2021 पेपर
यह शोधपत्र एक गोलाकार दर्पण पर प्रकाश के परावर्तन से संबंधित टॉलेमी-अलहाज़ेन समस्या की जांच करता है, विशेष रूप से उस परिदृश्य का विश्लेषण करता है जहाँ प्रकाश स्रोत अनंत दूरी पर स्थित होता है।
यह शोध पत्र एक नवीन गतिशील दृष्टिकोण प्रस्तुत करके धनात्मक जीनस (genus) वाली बंद सतहों से इकाई गोले (unit sphere) में डिग्री 1 वाले मानचित्रों के लिए एक तीक्ष्ण मात्रात्मक स्थिरता परिणाम स्थापित करता है, जो लगभग न्यूनतम (almost minimisers) को गोले पर हार्मोनिक मानचित्रों में विकृत करता है, जिससे ऊर्जा दोष (energy defect) के संदर्भ में उन्हें अनंत रूप से केंद्रित न्यूनतमों (infinitely concentrated minimisers) से उनकी दूरी को नियंत्रित किया जा सके।
यह शोध पत्र एक अत्यधिक अनियमित परिवेश में काह्न-हिलियर्ड फलन (Cahn-Hilliard functional) की जांच करता है, जिसमें मजबूत कॉम्पैक्टनेस परिणामों को स्थापित करने और कम-नियमितता वाले, स्थान-निर्भर विभवों (potentials) वाले फलनों के अनतymptotic व्यवहार को -अभिसरण (convergence) के माध्यम से अभिलक्षणित करने के साथ-साथ, एक क्षयित मीट्रिक (degenerate metric) के लिए जियोडेसिक्स (geodesics) के अस्तित्व और समान लंबाई सीमाओं को भी सिद्ध किया गया है।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करके कि प्रथम गैर-शून्य आइजनवैल्यू (eigenvalue) संकेंद्रित गोलाकार कोशों (concentric spherical shells) के लिए अधिकतम होती है, स्टार-आकार के डोमेन (star-shaped domains) के लिए सीमाएँ स्थापित करके, आंतरिक छिद्र के सिकुड़ने पर अनंत व्यवहार (asymptotic behavior) का विश्लेषण करके, और संगत आइजनफंक्शंस (eigenfunctions) के नोडल डोमेन का अध्ययन करके, द्वि-संयोजित डोमेन (doubly connected domains) पर मिश्रित स्टेक्लोव-न्यूमैन (Steklov–Neumann) आइजनवैल्यू समस्या की जांच करता है।
यह शोध पत्र सीमा पर शून्य होने वाले -उत्तल (k-convex) फलनों के लिए ब्रेज़िस-मेरले (Brezis-Merle) प्रकार की असमानताओं को स्थापित करता है, जिन्हें फिर मध्यवर्ती हेसियन समीकरणों (intermediate Hessian equations) के लिए अलेक्जेंड्रोव-बकमैन-पुची (Alexandrov-Bakelman-Pucci) अनुमानों और लिउविल-प्रकार के -हेसियन समीकरणों के समाधानों के ब्लो-अप व्यवहार के लिए एक एकाग्रता-संपीडन सिद्धांत (concentration-compactness principle) प्राप्त करने हेतु लागू किया जाता है।
यह शोध पत्र एक एकीकृत, कठोर माइक्रोलोकल शीफ-सैद्धांतिक ढांचे को प्रस्तुत करता है जो कॉस्टिक सिंगुलैरिटीज़ (caustic singularities) को दूर करने और एक ही डिग्री ऑफ फ्रीडम वाले सामान्य सेमीक्लासिकल ऑपरेटर्स के लिए बोहर-सोमरफेल्ड-आइंस्टीन-ब्रिलुइन-केलर क्वांटाइजेशन स्थितियों को सिद्ध करने के लिए मासोव-डब्ल्यूकेबी (Maslov-WKB) विधि का सामान्यीकरण करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि एक अनिश्चित (arbitrary) नॉर्म की ओर अभिसरित होने वाले समान रूप से उत्तल (uniformly convex) नॉर्म्स की एक श्रृंखला द्वारा परिभाषित अनिसोट्रोपिक सतह ऊर्जाओं के लिए वॉल्यूम-प्रतिबंधित लगभग-क्रांतिक सेटों के -एकत्रण बिंदु (accumulation points), सीमित नॉर्म से जुड़े विलगित या परस्पर स्पर्शरेखीय वुल्फ आकारों (Wulff shapes) के परिमित संघों के रूप में होते हैं।
यह शोध पत्र लिपिड ड्रॉपलेट्स पर लिपोलिसिस के लिए एक नवीन गणितीय मॉडल और संख्यात्मक विवेकीकरण (numerical discretizations) प्रस्तुत करता है, जो समाधानों के अस्तित्व और घातांकीय अभिसरण (exponential convergence) को सिद्ध करता है और सिमुलेशन के माध्यम से यह प्रदर्शित करता है कि ATGL क्लस्टरिंग लिपोलिसिस की प्रक्रिया को महत्वपूर्ण रूप से धीमा कर देती है।
यह शोध पत्र बेसोव स्थानों (Besov spaces) में 3D इनकंप्रेसिबल रोटेटिंग यूलर समीकरणों की स्थानीय सु-समाधानता (local well-posedness) स्थापित करता है और साथ ही प्रारंभिक डेटा पर एकसमान निरंतर निर्भरता की विफलता और समय में होल्डर निरंतरता (Hölder continuity) के अभाव के माध्यम से उनकी कु-समाधानता (ill-posedness) को प्रदर्शित करता है, जो कोरिओलिस बल के साथ या बिना यूलर समीकरणों के लिए इस अंतिम मुद्दे को संबोधित करने वाला पहला अध्ययन है।
यह शोधपत्र समय-स्वतंत्र, सम्मिश्र-मान (complex-valued), मापने योग्य और समान रूप से दीर्घवृत्तीय (uniformly elliptic) गुणांकों वाले डाइवर्जेंस रूप के उच्च-क्रम के परवलयिक समीकरणों के मौलिक समाधानों के लिए डी जॉर्गी-मोसर-नाश अनुमान, गॉसियन ऊपरी सीमाएँ और होल्डर नियमितता स्थापित करता है।