1422 पेपर
यह शोध पत्र उत्तल डोमेन (convex domains) के लिए एक -अपरिवर्तनीय (invariant) ट्रॉपिकल ज़ेटा फलन को परिभाषित करता है, और यह सिद्ध करता है कि आयाम 2 में कड़ाई से उत्तल डोमेन के लिए, यह पर एक सरल ध्रुव (simple pole) के साथ मेरोमॉर्फिक रूप से विस्तारित होता है जिसका अवशेष (residue) इक्वीएफाइन परिधि (equiaffine perimeter) के समानुपाती है, जिससे वेव-फ्रंट लैटिस परिधि के लिए का एसिम्प्टोटिक (asymptotic) प्राप्त होता है।
यह शोध पत्र एक दीर्घवृत्त वक्र (elliptic curve) पर सामान्यीकृत लैमे समीकरण (generalized Lamé equation) से जुड़े सामान्यीकृत लैमे वक्रों (generalized Lamé curves) और लॉग-मुक्त विविधताओं (log-free varieties) का निर्माण और विश्लेषण करता है, जो उनके बीजगणितीय ज्यामिति (algebraic geometry), प्रतिनिधित्व सिद्धांत (representation theory) के साथ संबंध, और ट्रेबिक अनुमान (Treibich conjecture) एवं इसके सामान्यीकरणों को सिद्ध करने के लिए विरूपित प्री-मॉड्यूलर रूपों (deformed pre-modular forms) को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र श्वेडे-टाकी युग्मों (Schwede–Takagi pairs) के लिए परिमेय विलक्षणताओं (rational singularities) का एक व्युत्पन्न अभिलक्षण स्थापित करता है, जो शून्य विशेषता वाले सामान्य रूपांतरों (normal varieties) तक पूर्व परिणामों का विस्तार करता है, और स्थानीय पूर्ण इंटरसेक्शन एफाइन रूपांतरों (locally complete intersection affine varieties) के लिए तर्कसंगतता की विफलता को मापने वाले एक श्रेणीगत अपरिवर्तनीय (categorical invariant) को परिभाषित करने के लिए इस ढांचे का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र फाइबरवाइज़ बाइमेरोमोर्फिज्म (fiberwise bimeromorphism) को अभिलक्षित करता है और नए मानदंडों को सापेक्ष बैरलैट साइकिल स्पेस (relative Barlet cycle space) तर्कों के साथ संयोजित करके, कैनोनिकल सिंगुलैरिटीज (canonical singularities) और गैर-ऋणात्मक कोडारा आयाम (non-negative Kodaira dimension) वाले स्थानीय मोइज़ेज़ोन परिवारों (locally Moishezon families) के लिए बाइमेरोमोर्फिक प्रकारों के विशिष्टीकरण (specialization) को स्थापित करता है, जिससे बाइमेरोमोर्फिक ज्यामिति के चार शास्त्रीय विषयों का एकीकरण होता है।
यह शोध पत्र एक अतिरिक्त जटिल पैरामीटर के साथ युक्त परिमेय अनियमित वक्रों (rational irregular curves) की पहचान करके और अनियमित स्थिर नोडल वक्रों (irregular stable nodal curves) की अवधारणा को प्रस्तुत करके, एक द्वि-ध्रुवीय (double pole) और दो सरल ध्रुवों (simple poles) वाले रीमान स्फीयर पर रैंक-दो अनियमित कनेक्शनों के मोडुलि स्पेस के एक त्रि-आयामी अर्ध-प्रोजेक्टिव कॉम्पैक्टिफिकेशन (three-dimensional quasi-projective compactification) का निर्माण करता है।
यह शोध पत्र विभिन्न संगीत प्रणालियों—जिसमें शास्त्रीय डायटोनिक हार्मनी, पेंटाटोनिक स्केल्स और 12-टोन सिस्टम शामिल हैं—को विशिष्ट कॉन्फ़िगरेशन और उनके संबद्ध लेवी ग्राफ (Levi graphs) के रूप में प्रस्तुत करके, कॉम्बिनेटोरियल ज्योमेट्री के अनुप्रयोग को संगीत सिद्धांत तक विस्तारित करता है, जिससे वॉइस-लीडिंग संबंधों का विश्लेषण करने और मेजर तथा माइनर ट्रायड्स के बीच पारंपरिक द्वैतता को तोड़ने के लिए एक एकीकृत अमूर्त ढांचा प्रदान किया जा सके।
यह शोधपत्र शेयर्ड डी राम स्टैक्स (sheared de Rham stacks) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए कॉडिरा-स्पेंसर मानचित्र और -कर्वेचर (p-curvature) के बीच संबंध स्थापित करने वाले कैट्ज़ के सूत्र के एक गैर-आबेली रूपांतरण का वैचारिक प्रमाण प्रदान करता है, जिससे लैम और लिट द्वारा दिए गए एक सुझाव को बिना पूर्व डी राम स्टैक्स के ज्ञान की आवश्यकता के साकार किया गया है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि बूहेर और कैस द्वारा स्थापित साधारण वक्रों (ordinary curves) के आर्टिन-शायरर आवरणों (Artin-Schreier covers) के न्यूनतम -संख्याओं के निचले स्तर (lower bound) के लिए, से विभाज्य न होने वाले घात वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित ऐसे आवरणों के एक जेनेरिक वर्ग के लिए -संख्याओं की स्पष्ट गणना करके, वह सीमा सटीक (tight) है।
यह शोध पत्र सतहों पर परिमेय तुल्यता (rational equivalence) के अंतर्गत शून्य चक्रों (zero cycles) के माध्यम से चारआयामी (fourfold) पर कोडायमेंशन तीन चक्रों (codimension three cycles) को अभिलक्षणित करके उनकी प्रतिनिधित्व क्षमता (representability) की अवधारणा को प्रस्तुत और विकसित करता है।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि किसी भी समृद्ध (smooth) फानो थ्रीफोल्ड (Fano threefold) का ऑटोमॉर्फिज्म समूह, जो एक एम्पल -डिवाइज़र (ample -divisor) से सुसज्जित है, तब रिडक्टिव (reductive) होता है जब वह युग्म K-पॉलीस्टेबल (K-polystable) होता है, जिससे इस विशिष्ट ज्यामितीय सेटिंग के लिए याउ-तियान-डोनाल्डसन (Yau–Tian–Donaldson) अनुमान की पुष्टि होती है।