Non-minimally coupled Weyl connection gravity in the Solar System and at the Galactic Center

Résumé technique : Gravité à connexion de Weyl à couplage non minimal dans le Système solaire et au centre galactique

Énoncé du problème
La relativité générale (RG) demeure le modèle standard de la gravitation, mais elle fait face à des problèmes non résolus, notamment la nature de la matière noire et de l'énergie noire, le problème de la constante cosmologique et l'absence d'une extension quantique cohérente. Les théories alternatives introduisent souvent des invariants de courbure d'ordre supérieur ou des champs additionnels, ce qui peut conduire à des instabilités d'Ostrogradsky. Cet article étudie la viabilité phénoménologique d'une gravité à connexion de Weyl à couplage non minimal, une théorie qui intègre la géométrie de Weyl (caractérisée par la non-métricité) dans un cadre de couplage non minimal entre la matière et la courbure. Bien que cette théorie évite les instabilités d'Ostrogradsky et possède un espace d'énergie minimale viable, ses solutions de vide de type trou noir doivent être rigoureusement testées par rapport aux données observationnelles afin de contraindre ses paramètres libres et d'évaluer sa cohérence physique.

Méthodologie
Les auteurs analysent deux familles distinctes de solutions de vide statiques et à symétrie sphérique dérivées des équations de champ de la gravité à connexion de Weyl à couplage non minimal. Ces solutions sont caractérisées par un paramètre libre $\omega$ (la constante de Weyl) ayant les dimensions d'une longueur. L'étude procède selon les étapes suivantes :

1. Dérivation de la métrique et approximation : Les auteurs examinent deux ansatz pour le vecteur de Weyl $A_\mu$ :

   • Solution I : Un vecteur de Weyl purement radial ($A_\mu = (0, A(r), 0, 0)$).
   • Solution II : Un vecteur de Weyl tempo-radial ($A_\mu = (A_0(r), A_1(r), 0, 0)$).
     Pour les deux cas, les fonctions métriques sont développées dans le régime de champ faible pertinent pour le Système solaire, en conservant les termes jusqu'au premier ordre des petits paramètres ($\epsilon_1 = M/r$ et $\epsilon_2 = r/\omega$ ou $r^2/\omega^2$).

2. Tests du Système solaire : Les auteurs calculent les corrections apportées à quatre observables classiques pour les deux solutions :

   • Le décalage gravitationnel vers le rouge (redshift).
   • La précession du périhélie de Mercure.
   • La déflexion de la lumière par le Soleil.
   • Le retard de l'écho radar (retard de Shapiro).
     Ces corrections sont comparées aux incertitudes observationnelles actuelles pour dériver des bornes inférieures sur $\omega$. L'analyse traite explicitement de la normalisation des trajectoires des particules tests, comparant la paramétrisation par le temps propre (géodésiques de Levi-Civita) avec la paramétrisation affine (autoparallèles de Weyl) pour garantir la robustesse.

3. Analyse du centre galactique : L'étude étend l'analyse au régime de champ fort en modélisant les orbites de l'étoile S2 à proximité du trou noir supermassif Sagittarius A* (Sgr A*). Les auteurs calculent les corrections apportées à la précession du périastre et au décalage gravitationnel vers le rouge de l'étoile S2, en les comparant aux données de l'instrument GRAVITY et de l'observatoire Keck.

4. Analyse asymptotique : Le comportement asymptotique de la métrique est analysé pour définir une constante cosmologique effective ($\Lambda_{\text{eff}}$) et la comparer à la valeur observée ($\Lambda_{\text{obs}}$).

Contributions clés et résultats

• Comportements de mise à l'échelle distincts : Un résultat principal est la différence qualitative dans la manière dont les deux solutions dévient de la RG.

  • La Solution I présente un terme de correction linéaire dominant ($2r/\omega$) dans la métrique. Par conséquent, les observables évoluent selon $1/\omega$.
  • La Solution II présente un terme linéaire supprimé par un facteur $M/\omega$, rendant le terme quadratique ($-r^2/4\omega^2$) dominant dans le régime du Système solaire. Par conséquent, les observables évoluent selon $1/\omega^2$.

• Contraintes du Système solaire :

  • Solution I : La contrainte la plus stricte provient de la précession du périhélie de Mercure, imposant $\omega \gtrsim 10^{30}$ m. Le retard de l'écho radar fournit une borne forte de $\omega \gtrsim 10^{25}$ m. Le décalage vers le rouge gravitationnel et la déflexion de la lumière donnent des bornes plus faibles mais toujours significatives ($\omega \gtrsim 10^{18}$–$10^{19}$ m).
  • Solution II : Les contraintes sont généralement plus faibles en raison de l'évolution en $1/\omega^2$. La précession du périhélie de Mercure donne $\omega \gtrsim 10^{20}$ m, tandis que la déflexion de la lumière fournit la borne la plus faible ($\omega \gtrsim 10^{10}$ m).
  • Différences qualitatives : La Solution I produit une correction rétrograde (réduisant la précession/le décalage), tandis que la Solution II produit une correction prograde (augmentant ces effets).

• Contraintes de l'étoile S2 (Sgr A) :*

  • Les observations de l'étoile S2 fournissent des contraintes complémentaires dans un champ gravitationnel plus fort ($\Phi/c^2 \sim 10^{-3}$).
  • Pour la Solution I, le décalage vers le rouge de S2 donne $\omega \gtrsim 10^{24}$ m, et la précession du périastre donne $\omega \gtrsim 10^{21}$ m.
  • Pour la Solution II, le décalage vers le rouge de S2 donne $\omega \gtrsim 10^{22}$ m, et la précession du périastre donne $\omega \gtrsim 10^{17}$ m.
  • Les données de S2 confirment la distinction qualitative : la Solution I réduit la précession, tandis que la Solution II l'augmente.

• Constante cosmologique effective :

  • Les deux solutions présentent des termes quadratiques asymptotiques ressemblant à des espaces Schwarzschild-(anti-)de Sitter.
  • La Solution I correspond à un comportement de type anti-de Sitter avec $\Lambda_{\text{eff}}^{(I)} \simeq -3/\omega^2$. Étant donné les contraintes serrées du Système solaire, $|\Lambda_{\text{eff}}^{(I)}|$ est contraint à $\lesssim 10^{-60}$ m$^{-2}$, ce qui est huit ordres de grandeur plus petit que $\Lambda_{\text{obs}}$.
  • La Solution II correspond à un comportement de type de Sitter avec $\Lambda_{\text{eff}}^{(II)} \simeq 3/4\omega^2$. Les contraintes plus faibles de la Solution II permettent à $\Lambda_{\text{eff}}^{(II)}$ d'atteindre $\sim 10^{-41}$ m$^{-2}$, ce qui est compatible avec l'ordre de grandeur de la constante cosmologique observée.

Signification et affirmations
L'article affirme que la gravité à connexion de Weyl à couplage non minimal est phénoménologiquement viable mais fortement contrainte. Les résultats indiquent que, bien que la théorie ne soit pas invalidée, le paramètre de Weyl $\omega$ doit être extrêmement grand, supprimant efficacement les déviations induites par Weyl par rapport à la RG dans le Système solaire.

Les auteurs soulignent une distinction cruciale entre les deux branches de solutions :

1. La Solution I est étroitement contrainte par les tests du Système solaire et prédit une structure asymptotique de type anti-de Sitter qui ne peut rendre compte de l'accélération cosmique observée.
2. La Solution II est moins contrainte, permettant une structure asymptotique de type de Sitter. Cette branche peut naturellement accommoder une constante cosmologique effective de l'ordre de $\Lambda_{\text{obs}}$ sans introduire de terme de constante cosmologique explicite dans l'action.

L'étude conclut que si les tests actuels du Système solaire confinent la théorie à un régime où ses effets sont négligeables, l'observation des orbites stellaires près de Sgr A* offre une sonde complémentaire dans le régime de champ fort. Les signatures opposées (corrections rétrogrades vs progrades) de la précession du périastre offrent une distinction phénoménologique claire qui pourrait être testée par de futures observations de haute précision (par exemple, GRAVITY+). En fin de compte, la Solution II émerge comme la branche la plus prometteuse sur le plan cosmologique, capable de reproduire l'accélération cosmique de manière géométrique tout en restant cohérente avec tous les tests classiques du Système solaire.