Résumé Technique : Élasto-hydrodynamique des Interactions Goutte-Poche

Énoncé du Problème

Alors que l'hydrodynamique d'une goutte impactant une poche de liquide est bien caractérisée pour les fluides newtoniens — entraînant la formation d'une cavité, l'expansion d'une couronne, des ondes capillaires et des jets de Worthington — le comportement correspondant pour les fluides élastiques (ou de type Boger) reste largement inexploré. La littérature existante se concentre principalement sur les systèmes newtoniens ou sur l'amincissement de filaments viscoélastiques dans des géométries contrôlées (par exemple, les rhéomètres de rupture capillaire). Il existe un écart significatif dans la compréhension de la dynamique instationnaire et spatialement évolutive de la formation, de l'effondrement de la cavité et de l'éjection consécutive du jet lorsque la goutte impactante et la poche cible sont toutes deux des fluides polymères élastiques. Plus précisément, l'interaction entre les forces inertielles, capillaires et élastiques régissant l'évolution spatio-temporelle de ces événements, ainsi que les régimes morphologiques distincts qui en découlent, nécessite une investigation systématique.

Méthodologie

L'étude emploie une triade d'approches expérimentales, théoriques et computationnelles :

1. Dispositif Expérimental :

   • Fluides : Des solutions aqueuses de polyoxyde d'éthylène (PEO, ~5–6 millions de Da) à des concentrations de 0, 250, 500, 1000 et 2000 ppm ont été utilisées pour créer des fluides élastiques (Boger). Les fluides de contrôle comprenaient de l'eau pure et des mélanges eau-glycérol (viscosité appariée aux fluides élastiques).
   • Procédure : Les gouttes ont été générées de manière quasi-stationnaire et laissées tomber librement sur une poche profonde. Les vitesses d'impact variaient de 1,5 à 4,3 m/s.
   • Diagnostic : L'imagerie à haute vitesse (4000 fps) a capturé l'évolution temporelle de l'expansion de la cavité, de l'effondrement, de la formation de la couronne et de l'éjection du jet.
   • Paramètres Dimensionnels : La dynamique a été analysée à travers une gamme de nombres de Weber ($We$) et de Deborah ($De$), avec le nombre de Bond ($Bo$) fixé à 0,27 pour garantir des gouttes pré-impact sphériques. Le nombre d'Ohnesorge ($Oh$) a été maintenu bas (<0,0046), rendant les effets visqueux négligeables.

2. Cadre Théorique :

   • Évolution de la Cavité : Un modèle de conservation de l'énergie a été dérivé dans un cadre de flot potentiel. L'énergie cinétique initiale de la goutte est équilibrée par l'énergie potentielle gravitationnelle, l'énergie de surface, l'énergie cinétique de la poche et un terme pour l'énergie élastique stockée.
   • Amincissement du Jet : Un modèle théorique pour l'évolution du rayon du jet de Worthington a été développé en utilisant le modèle constitutif FENE-P (Finitely Extensible Nonlinear Elastic - Peterlin). Ce modèle prend en compte l'extensibilité finie des chaînes polymères et l'équilibre entre les contraintes élastiques et capillaires dans le régime élasto-capillaire.

3. Simulations Numériques :

   • Solveur : Les simulations ont été réalisées à l'aide de COMSOL Multiphysics.
   • Équations Gouvernantes : Le modèle de champ de phase de Cahn-Hilliard a été couplé à l'équation constitutive FENE-P pour suivre l'interface et modéliser les contraintes élastiques.
   • Validation : Les simulations ont été validées par rapport aux données expérimentales pour les cas newtoniens et élastiques, en se concentrant sur la morphologie de la cavité, la hauteur du jet et les champs de vitesse.

Contributions Clés et Résultats

1. Dominance de l'Élasticité sur la Viscosité

Les expériences comparatives entre les fluides élastiques (2000 ppm PEO) et les fluides newtoniens à viscosité identique (eau-glycérol) ont démontré que les changements morphologiques observés sont pilotés purement par l'élasticité du fluide, et non par la viscosité.

• Morphologie de la Cavité : Alors que les fluides newtoniens produisent des cavités hémisphériques, les fluides élastiques présentent une forme de cavité trapézoïdale distincte lors de la phase de rétractation. Cela est attribué à l'étirement non uniforme des polymères et à la distribution de contrainte élastique qui en résulte, retardant la propagation des ondes capillaires et aplatissant le fond de la cavité.
• Indépendance de la Viscosité : L'étude confirme que, pour la plage testée, la viscosité joue un rôle négligeable dans le processus de rupture, tandis que la distribution de la contrainte élastique dicte la forme de la cavité et la dynamique du jet.

2. Conversion et Stockage d'Énergie

Le modèle de conservation de l'énergie a quantifié la conversion de l'énergie cinétique en énergie élastique.

• Stockage Élastique : L'étude indique qu'environ 35 % de l'énergie cinétique d'impact initiale de la goutte peut être stockée sous forme d'énergie élastique via l'étirement des chaînes polymères lors de l'expansion de la cavité dans certains cas de haute concentration. Spécifiquement, pour le cas 500D-500P, la réduction du facteur de partitionnement de l'énergie ($\beta$) de 0,80 (newtonien) à 0,45 (élastique) correspond à environ 35 % de l'énergie cinétique initiale stockée sous forme d'énergie élastique.
• Impact sur la Dynamique : Ce stockage d'énergie réduit l'énergie disponible pour l'expansion de la cavité, conduisant à des tailles de cavité maximales plus petites et à des taux de croissance plus lents dans les fluides élastiques par rapport à leurs homologues newtoniens. Le modèle a prédit avec succès l'évolution temporelle du rayon moyen de la cavité en ajustant le facteur de partitionnement de l'énergie ($\beta$).

3. Cartes de Régimes et Transitions Morphologiques

L'étude a établi quatre régimes distincts dans l'espace des paramètres $[De, We]$ :

1. Pinch-off (Rupture) : Détachement complet de gouttelettes secondaires (observé principalement dans les systèmes newtoniens).
2. Goutte Satellite + Filament : Formation d'une goutte satellite connectée par un filament. Cela inclut :
   • Beads-on-a-String (BOAS - Perles sur un fil) : Observé lorsque les taux de croissance de l'instabilité de Rayleigh sont comparables ou plus lents que l'inverse du temps de relaxation, permettant le développement d'une asymétrie avant que l'étirement polymère ne domine.
   • Filaments Fins/Épais : Observés lorsque les contraintes élastiques équilibrent la pression capillaire, empêchant la rupture complète.
3. Pas de Jet : Suppression de la formation du jet à faible $We$ ou haut $De$ en raison du retard de la convergence des ondes capillaires.
4. Pas de Pinch-off : Formation d'un jet de Worthington stable qui ne se rompt pas, se produisant à haut $De$ où les contraintes élastiques contrecarrent continuellement le rétrécissement capillaire.

4. Amincissement Élasto-Capillaire du Jet

L'analyse théorique et expérimentale de l'amincissement du jet de Worthington a révélé :

• Décroissance Exponentielle : Dans le régime élasto-capillaire, le rayon du jet décroît exponentiellement avec le temps, suivant la loi d'échelle $r(t) \sim \exp(-t/2\lambda)$.
• Différence d'Échelle : Cela diffère de la loi de décroissance classique $r(t) \sim \exp(-t/3\lambda)$ observée dans l'amincissement standard des filaments viscoélastiques, en raison des conditions aux limites spécifiques et des forces de tension axiales dans le jet de Worthington.
• Stabilité : Une élasticité plus élevée supprime l'instabilité de Rayleigh-Plateau, conduisant à des filaments plus épais et plus stables, et retarde ou empêche le pinch-off.

5. Aperçus Numériques sur les Champs de Contrainte et de Vitesse

Les simulations ont permis la visualisation de champs d'écoulement internes inaccessibles expérimentalement :

• Distribution de Contrainte : La contrainte élastique ($\tau_{zz}$) est maximale à l'axe de symétrie du jet et diminue vers l'interface, correspondant à la vitesse axiale plus élevée et au plus grand étirement des polymères dans le cœur.
• Suppression de la Vitesse : Dans les fluides élastiques, la vitesse d'expansion de la cavité est d'environ la moitié de celle de l'eau pure en raison des contraintes élastiques opposées. Par conséquent, l'entraînement d'air est considérablement réduit, et aucun vortex n'est observé à l'intérieur de la cavité lors de la rétractation (contrairement aux cas newtoniens).

Signification et Revendications

Les auteurs affirment que ce travail fait progresser de manière significative la compréhension du paradigme encore inexploré de l'interaction inertie-capillarité-élasticité dans les interactions goutte-poche.

• Physique Fondamentale : L'étude isole les effets élastiques des effets visqueux, démontrant que l'élasticité du fluide modifie fondamentalement la morphologie de la cavité (trapézoïdale vs hémisphérique) et supprime la rupture du jet.
• Aperçu Quantitatif : En dérivant un modèle théorique pour l'évolution du rayon de la cavité et l'amincissement du jet, l'article fournit une méthode pour estimer directement le temps de relaxation extensionnelle des fluides élastiques à partir d'études d'impact de goutte sur une poche.
• Définition de Régimes : L'identification de quatre régimes morphologiques distincts offre un cadre prédictif pour les résultats d'impact de goutte dans les fluides élastiques, ce qui est crucial pour les applications impliquant des fluides non newtoniens tels que les peintures, les encres et les fluides biologiques.

L'article conclut que la conversion de l'énergie cinétique en énergie élastique est le mécanisme principal régissant la suppression de la rupture de la couronne, la réduction de la taille de la cavité et la stabilisation des jets de Worthington dans les fluides élastiques.