Anderson localisation in infinite and finite resonator crystals with long-range interactions

Imaginez une vaste grille parfaitement ordonnée de minuscules sphères creuses, comme un nid d'abeille microscopique fait de verre. En physique, ce sont des résonateurs. Lorsque des ondes sonores traversent une telle structure, elles ne se contentent pas de voyager en ligne droite ; au contraire, elles rebondissent entre les sphères, créant une vibration collective qui peut être décrite par un seul et même objet mathématique géant. Cet objet, connu sous le nom d'opérateur de capacité, capture la manière dont chaque sphère communique avec toutes les autres, même celles qui sont très éloignées. La force de cette conversation dépend du matériau dont sont faites les sphères. Si le matériau est parfaitement uniforme, les ondes sonores peuvent circuler librement à travers la grille, se propageant comme des rides sur un étang calme. Cependant, si les propriétés du matériau des sphères sont légèrement aléatoires — certaines un peu plus denses, d'autres un peu plus légères — l'histoire change. Cette aléatorité est connue sous le nom de désordre. Depuis des décennies, les physiciens savent que dans des systèmes simples où les particules ne communiquent qu'avec leurs voisins immédiats, un désordre suffisant peut piéger les ondes sur place, un phénomène appelé localisation d'Anderson. Mais que se passe-t-il lorsque les ondes peuvent communiquer avec des voisins à travers toute la grille, et que ces conversations s'estompent lentement plutôt que de s'arrêter brusquement ? C'est la question à laquelle une équipe de mathématiciens et de physiciens a enfin répondu pour un type spécifique et complexe de cristal.

Les chercheurs se sont concentrés sur un cristal composé de résonateurs sublongueur d'onde, des objets assez petits pour interagir avec des ondes beaucoup plus grandes qu'eux. Dans ce régime, l'interaction entre les résonateurs est à longue portée, ce qui signifie qu'une sphère à une extrémité du cristal peut encore influencer une sphère à l'autre extrémité, bien que l'effet s'affaiblisse avec la distance. L'équipe a modélisé un cristal où le matériau à l'intérieur de chaque résonateur variait de manière aléatoire, simulant un scénario du monde réel où des imperfections de fabrication créent de légères différences de densité. Ils ont posé une question fondamentale : est-ce que ce désordre piège les ondes sonores près du haut du spectre d'énergie, ou parviennent-elles malgré tout à se propager ? En utilisant des preuves mathématiques rigoureuses, ils ont démontré que pour toute quantité de désordre fixée, aussi petite soit-elle, les ondes près des niveaux d'énergie les plus élevés deviennent piégées. Elles ne circulent pas librement ; au lieu de cela, elles se concentrent en points localisés et serrés, décroissant exponentiellement à mesure que l'on s'éloigne de leur centre. Cela se produit même si les ondes peuvent théoriquement s'étendre à travers tout le cristal. L'équipe a prouvé que ce piégeage n'est pas seulement une fluctuation temporaire mais une caractéristique permanente du spectre du système, ce qui signifie que les ondes sont fondamentalement bloquées.

Pour comprendre comment cela fonctionne, il faut observer la structure de l'énergie du cristal. Dans un cristal parfait, les niveaux d'énergie forment une bande continue, permettant à des ondes de différentes fréquences de voyager. Les chercheurs ont montré que lorsqu'on introduit du désordre, le sommet de cette bande d'énergie devient une zone de confinement total. Ils ont calculé que pour une plage spécifique d'énergies juste en dessous du maximum, chaque mode d'onde est localisé. La taille de cette zone piégée dépend directement de la force du désordre. Si le désordre est faible, la zone piégée est étroite, mais elle existe. À mesure que le désordre augmente, la zone des ondes piégées s'étend, poussant plus bas dans la bande d'énergie. L'équipe a également établi que ce comportement ne se limite pas à des cristaux infinis et théoriques. Ils ont étendu leur preuve à des amas de résonateurs finis, qui sont le genre de structures que l'on pourrait réellement construire dans un laboratoire. Ils ont montré que dans un échantillon fini, presque tous les modes d'ondes se concentrent dans un petit rayon physique, tandis qu'une infime fraction des modes proches des bords de l'échantillon se comporte différemment. Cela confirme que le phénomène est robuste et observable dans des objets réels de taille finie.

Les chercheurs ne se sont pas arrêtés à la preuve que les ondes restent bloquées ; ils ont également quantifié exactement comment elles se comportent. Ils ont découvert que les ondes se concentrent dans un rayon qui croît très lentement à mesure que la taille de l'échantillon augmente, plus précisément proportionnellement à la taille de l'échantillon multipliée par le logarithme de sa taille. En termes pratiques, cela signifie que même dans un grand cristal contenant des milliers de résonateurs, les ondes piégées restent confinées dans une région relativement petite. L'équipe a également exploré ce qui se passe à des niveaux d'énergie plus bas, loin du haut de la bande. Ici, le comportement est plus complexe. Bien qu'ils n'aient pas pu prouver que les ondes sont piégées partout dans la partie inférieure de la bande, ils ont fourni des preuves solides qu'à des niveaux de désordre plus élevés, les ondes au milieu de la bande commencent également à se concentrer. Leurs simulations numériques, qui impliquaient l'exécution de centaines de configurations aléatoires différentes pour des cristaux contenant jusqu'à 4 900 résonateurs, ont montré une tendance claire : à mesure que le désordre augmentait, les ondes qui étaient autrefois réparties à travers tout le cristal s'effondraient en grappes localisées et serrées. Le nombre de participation, une mesure du nombre de résonateurs qu'une onde utilise efficacement, chutait de manière spectaculaire, indiquant que l'onde ne partageait plus son énergie avec l'ensemble du système mais la thésaurisait plutôt dans un petit coin.

Une partie cruciale de leur travail a consisté à distinguer deux manières de modéliser un cristal fini. Une méthode, appelée matrice tronquée, se contente de couper le cristal à une frontière et ignore tout ce qui se trouve à l'extérieur. L'autre, la matrice de capacité finie, retire physiquement les résonateurs extérieurs et recalcule les interactions en fonction de ces nouvelles limites ouvertes. Les chercheurs ont prouvé qu'en dépit de ces approches différentes, le comportement statistique des ondes est le même. Les deux modèles prédisent la même distribution des niveaux d'énergie et la même tendance des ondes à se localiser. Cette équivalence est vitale car elle signifie que les résultats théoriques dérivés pour les cristaux infinis peuvent être appliqués de manière fiable à des expériences réelles et finies. Ils ont également montré que le nombre d'ondes qui ne suivent pas cette règle de piégeage est extrêmement faible, limité à une fine couche près du bord physique de l'échantillon. Pour la grande majorité du cristal, les ondes sont solidement verrouillées en place.

L'étude a également abordé une question de longue date concernant la nature de la transition entre les ondes circulant librement et les ondes piégées. Dans certains systèmes, il existe une frontière nette, appelée bord de mobilité, qui sépare les deux régimes. Les chercheurs ont fourni une limite supérieure précise pour l'endroit où ce bord pourrait exister. Ils ont montré que pour toute quantité de désordre, le haut de la bande d'énergie est toujours une région de localisation, et ils ont calculé exactement jusqu'où cette région s'étend. Bien qu'ils n'aient pas prouvé qu'un bord de mobilité existe à des énergies plus basses, ils ont écarté la possibilité que les ondes puissent circuler librement jusqu'au sommet même du spectre. Leur travail clarifie que "l'extrémité" de la bande d'énergie est une zone de localisation sûre, quel que soit le niveau de désordre. Cette conclusion est significative car elle suggère que dans les matériaux présentant des interactions à longue portée, le haut du spectre d'énergie est intrinsèquement instable face au désordre, menant systématiquement au piégeage des ondes.

En fin de compte, l'article fournit un tableau mathématique complet de la manière dont le désordre affecte les ondes dans un type spécifique de cristal. Il confirme que même avec des connexions à longue portée, le désordre l'emporte près du haut de l'échelle d'énergie, forçant les ondes à se localiser. Il prouve que ce comportement est vrai pour les échantillons finis, qui sont les seuls pouvant être construits dans la réalité. Et il offre une description quantitative claire de la manière dont ces ondes se concentrent, donnant aux expérimentateurs une cible précise pour ce qu'ils doivent observer. Ce travail comble le fossé entre la théorie mathématique abstraite et la réalité physique, montrant que la danse complexe des ondes dans un cristal désordonné n'est pas chaotique mais suit des règles strictes et prévisibles. Les chercheurs ont cartographié le territoire où les ondes se perdent, prouvant qu'en présence de désordre, les états d'énergie les plus élevés sont les plus susceptibles d'être trouvés cachés à la vue de tous, confinés dans de petites poches au sein du cristal.