiale tardive $\rho_N(r; t)$ et la distribution de quantité de mouvement $f_N(p)$ pour des potentiels de loi de puissance arbitraires $V(r) \propto r^a$ dans $d$ dimensions.

   • Distribution de quantité de mouvement : Pour $p < p_F$, la distribution suit la loi :
     $$f_N(p) \sim \frac{N}{p_F^d} \left( 1 - \frac{p^2}{p_F^2} \right)^{d/a}$$
   • Profil spatial : Par conséquent, le profil spatial tardif du nuage (pour $r < p_F t$) est :
     $$\rho_N(r; t) \sim \frac{N}{(p_F t)^d} \left( 1 - \frac{r^2}{(p_F t)^2} \right)^{d/a}$$
     Ici, $p_F$ est la quantité de mouvement de Fermi, qui évolue avec $N$ selon $p_F \sim N^{a/((a+2)d)}$.

2. Exposant de bord universel :
   Une découverte centrale est l'identification d'un exposant de bord universel $d/a$. Les profils de densité présentent des singularités de loi de puissance aux bords mobiles ($r = p_F t$) plutôt que les singularités de racine carrée caractéristiques de la loi du demi-cercle de Wigner (qui correspond au cas spécifique $d=1, a=2$) ou de la distribution de Thomas-Fermi ($d=3, a=2$). Les résultats généralisent ces lois connues à tous les potentiels de loi de puissance et à toutes les dimensions.

3. Comportement de bord et fonctions d'échelle :

   • Piège harmonique ($a=2$) : Le bord de la loi du demi-cercle de Wigner est montré comme s'élargissant en un croisement lissé avec une largeur relative évoluant comme $N^{-2/3}$. Le profil près du bord est décrit par une fonction d'échelle impliquant la dérivée de la fonction d'Airy, $A(\xi) = \text{Ai}'(\xi)^2 - \xi \text{Ai}(\xi)^2$. Le nombre moyen de fermions à l'extérieur de l'intervalle de Wigner est une constante petite et finie ($\approx 0,061$).
   • Potentiel de type puits carré ($a \to \infty$) : Dans la limite d'un puits infini, la distribution de quantité de mouvement devient uniforme à l'intérieur de la sphère de Fermi. Cependant, la chute vers zéro au bord est décrite par une fonction d'échelle différente $F(\xi)$ impliquant les fonctions digamma et trigamma. Contrairement au cas harmonique, le potentiel abrupt conduit à une longue queue algébrique dans la distribution ($F(\xi) \sim 1/\xi$), faisant en sorte que le nombre de fermions à l'extérieur de l'intervalle de Fermi croît logarithmiquement avec $N$ ($N_{out} \sim \ln N$).

4. Effets de dimensions supérieures :
   Dans les dimensions $d \ge 2$, la présence de dégénérescence orbitale est abordée. Les auteurs montrent que pour des nombres de fermions spécifiques correspondant à des couches complètes d'états dégénérés, le système possède un état fondamental isotrope unique. Pour un puits circulaire infini en 2D, le papier analyse la composante oscillatoire de la densité d'états intégrée, démontrant que la quantité de mouvement de Fermi présente des oscillations irrégulières même lorsqu'elle est restreinte aux nombres de couches complètes, une caractéristique liée aux orbites périodiques du billard classique.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que ces résultats sont novateurs, fournissant un cadre analytique complet pour l'expansion de fermions libres qui généralise la loi du demi-cercle de Wigner et la distribution de Thomas-Fermi. Ce travail souligne que l'expansion balistique à temps long projette directement la distribution de quantité de mouvement initiale sur le profil spatial, le comportement de bord étant universellement déterminé par le rapport entre la dimension spatiale et l'exposant du potentiel ($d/a$).

Le papier souligne l'utilité des systèmes de fermions libres pour fournir un accès analytique détaillé à la dynamique hors équilibre, ce qui est souvent indisponible dans les systèmes interagissants. Il établit une connexion claire entre la géométrie du confinement initial (via l'exposant $a$) et la classe d'universalité du bord du nuage en expansion. Les conclusions concernant la croissance logarithmique des particules à l'extérieur du bord de Fermi dans les potentiels de type puits carré, par rapport au nombre constant dans les pièges harmoniques, illustrent comment la netteté du potentiel initial dicte la nature des fluctuations de bord. Ce travail constitue un suivi d'études antérieures sur les probabilités de retour, étendant l'analyse aux profils de densité complets et aux dimensions supérieures.