On best approximation and estimates of Bohr--Favard type on the sphere for functions with bounded Laplacian

Résumé technique : Meilleure approximation et estimations de type Bohr–Favard sur la sphère pour les fonctions à Laplacien borné

Énoncé du problème
Ce travail porte sur la détermination des constantes nettes dans les estimations de la norme uniforme ($L^\infty$) de fonctions sur la sphère unité $S^d$ ($d \ge 2$) possédant un Laplacien borné ($\|\Delta f\|_\infty \le 1$). L'étude se concentre sur deux problèmes distincts mais liés, analogues aux classiques théorèmes de Bohr et de Favard pour les fonctions périodiques :

1. Le Problème de Bohr : Estimer la norme des fonctions dont les $n-1$ premières composantes harmoniques sphériques sont nulles ($f \perp \mathcal{H}_{<n}$). L'objectif est de trouver la constante nette $H(n, S^d)$ dans l'inégalité $\|f\|_\infty \le H(n, S^d) \|\Delta f\|_\infty$.
2. Le Problème de Favard : Estimer l'erreur de la meilleure approximation uniforme $E_{n-1}(f)_{L^\infty}$ de ces fonctions par des polynômes sphériques de degré au plus $n-1$. L'objectif est de trouver la constante nette $K(n, S^d)$ dans l'inégalité $E_{n-1}(f)_{L^\infty} \le K(n, S^d) \|\Delta f\|_\infty$.

L'article cherche à déterminer les valeurs exactes de ces constantes pour un $n$ fixé ainsi que leur comportement asymptotique lorsque $n \to \infty$, en investiguant spécifiquement si les constantes pour le problème d'approximation ($K$) coïncident avec celles du problème de la norme ($H$), une distinction qui diffère du cas périodique classique où elles sont égales.

Méthodologie
La méthodologie principale repose sur la représentation de Green de l'inverse du Laplacien. Pour les fonctions de moyenne nulle, $f$ peut être exprimée comme une convolution de son Laplacien $g = -\Delta f$ avec un noyau de Green zonal $G_d$ :
$$f(x) = \int_{S^d} G_d(x \cdot y) g(y) \, d\sigma_d(y).$$
Le problème de la borne de $\|f\|_\infty$ ou de l'erreur d'approximation se réduit à trouver la meilleure approximation $L^1$ du noyau de Green $G_d$ par des polynômes de degré au plus $n-1$ par rapport à la mesure induite sur la sphère.

Étapes techniques clés :

• Interpolation de Noyau : Identifier que le meilleur approximant $L^1$ du noyau de Green est le polynôme interpolateur aux zéros d'un polynôme extrémal monique spécifique $q_{n,d}$. Ces zéros sont déterminés par des conditions de moments nuls par rapport au poids induit par la mesure sphérique.
• Polynômes Extremaux : Utiliser le Lemme 4.1 pour établir l'existence et l'unicité du polynôme monique minimisant la norme $L^1$ pondérée. Le signe de l'erreur d'approximation est montré être le signe de ce polynôme extrémal, ce qui permet la construction de fonctions extremales (extremales de Bohr) qui atteignent les bornes.
• Analyse Dimensionnelle :
  • $S^2$ : Le problème est transposé en un problème d'approximation $L^1$ trigonométrique sur une grille équidistante, menant à des formules de séries explicites impliquant les nœuds de Chebyshev.
  • $S^3$ : Les nœuds d'interpolation sont déterminés par un problème extrémal $L^1$ pondéré. La mise à l'échelle du problème quand $n \to \infty$ mène à la fonction de Hörmander–Bernhardsson, une fonction entière unique de type exponentiel un qui minimise la norme $L^1$ sur $\mathbb{R}$.
  • Dimensions supérieures ($S^4, S^6$) : Les noyaux de Green dans les dimensions paires sont exprimés comme des sommes finies de pôles et de logarithmes. Les constantes asymptotiques sont dérivées par l'analyse du comportement limite des polynômes extremaux mis à l'échelle, qui convergent vers des extremales entières pondérées.
• Dualité et Inégalité Stricte : Pour prouver $K(n, S^d) < H(n, S^d)$, l'article emploie une formulation duale impliquant des mesures annihilant $\mathcal{H}_{<n}$. Il démontre que l'égalité des constantes nécessiterait que les signes des erreurs d'approximation du noyau aux différents pôles s'alignent parfaitement, une condition montrée comme impossible pour $n \ge 2$ en raison des propriétés d'intersection géométrique des ensembles de changement de signe (sphères de latitude).

Contributions Principales et Résultats

1. Constantes Exactes pour un $n$ Fixé :

   • $S^2$ : La constante $H(n, S^2)$ est donnée par une série convergente explicite (Théorème 7.1). Le meilleur coefficient pour l'estimation asymptotique est $H(S^2) = \frac{7\zeta(3)}{4}$.
   • $S^3$ : La constante $H(n, S^3)$ est exprimée via une intégrale impliquant le polynôme extrémal $q_n$. La constante asymptotique $H(S^3)$ est identifiée comme une intégrale positive impliquant la fonction de Hörmander–Bernhardsson $\phi$, évaluée numériquement comme $\beta \approx 2.850999$ (Théorème 9.2).
   • $S^4$ et $S^6$ : Les constantes asymptotiques sont dérivées en termes de normes minimales de fonctions extremales entières pondérées (Théorème 13.1). Pour $S^4$, la limite est $M_4/4$ ; pour $S^6$, cela implique une combinaison d'une norme pondérée et de la dérivée seconde de la fonction extrémale en zéro.

2. Bornes Uniformes :
   L'article prouve que les limites asymptotiques dérivées sont effectivement les meilleurs coefficients valables simultanément pour tous les $n$. Spécifiquement, pour $S^3$, $S^4$ et $S^6$, le supremum de $n^2 H(n, S^d)$ est égal à la limite quand $n \to \infty$ (Théorèmes 10.1, 14.1).

3. Inégalité Stricte entre les Constantes de Bohr et de Favard :
   Une conclusion centrale est que pour chaque $n \ge 2$ fixé sur $S^2$ et $S^3$, la meilleure constante d'approximation est strictement plus petite que la constante de Bohr :
   $$K(n, S^d) < H(n, S^d).$$
   Ceci contraste avec le cas périodique classique où les constantes coïncident. L'article fournit un écart quantitatif pour de grands $n$ sur $S^2$ (Proposition 17.1) et prouve l'inégalité stricte via un argument de compacité sur l'espace des mesures (Théorèmes 15.2 et 18.1).

4. Approximation Constructive :
   L'article fournit un opérateur linéaire explicite pour approximer des fonctions sur $S^2$ qui est optimal parmi toutes les méthodes linéaires à valeurs dans $\mathcal{H}_{<n}$. Cette méthode implique la convolution du Laplacien avec le meilleur approximant $L^1$ du noyau de Green (Théorème 15.1, Section 16).

Signification et Revendications
L'article prétend résoudre la détermination des constantes de type Bohr nettes sur les sphères pour les fonctions à Laplaciens bornés, en les exprimant à travers des polynômes extremaux $L^1$ pondérés. L'observation la plus significative, décrite comme « inattendue », est la séparation stricte entre la constante de Bohr (norme des fonctions avec harmoniques manquantes) et la constante de Favard (erreur de meilleure approximation) pour tout $n \ge 2$ fixé sur $S^2$ et $S^3$.

Le travail établit que si la coïncidence de ces constantes est vraie dans le cadre périodique classique, elle échoue sur les sphères. L'article fournit des formules explicites pour $S^2$, des représentations intégrales impliquant la fonction de Hörmander–Bernhardsson pour $S^3$, et des formules asymptotiques pour $S^4$ et $S^6$. Il laisse ouverte la question de savoir si l'inégalité stricte persiste dans la limite (c'est-à-dire si $\limsup n^2 K(n, S^d) < \lim n^2 H(n, S^d)$) et ne détermine pas les valeurs exactes de $K(n, S^d)$ pour $n \ge 2$, fournissant seulement des bornes inférieures et prouvant que l'inégalité stricte existe.