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Low regularity potentials in heterogeneous Cahn--Hilliard functionals

यह शोध पत्र एक अत्यधिक अनियमित परिवेश में काह्न-हिलियर्ड फलन (Cahn-Hilliard functional) की जांच करता है, जिसमें मजबूत कॉम्पैक्टनेस परिणामों को स्थापित करने और कम-नियमितता वाले, स्थान-निर्भर विभवों (potentials) वाले फलनों के अनतymptotic व्यवहार को $\Gamma$ -अभिसरण (convergence) के माध्यम से अभिलक्षणित करने के साथ-साथ, एक क्षयित मीट्रिक (degenerate metric) के लिए जियोडेसिक्स (geodesics) के अस्तित्व और समान लंबाई सीमाओं को भी सिद्ध किया गया है।

मूल लेखक: Riccardo Cristoferi, Jakob Deutsch, Luca Pignatelli

प्रकाशित 2026-03-27

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Riccardo Cristoferi, Jakob Deutsch, Luca Pignatelli

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास दो अलग-अलग तरल पदार्थों का एक जार है, जैसे तेल और पानी, जो आपस में मिले हुए हैं। यदि आप उन्हें अकेला छोड़ देते हैं, तो वे स्वाभाविक रूप से अलग होने लगते हैं: तेल एक गोले के रूप में इकट्ठा हो जाता है, और पानी दूसरे भाग में। इसे फेज सेपरेशन (phase separation) कहा जाता है।

वास्तविक दुनिया में, यह प्रक्रिया एकदम सटीक नहीं होती। कभी-कभी तरल पदार्थ किसी अजीब आकार के कंटेनर में होते हैं, या कंटेनर के कुछ हिस्से ऐसे होते हैं जो तेल के प्रति "चिपचिपे" होते हैं और अन्य हिस्से पानी के प्रति "चिपचिपे" होते हैं। यह अलगाव की प्रक्रिया को अव्यवस्थित और अप्रत्याशित बना देता है।

यह शोध पत्र इस बात की एक गणितीय जांच है कि ये तरल पदार्थ कैसे अलग होते हैं जब खेल के नियम बहुत ही अव्यवस्थित होते हैं और ये "चिपचिपे स्थान" (जिन्हें वेल्स/wells कहा जाता है) अनियमित, ऊबड़-खाबड़ होते हैं या अचानक बदल जाते हैं।

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके शोध पत्र के विचारों का विवरण दिया गया है:

1. ऊर्जा परिदृश्य (The Energy Landscape): एक पहाड़ी इलाका

इस मिश्रण को एक पर्वतारोही के रूप में समझें जो पहाड़ों की एक श्रृंखला में सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहा है।

घाटियाँ (Valleys/Wells): दो स्थिर अवस्थाएँ (शुद्ध तेल या शुद्ध पानी) दो गहरी घाटियों की तरह हैं। पर्वतारोही चाहता है कि वह इन घाटियों में पहुँच जाए।
पहाड़ियाँ (Hills/Potential): बीच में (तेल और पानी के मिश्रण में) रहने के लिए आवश्यक ऊर्जा एक पहाड़ी पर चढ़ने जैसी है। पहाड़ी जितनी ऊँची होगी, सिस्टम उतनी ही अधिक ऊर्जा बर्बाद करेगा।
चिकनापन (Smoothness): आमतौर पर, गणितज्ञ मान लेते हैं कि ये पहाड़ियाँ चिकनी होती हैं, जैसे एक मंद ढलान। लेकिन इस शोध पत्र में, लेखक पूछते हैं: क्या होगा यदि पहाड़ियाँ ऊबड़-खाबड़, पथरीली या अचानक ढलान वाली हों? क्या होगा यदि घाटियों का स्थान भी इस बात पर निर्भर करे कि आप जार में कहाँ हैं?

2. समस्या: अव्यवस्थित नियम

पिछले अध्ययनों ने माना था कि "चिपचिपे स्थान" (जहाँ तरल पदार्थ को बसना चाहिए) चिकने और अनुमानित थे, जैसे कि एक पूरी तरह से पक्की सड़क।

पुराना तरीका: "यदि सड़क चिकनी है, तो हम आसानी से उस सबसे छोटे रास्ते का अनुमान लगा सकते हैं जिसे पर्वतारोही लेगा।"
नया तरीका: लेखक कहते हैं, "क्या होगा यदि रास्ता एक पथरीला पहाड़ी मार्ग हो जिसमें अचानक गिरावट और उछाल हो? क्या हम फिर भी उस रास्ते का अनुमान लगा सकते हैं?"

वे सिद्ध करते हैं कि भले ही "चिपचिपे स्थान" खुरदरे, ऊबड़-खाबड़ या अचानक बदलते (गणितीय रूप से कहें तो लो रेगुलैरिटी/low regularity वाले) हों, फिर भी सिस्टम एक अनुमानित तरीके से व्यवहार करता है। यह कहने जैसा है कि, "भले ही नक्शा फटा हुआ हो और इलाका पथरीला हो, पर्वतारोही अंततः घाटी में पहुँच ही जाएगा।"

3. "जियोडेसिक" चुनौती (The "Geodesic" Challenge): सबसे छोटा रास्ता

अलग होने के लिए, तरल पदार्थ को एक अवस्था से दूसरी अवस्था में जाना होता है। यह संक्रमण दो घाटियों को जोड़ने वाले एक पथ की तरह है।

मेट्रिक (The Metric): कल्पना करें कि जैसे-जैसे आप घाटियों के करीब पहुँचते हैं, ज़मीन "गाढ़ी" या "भारी" होती जाती है। कुछ स्थानों पर चलना आसान है; अन्य स्थानों पर यह कीचड़ में चलने जैसा है।
महत्वपूर्ण उपलब्धि: लेखकों को यह सिद्ध करना था कि इस "कीचड़ भरे" धरातल के बावजूद, दो अवस्थाओं के बीच हमेशा एक सबसे छोटा रास्ता (एक जियोडेसिक/geodesic) मौजूद होता है, और वह रास्ता अनंत लंबा नहीं होता।
उपमा: कल्पना कीजिए कि आप अपने घर से अपने दोस्त के घर तक जाने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन आपके घर के दरवाजे और आपके दोस्त के दरवाजे पर ज़मीन अनंत रूप से चिपचिपी हो जाती है। आपको लग सकता है कि आप हमेशा के लिए वहीं फंस जाएंगे। लेखकों ने सिद्ध किया कि, आश्चर्यजनक रूप से, आप अभी भी एक सीमित समय में वहाँ पहुँचने का रास्ता खोज सकते हैं, बशर्ते कि चिपचिपाहट बहुत ज्यादा पागलपन भरी न हो।

4. "गामा-कन्वर्जेंस" (The "Gamma-Convergence"): एक बड़ी तस्वीर

यह शोध पत्र गामा-कन्वर्जेंस (Gamma-convergence) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करता है। इसे एक धुंधली, अराजक तस्वीर से ज़ूम आउट करके एक स्पष्ट, अंतिम छवि देखने के तरीके के रूप में समझें।

सूक्ष्म दृश्य (Micro View): जब आप बहुत करीब से देखते हैं, तो अलगाव सूक्ष्म संक्रमणों के एक अराजक ढेर जैसा दिखता है।
विशाल दृश्य (Macro View): जब आप ज़ूम आउट करते हैं, तो वह सारा बिखराव तेल और पानी को अलग करने वाली एक साफ, स्पष्ट रेखा में बदल जाता है।
परिणाम: लेखक दिखाते हैं कि उनके अव्यवस्थित, ऊबड़-खाबड़ नियमों के बावजूद, "विशाल दृश्य" अभी भी एक साफ रेखा के रूप में समाप्त होता है। उन्होंने ठीक से गणना की कि उस रेखा को खींचने में कितनी "ऊर्जा" (या प्रयास) लगती है, भले ही धरातल ऊबड़-खाबड़ हो।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है?

वास्तविक दुनिया में, सामग्रियाँ (materials) शायद ही कभी पूर्ण होती हैं।

बैटरियां: बैटरी के अंदर, चार्ज और डिस्चार्ज होने के दौरान सामग्रियाँ अलग और मिश्रित होती हैं। बैटरी के अंदर का हिस्सा अशुद्धियों और अनियमित संरचनाओं से भरा होता है।
धातु (Metals): जब धातु ठंडी होती है, तो विभिन्न चरण (phases) बनते हैं। यदि धातु में अशुद्धियाँ हैं, तो चरणों के बीच की सीमाएँ ऊबड़-खाबड़ होंगी।
जैविक कोशिकाएं (Biological Cells): कोशिका झिल्लियाँ विभिन्न तरल पदार्थों को अलग करती हैं। ये झिल्लियाँ जटिल और अनियमित होती हैं।

यह सिद्ध करके कि गणित "लो रेगुलैरिटी" (अव्यवस्थित और खुरदरे) स्थितियों में भी काम करता है, यह शोध पत्र वैज्ञानिकों को वास्तविक दुनिया की सामग्रियों का मॉडल बनाने के लिए एक अधिक मजबूत टूलकिट प्रदान करता है। यह उन्हें बताता है: "चिंता न करें यदि आपकी सामग्री पूर्ण नहीं है; गणित फिर भी लागू होता है।"

सारांश

लेखकों ने तरल पदार्थों के अलग होने के एक क्लासिक मॉडल को लिया और पूछा, "क्या होगा यदि दुनिया अव्यवस्थित हो?" उन्होंने सिद्ध किया कि ऊबड़-खाबड़, उछलने वाली और अनियमित स्थितियों के बावजूद, तरल पदार्थ अभी भी सफाई से अलग होंगे, और हम अभी भी यह गणना कर सकते हैं कि इसमें कितनी ऊर्जा लगती है। उन्होंने यह करने के लिए नए गणितीय "जूते" का आविष्कार किया जो उन्हें समस्या के पथरीले, ऊबड़-खाबड़ धरातल पर बिना फंसे चलने की अनुमति देते हैं।

यहाँ रिकार्डो क्रिस्टोफेरी, जैकब ड्यूश और लुका पिग्नाटेली के शोध पत्र "Low Regularity Potentials in Heterogeneous Cahn–Hilliard Functionals" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र अत्यधिक अनियमित, विषम (heterogeneous) परिवेश में कैन-हिलियर्ड फलन (Cahn–Hilliard functional) के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार (as $\varepsilon \to 0$ ) की जांच करता है। यह फलन तरल-तरल चरण पृथक्करण (liquid-liquid phase separation) को मॉडल करता है और इसे इस प्रकार दिया जाता है:
$F_\varepsilon(u) := \int_\Omega \left[ \frac{1}{\varepsilon} W(x, u(x)) + \varepsilon |\nabla u(x)|^2 \right] dx$
जहाँ $u: \Omega \to \mathbb{R}^M$ एक चरण पैरामीटर (phase parameter) है, और $W(x, u)$ एक विभव ऊर्जा घनत्व (potential energy density) है।

प्रमुख चुनौतियाँ जिनका समाधान किया गया है:

वेलों (Wells) की निम्न नियमितता (Low Regularity): पूर्ववर्ती साहित्य में आमतौर पर यह माना जाता था कि "वेल" (स्थिर चरण $a(x)$ और $b(x)$ जहाँ $W=0$ ) लिप्सचिट्ज़ निरंतर (Lipschitz continuous) हैं। यह शोध पत्र उन वेलों पर विचार करता है जो केवल बाउंडेड वेरिएशन (BV) के हैं, जिससे उनमें जंप विच्छिन्नता (jump discontinuities) संभव हो जाती है।
विभव की निम्न नियमितता (Low Regularity of Potential): $W$ को वेलों के पास द्विघाती (quadratic) होने की आवश्यकता नहीं है (जो पिछले कार्यों में एक मानक धारणा थी)। इसके बजाय, यह एक फलन $f(t)$ द्वारा नियंत्रित विकास शर्तों (growth conditions) का पालन करता है।
वेक्टर-वैल्यूड केस (Vector-Valued Case): विश्लेषण में वह स्थिति शामिल है जहाँ चरण चर वेक्टर-वैल्यूड ( $M \ge 1$ ) है, जो संक्रमण पथों (geodesics) की ज्यामिति के कारण स्केलर मामले की तुलना में काफी अधिक जटिल है।

लक्ष्य $\{F_\varepsilon\}$ परिवार की संकुचनता (Compactness) और $\Gamma$ -अभिसरण ( $\Gamma$ -convergence) को स्थापित करना है, जो एक सीमांत फलन $F_0$ की ओर जाता है जो चरण पृथक्करण की अंतरफलक ऊर्जा (interfacial energy) का वर्णन करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक परिवर्तनशील विश्लेषण (variational analysis), ज्यामितीय माप सिद्धांत (geometric measure theory), और यंग मेजर (Young measure) तकनीकों के संयोजन का उपयोग करते हैं।

A. संरचनात्मक धारणाएँ (Structural Assumptions)

यह शोध पत्र विभव $W$ और वेल $a, b$ पर एक सेट कमजोर संरचनात्मक धारणाओं (H1–H8) को प्रस्तुत करता है:

कैराथियोडोरी स्थिति (Carathéodory Condition): $W$ $x$ में मापने योग्य (measurable) है और $u$ में निरंतर है।
वेल पृथक्करण (Well Separation): वेलों के बीच की दूरी $|a(x) - b(x)|$ शून्य से दूर (bounded away from zero) है।
विकास शर्तें (Growth Conditions): $W$ वेलों के पास $f$ द्वारा नियंत्रित है (गैर-क्षय/non-degeneracy) और अनंत पर कम से कम रैखिक विकास रखता है। महत्वपूर्ण रूप से, $f$ एक डबलिंग स्थिति ( $f(2t) \le C f(t)$ ) को संतुष्ट करता है, जो पिछले कार्यों में आवश्यक द्विघाती विकास की तुलना में बहुत कमजोर है।
वेलों की नियमितता (Regularity of Wells): वेल $a, b$ $BV(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$ में हैं। $\Gamma$ -अभिसरण परिणाम में, वे एक खंडित $C^2$ विभाजन पर जंप के साथ खंडित निरंतर (piecewise continuous) हैं।
सापेक्ष निरंतरता (Relative Continuity): 'एडजस्टेड' विभव पर एक स्थिति (H7) लगाई गई है ताकि ब्लो-अप तर्कों के दौरान स्थानिक चर $x$ को फ्रीज (freeze) किया जा सके।

B. प्रमुख तकनीकी उपकरण (Key Technical Tools)

यंग मेजर (Young Measures): संकुचनता सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है। लेखक एक परिवर्तन चर $T_a(x)$ का उपयोग करके समस्या को एक निश्चित-वेल सेटिंग में बदलते हैं, फिर उत्पन्न यंग मेजरों का विश्लेषण करते हैं ताकि यह दिखाया जा सके कि सीमांत फलन केवल वेलों $\{a(x), b(x)\}$ में मान लेता है।
जियोडेसिक दूरी विश्लेषण (Geodesic Distance Analysis): एक क्षयकारी मेट्रिक (degenerate metric) $\sqrt{W}$ $W$ से जुड़े जियोडेसिक दूरी $d_W(x; p, q)$ $d_{W} (x; p, q)$ का अध्ययन एक केंद्रीय तकनीकी योगदान है।
- वे यह सिद्ध करते हैं कि भले ही $W$ विच्छिन्न हो, जियोडेसिक्स का अस्तित्व बना रहता है।
- वे $f$ पर कमजोर डबलिंग स्थिति के तहत इन जियोडेसिक्स की यूक्लिडियन लंबाई (Euclidean length) पर एक समान सीमा स्थापित करते हैं। यह अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि वेक्टर-वैल्यूड मामले में, संक्रमण पथ एक सीधी रेखा नहीं होता है; बिना लंबाई की सीमा के, रिकवरी सीक्वेंस का निर्माण विफल हो जाता है।
- वे एक काउंटर-एग्जांपल (उदाहरण 4.10) प्रदान करते हैं जो दिखाता है कि यदि विकास की शर्तें बहुत कमजोर हैं, तो जियोडेसिक्स की यूक्लिडियन लंबाई अनंत हो सकती है।
परिमित परिमाप के सेट्स का सन्निकटन (Approximation of Sets of Finite Perimeter): वे सीमांत फलन के जंप सेट और वेलों को $C^2$ सतहों द्वारा सन्निकट करने के लिए एक परिष्कृत सन्निकटन परिणाम (प्रस्ताव 4.15) का उपयोग करते हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि अंतरफलक (interfaces) के पार ऊर्जा सही ढंग से अभिसरित होती है।
ब्लो-अप विधि (Blow-up Method): $\Gamma$ -लिम्इन्फ (liminf) असमानता के लिए उपयोग किया जाता है। एक जंप बिंदु के आसपास पुनर्गठन (rescaling) और विभव की सापेक्ष निरंतरता का उपयोग करके, वे स्थानिक निर्भरता को "फ्रीज" करते हैं ताकि समस्या को 1D इष्टतम प्रोफाइल समस्या में बदला जा सके।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

A. नियमितता धारणाओं का शिथिलन (Relaxation of Regularity Assumptions)

यह शोध पत्र मौजूदा साहित्य (जैसे फोंसेका-टार्टर, बुशिटे, क्रिस्टोफेरी-गनेडी-फोंसेका) की तुलना में $\Gamma$ -अभिसरण के लिए आवश्यक परिकल्पनाओं को महत्वपूर्ण रूप से कमजोर करता है:

वेल (Wells): इन्हें लिप्सचिट्ज़ के बजाय $BV$ में होने की अनुमति दी गई है (जंप विच्छिन्नता की अनुमति है)।
विभव विकास (Potential Growth): विभव को वेलों के पास द्विघाती होने की आवश्यकता नहीं है। इसे केवल एक डबलिंग स्थिति (H8) को संतुष्ट करना चाहिए और $f$ द्वारा नियंत्रित होना चाहिए। इसमें ऐसे विभव भी शामिल हैं जो वेलों के पास अवतल (concave) हो सकते हैं, जिन्हें पहले बाहर रखा गया था।

B. क्षयकारी जियोडेसिक्स के लिए समान लंबाई सीमा (Uniform Length Bound for Degenerate Geodesics)

एक प्रमुख सैद्धांतिक योगदान प्रमेय 4.8 है, जो सिद्ध करता है कि $f$ पर डबलिंग स्थिति के तहत, वेलों को जोड़ने वाले जियोडेसिक्स की यूक्लिडियन लंबाई समान रूप से सीमित (uniformly bounded) है।

महत्व: वेक्टर-वैल्यूड मामले में, इष्टतम संक्रमण प्रोफाइल एक वक्र (curve) होता है जो एक क्षयकारी जियोडेसिक समस्या को हल करता है। यदि वक्र की लंबाई असीमित है, तो रिकवरी सीक्वेंस की ऊर्जा को नियंत्रित नहीं किया जा सकता। यह परिणाम निम्न-नियमितता वाले विभवों और वैध रिकवरी सीक्वेंस के अस्तित्व के बीच के अंतर को पाटता है।

C. द्रव्यमान बाधा प्रबंधन (Mass Constraint Handling)

लेखक अपने परिणामों को उस मामले में विस्तारित करते हैं जहाँ एक द्रव्यमान बाधा ( $\int_\Omega u = m$ ) लगाई गई है। वे चरण सेट के सन्निकटन को संशोधित करके रिकवरी सीक्वेंस निर्माण को अनुकूलित करते हैं ताकि आयतन बाधा (volume constraint) को सख्ती से पूरा करते हुए ऊर्जा अभिसरण को बनाए रखा जा सके।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

प्रमेय 2.16 (संकुचनता - Compactness)

धारणाओं (H1)–(H5) के तहत, यदि किसी अनुक्रम $\{u_n\}$ में समान रूप से सीमित ऊर्जा $F_{\varepsilon_n}(u_n)$ है, तो एक उप-अनुक्रम (subsequence) $u \in BV(\Omega; \{a, b\})$ में $L^1(\Omega; \mathbb{R}^M)$ में दृढ़ता से अभिसरित होता है।

प्रमेय 2.17 ( $\Gamma$ -अभिसरण - $\Gamma$ -Convergence)

धारणाओं (H1)–(H8) के तहत, फलन $F_{\varepsilon_n}$ , $L^1$ टोपोलॉजी में फलन $F_\infty$ की ओर $\Gamma$ -अभिसरित होते हैं:
$F_\infty(u) = \begin{cases} \int_{J_u \cap \Omega} d_W(x; u^-(x), u^+(x)) \, d\mathcal{H}^{N-1}(x) & \text{यदि } u \in BV(\Omega; \{a, b\}) \\ +\infty & \text{अन्यथा} \end{cases}$
जहाँ $d_W(x; p, q)$ जियोडेसिक दूरी है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$d_W(x; p, q) = \inf \left\{ \int_{-1}^1 2\sqrt{W(x, \gamma(t))} |\gamma'(t)| \, dt : \gamma(-1)=p, \gamma(1)=q \right\}$

प्रमेय 2.20 (द्रव्यमान बाधित मामला - Mass Constrained Case)

संकुचनता और $\Gamma$ -अभिसरण के परिणाम तब भी लागू होते हैं जब द्रव्यमान बाधा लगाई जाती है, बशर्ते कि विकास फलन $f$ एक थोड़ी मजबूत स्थिति ( $f(t) \le |t|^\alpha$ जहाँ $\alpha > 1$ ) को संतुष्ट करे ताकि द्रव्यमान सुधार के लिए वेलों के पास विभव की अवकलनीयता (differentiability) सुनिश्चित हो सके।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

गणितीय कठोरता (Mathematical Rigor): यह शोध पत्र वेक्टर-वैल्यूड चरण संक्रमणों को संभालने की तकनीकी कठिनाई को हल करता है जिनमें विच्छिन्न भौतिक गुण (विषम माध्यम) होते हैं। पूर्ववर्ती परिणामों को यह सुनिश्चित करने के लिए वेलों की लिप्सचिट्ज़ निरंतरता की आवश्यकता थी कि संक्रमण पथ सुव्यवस्थित रहें।
भौतिक प्रासंगिकता (Physical Relevance): कई वास्तविक दुनिया की सामग्रियां (जैसे कंपोजिट, पॉलीक्रिस्टल) ऐसी होती हैं जहाँ भौतिक गुणों में उछाल या जंप आता है। यह मॉडल ऐसे जटिल, गैर-चिकना (non-smooth) वातावरण में चरण पृथक्करण के सटीक गणितीय विवरण की अनुमति देता है।
विभव का सामान्यीकरण (Generalization of Potential): द्विघाती विकास की आवश्यकता को हटाकर, यह सिद्धांत विभव के एक व्यापक वर्ग को लागू करता है, जिसमें वे विभव भी शामिल हैं जो वेलों के पास "फ्लैट" या अवतल (concave) होते हैं, जो कुछ ऊष्मागतिक मॉडलों के लिए प्रासंगिक हैं।
तकनीकी नवाचार (Technical Innovation): क्षयकारी मेट्रिक्स में जियोडेसिक्स के लिए समान यूक्लिडियन लंबाई सीमा का प्रमाण ज्यामितीय विश्लेषण और इष्टतम परिवहन सिद्धांत (optimal transport theory) में रुचि का एक स्वतंत्र परिणाम है।

संक्षेप में, यह कार्य अत्यधिक अनियमित विषम माध्यमों में चरण पृथक्करण का विश्लेषण करने के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता है, शास्त्रीय कैन-हिलियर्ड सिद्धांत को निम्न-नियमितता वाले विभवों और विच्छिन्न भौतिक मापदंडों वाले परिवेशों तक विस्तारित करता है।