Longitudinal dispersion in fluvial environments: new empirical formulations and applications to pollutant transport modeling

Résumé technique : Dispersion longitudinale dans les environnements fluviaux

Énoncé du problème
Une évaluation fiable du transport de polluants et des processus de mélange est cruciale pour la gestion de la qualité de l'eau et la conservation de l'environnement dans les rivières. Le coefficient de dispersion longitudinale ($K$) est un paramètre pivot dans l'équation d'advection-dispersion unidimensionnelle, régissant la précision des simulations de transport de polluants. Cependant, les formulations empiriques existantes pour $K$ reposent souvent sur des ensembles de données combinant des canaux étroits et larges, négligeant potentiellement les mécanismes de dispersion distincts propres aux différentes géométries de chenaux. De plus, aucune formulation existante n'a démontré une performance constante aussi bien sur des ensembles de données expérimentales que sur des données de terrain pour différents scénarios de rejet (instantané vs continu). Cette étude répond à la nécessité de formulations spécifiques à chaque régime et à une analyse détaillée de l'influence de la géométrie du chenal sur la dynamique de transport des polluants.

Méthodologie
La recherche emploie une approche à deux volets : le développement de nouvelles formulations empiriques et la simulation numérique du transport de polluants.

1. Développement de formulations empiriques :

   • L'étude utilise l'analyse dimensionnelle pour exprimer le coefficient de dispersion adimensionnel ($\tilde{K} = K/uh$) en fonction du rapport de vitesse de cisaillement ($\Xi = u_*/u$) et du rapport d'aspect du chenal ($\beta = w/h$).
   • Une approche basée sur les régimes est adoptée, classant les chenaux comme « étroits » ($\beta \leq 10$) et « larges » ($\beta > 10$) sur la base des tendances observées dans les ensembles de données dérivés du terrain.
   • Une analyse de régression a été effectuée sur 105 tracés de données de terrain provenant de diverses sources de la littérature (ex. : Sooky, Godfrey et Frederick, Yotsukura et al.) afin de déterminer les coefficients et les exposants de la relation de loi de puissance $\tilde{K} = \mathcal{C} \Xi^a \beta^b$.
   • Des paramètres distincts ont été dérivés pour les chenaux étroits et larges afin de capturer leurs comportements hydrauliques uniques.

2. Simulation numérique :

   • L'équation d'advection-dispersion unidimensionnelle a été résolue numériquement à l'aide d'une méthode de différences finies.
   • Le terme d'advection a été discrétisé à l'aide du schéma explicite de Lax-Wendroff (précision du second ordre), tandis que le terme de diffusion a utilisé une différence centrale avec un pas de temps Euler progressif (prorder du premier ordre).
   • La stabilité a été assurée via l'analyse de von Neumann, respectant les critères $\lambda_1 + 2\lambda_2 \leq 1$.
   • Les simulations ont été conduites pour deux scénarios :
     • Relargage instantané : Modélisé par une fonction gaussienne représentant des déversements accidentels.
     • Relargage continu : Modélisé par une concentration de source soutenue sur un intervalle de temps spécifique.
   • L'analyse de sensibilité de la grille a déterminé un pas d'espace ($\Delta x$) de 1 m pour l'indépendance vis-à-vis de la taille de la grille.

Principales contributions

• Nouvelles formulations spécifiques aux régimes : L'article propose de nouvelles équations empiriques pour le coefficient de dispersion longitudinale spécifiquement adaptées aux chenaux étroits et larges, plutôt qu'une équation unifiée.
• Identification des paramètres directeurs : L'analyse révèle que la dispersion longitudinale dans les chenaux étroits est principalement régie par le rapport d'aspect du chenal ($\beta$), tandis que dans les chenaux larges, elle est régie par le rapport de vitesse de cisaillement ($\Xi$).
• Définition du seuil : L'étude établit un rapport d'aspect de chenal de 10 comme le seuil pour démarquer les régimes de chenaux étroits et larges, une valeur choisie pour mieux s'aligner sur les tendances des données de terrain que les seuils précédents (ex. : 28 ou 30,6).
• Dynamique de transport complète : L'étude résout numériquement l'équation d'advection-dispersion pour examiner l'évolution spatio-temporelle des concentrations de polluants pour des relargages instantanés et continus à travers différentes géométries de chenaux.

Résultats

• Comportement du coefficient de dispersion :
  • Dans les chenaux étroits, le coefficient de dispersion adimensionnel ($\tilde{K}$) augmente à mesure que le rapport de vitesse de cisaillement ($\Xi$) augmente, sous l'effet de la dispersion induite par le cisaillement et du phénomène de creux de vitesse.
  • Dans les chenaux larges, $\tilde{K}$ diminue à mesure que $\Xi$ augmente. Ceci est attribué à la dominance du mélange turbulent transversal, qui favorise une homogénéisation rapide de la concentration de polluant à travers la section transversale, réduisant ainsi l'étalement longitudinal.
  • Il a été constaté que les formulations existantes échouent à capturer ces comportements contrastés, surestimant ou sous-estimant souvent $\tilde{K}$ selon le régime du chenal.
• Dynamique de transport des polluants :
  • Chenaux étroits (Instantané) : Les profils de concentration présentent un pic distinct qui s'atténue à mesure que le panache progresse en aval.
  • Chenaux étroits (Continu) : La concentration reste à une magnitude maximale pour un intervalle temporel et spatial fini, formant un plateau large sans déclin significatif, indiquant une dominance de l'advection sur la dispersion.
  • Chenaux larges (Instantané) : Une dispersion accrue entraîne une atténuation intensifiée du pic de concentration par rapport aux chenaux étroits. Les profils montrent une branche ascendante rapide et une branche descendante plus longue.
  • Chenaux larges (Continu) : Contrairement aux chenaux étroits, les chenaux larges présentent un déclin significatif de la concentration de pointe dans la direction aval en raison d'une dispersion augmentée.
• Validation :
  • Les formulations proposées ont montré une forte concordance avec les observations de terrain, la plupart des points de données se situant dans des bandes d'erreur de $\pm 20\,\%$.
  • Les prédictions numériques pour le relargage instantané concordent bien avec les solutions analytiques classiques, bien que des pics de concentration légèrement inférieurs aient été observés en raison de la diffusion numérique.
  • Les comparaisons avec les données de traçage de terrain de la rivière Severn (Atkinson et Devis, 2000) montrent une concordance générale, bien que les observations de terrain présentent des pics légèrement plus bas et un transport plus rapide, probablement dus à des facteurs non modélisés tels que le stockage transitoire et les apports latéraux.

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que cette étude offre un cadre plus fiable pour estimer le coefficient de dispersion longitudinale en reconnaissant qu'une équation universelle unique est insuffisante pour toutes les géométries de rivières. En distinguant les régimes étroits et larges, les formulations proposées offrent une représentation plus précise de la physique de la dispersion. De plus, l'étude élucide les dynamiques de transport distinctes des polluants sous différents scénarios de rejet et géométries de chenaux, démontrant que l'interaction entre l'advection et la dispersion varie considérablement entre les chenaux étroits et larges. Ce travail sert d'outil robuste pour simuler le transport de polluants, bien que les auteurs notent des limites concernant l'exclusion de la courbure des rivières, des échanges avec les plaines d'inondation, de la résistance de la végétation et des processus de transport réactifs, suggérant ces points comme des domaines pour de futures investigations.